y＝a(x－h)2＋k的最大值與最小值 二次函數圖形的左右移動 y＝a(x－h)2＋k 的圖形 配方法 圖形與兩軸的交點 自我評量

在上一節已探討形如y＝ax2與y＝ax2＋k的二次函數之最大值或最小值及其圖形間的關係。本節一開始要探討的是形如y＝a（x－h）2與y＝a（x－h）2＋k的二次函數，其中a、h、k皆不為 0。 為了便於畫圖，我們先利用不等式來找這類函數的最大值或最小值。

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。 (1) y＝2（x－3）2 (2) y＝－（x＋1）2 搭配習作P9 基礎題1 1 最大值或最小值 試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。 (1) y＝2（x－3）2 (2) y＝－（x＋1）2 (3) y＝3（x－ ）2－4 (4) y＝－（x＋2）2－5

解 (1)∵2（x－3）2≧0， ∴函數值 y≧0， 又 x＝3 時，2（x－3）2＝0， 故函數在 x＝3 時， 有最小值 y＝0。 ∵－（x＋1）2≦0， ∴函數值 y≦0， 又 x＝－1 時，－（x＋1）2＝0， 故函數在 x＝－1 時， 有最大值 y＝0。

(3)∵3（x－ ）2≧0， 3（x－ ）2－4≧0－4， ∴y＝3（x－ ）2－4≧－4， 又 x＝ 時，3（x－ ）2＝0， 故函數在 x＝ 時，有最小值 y＝－4。 解 (4)∵－（x＋2）2≦0， －（x＋2）2－5≦0－5， ∴ y＝－（x＋2）2－5≦－5， 又x＝－2 時，－（x＋2）2＝0， 故函數在 x＝－2 時， 有最大值 y＝－5。

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。 (1)y＝－ （x＋4）2 (2)y＝4（x－5）2 ∵－ （x＋4）2≦0， ∴函數值y≦0， 又x＝－4 時，y＝0， 故函數在x＝－4 時， 有最大值y＝0。 ∵4（x－5）2≧0， ∴函數值y≧0， 又x＝5 時，y＝0， 故函數在x＝5 時， 有最小值y＝0。

(3)y＝－（x＋ ）2＋1 ∵－（x＋ ）2≦0， －（x＋ ）2＋1≦1， ∴y＝－（x＋ ）2＋1≦1， 又 x＝－ 時，y＝1， 故函數在 x＝－ 時， 有最大值 y＝1。

(4)y＝2（x－5）2－3 ∵ 2（x－5）2≧0， 2（x－5）2－3≧－3， ∴ y＝2（x－5）2－3≧－3， 又 x＝5 時，y＝－3， 故函數在 x＝5 時， 有最小值 y＝－3。

由例題1與隨堂練習發現，形如y＝a (x－h)2與 y＝a（x－h）2＋k 的二次函數與上一節所介紹形如y＝ax2 與y＝ax2＋k 的二次函數，因為(x－h)2 與x2一樣都恆大於或等於零，所以由不等式的推理會得到相同的最大值或最小值，差別僅在前者的最大值或最小值是在x＝h 時得到，後者的最大值或最小值是在x＝0 時得到。 而這樣的差異，對函數圖形有怎樣的影響呢？首先，讓我們先來看一些形如y＝a（x－h）2，h≠0 的二次函數圖形。

因此從x＝1 開始，對稱的將x 和y 的對應值列表如下： 解 x … -1 1 2 3 y 4 搭配習作P10 基礎題2 2 y＝（x－h）2 的繪圖 描繪二次函數y＝（x－1）2 的圖形。 ∵y＝（x－1）2≧0， ∴函數在x＝1 時，有最小值y＝0。 因此從x＝1 開始，對稱的將x 和y 的對應值列表如下： 解 x … -1 1 2 3 y 4

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數y＝(x＋1)2 的圖形： x … -3 -2 -1 1 y 4 x … y

拿出第145頁的附件1，疊在右圖中y＝x2、 y＝（x－1）2 和y＝（x＋1）2 這三個圖形上， 比較它們的形狀、開口方向與開口大小。 形狀相同， 且可完全疊合， 開口方向、開口大小也相同。

