3.2 圆的轴对称性（1）

创设情境,引入新课 ３ 复习提问: （１）什么是轴对称图形 （２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是 有几条对称轴？ （１）什么是轴对称图形　 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。 （２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是 有几条对称轴？ ３ （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

合作交流,探究新知 X O 结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调： 一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么? O C D 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 结论： 强调： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴 （2）圆的对称轴有无数条 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） X

二　合作学习 １.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦　　　　　　AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？ A B E 解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， AC＝BC，AD＝BD． ⌒ O C D ２.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．

３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一 条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ． 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． ３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一 条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ． EA=EB， AC= BC， AD=BD． ⌒ 求证： 证明：连结ＯＡ，ＯＢ A B E O C D 如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折， 那么被ＣＤ分成的两个半圆互 相重合 ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠ ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合， 弧AD和弧BD重合． ∴线段EA与线段EB重合 思考：你能利用等腰 三角形的性质，说明 OC平分AB吗？ ⌒ ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD．

⌒ 三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．） 直径平分弦 １.直径垂直于弦 垂径定理的几何语言叙述: 三　概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．） 直径平分弦 １.直径垂直于弦 直径平分弦所对的弧 （条件） （结论） 垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD． ⌒ A B O C D E 2.分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条弧的中点. 例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点. ⌒

⌒ 例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念） 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分. ⌒ 作法： C ⒈ 连结AB. E ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. A B D 点E就是所求弧AB的中点．

做一做：课本Ｐ６５Ａ组题第３题 １.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点． E C D B BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点. B C

例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得: 10 C 8 8 D 答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

题后小结： ． 1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线； O A B C r d 2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

. 想一想： 在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的 弦心距之间有什么关系？ 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 　想一想： 　在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的 　弦心距之间有什么关系？　 . C 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长. D A B O

做一做 １、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ） D (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 10 8 6

做一做 ⌒ 解： ２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如 图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度． 过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ， ⌒ 解： 连结ＯＤ． 因为ＯＥ⊥ＣＤ， O Ｅ D C Ｆ 所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）

做一做 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.

垂径定理的几个基本图形

课 堂 小 结 师生共同总结： １．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：