由動動腦可知： y＝(x－1)2與y＝(x＋1)2的圖形均可和y＝x2的圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知將y＝x2的圖形向右移動1個單位，便是y＝(x－1)2的圖形，而向左移動1個單位，便是y＝(x＋1)2的圖形，因此這三個圖形均為開口向上，而且其對稱軸也會跟著向右或向左移動。

因此從x＝1開始，對稱的將x和y的對應值列表如下： 解 x … -1 1 2 3 y -8 -2 3 y＝a（x－h）2 的繪圖 描繪二次函數y＝－2（x－1）2 的圖形。 ∵y＝－2（x－1）2≦0， ∴函數在x＝1 時，有最大值y＝0。 因此從x＝1開始，對稱的將x和y的對應值列表如下： 解 x … -1 1 2 3 y -8 -2

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y＝－2（x＋2）2 的圖形： … -4 -3 -2 -1 y -8 x … y

拿出第145頁的附件6，疊在右圖中y＝－2x2、 y＝－2（x－1）2和y＝－2（x＋2）2 這三個圖 形上， 比較它們的形狀、開口方向與開口大小。 形狀相同， 且可完全疊合， 開口方向、開口大小也相同。

由動動腦可知： y＝－2（x－1）2與y＝－2（x＋2）2的圖形均可和y＝－2x2的圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知將y＝－2x2的圖形向右移動1個單位，便是y＝－2（x－1）2 的圖形，而向左移動2個單位，便是y＝－2（x＋2）2的圖形，因此這三個圖形均為開口向下，而且其對稱軸也會跟著向右或向左移動。

由前面的動動腦，我們可整理得表1-2，請在表1-2的空格內，填入適當的文字或符號。 圖形的移動 圖形 形狀 頂點 座標 對稱軸 y＝(x-1)2 由y＝x2的圖形向___移動1個單位而得。 開口向上的拋物線 x＝1 項目 函數 右 （1 ,0）

由y＝－2x2的圖形向右移動___個單位可得。 開口向下的拋物線 (1 , 0) 左 x＝-1 開口向上的拋物線 (-1,0 ) y＝-2(x-1)2 由y＝－2x2的圖形向右移動___個單位可得。 開口向下的拋物線 (1 , 0) 左 x＝-1 x＝1 1

由y＝ －2x2的圖形向左移動___個單位可得。 開口向下的拋物線 x＝-2 (-2 ,0) 2

因此對於形如y＝a（x－h）2，h≠0 的二次函數圖形，由表1-2 可得： 1. 其圖形都是拋物線，頂點為（h , 0），對稱軸 因此對於形如y＝a（x－h）2，h≠0 的二次函數圖形，由表1-2 可得： 1.其圖形都是拋物線，頂點為（h , 0），對稱軸 為直線x＝h。 (1)當h＞0 時，其圖形可由y＝ax 2的圖形向右 移動h個單位而得。 (2)當h＜0 時，其圖形可由y＝ax 2的圖形向左 移動｜h｜個單位而得。

2.其圖形的開口方向與y＝ax 2相同，因此： (1)當a＞0 時，圖形開口向上，頂點是最低點， 函數有最小值為0。 (2)當a＜0 時，圖形開口向下，頂點是最高點， 函數有最大值為0。

我們也可將二次函數y＝a（x－h）2，h≠0 的圖形整理如下： 條件 a＞0 a＜0 h＞0 h ＜0 h ＞0 圖 示

1.若二次函數y＝2x2的圖形向右移動4個單位可 得 y＝a（x－p）2 的圖形，試求a＋p 之值。 ∵y＝2x2 的圖形向右移動4個單位可得 y＝2(x－4）2， ∴a＝2、p＝4， 故a＋p＝2＋4＝6

2.試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點 坐標與對稱軸，並比較其開口大小： 甲：y＝－ （x＋1）2 乙：y＝－2（x－2）2 丙：y＝（x－ ）2 丁：y＝ （x + 5）2

甲：開口向下，頂點(-1,0)，對稱軸為x=-1。 開口大小：乙＜丙＜丁＜甲。

有錢不能使人幸福，幸福的泉源只有一個──使別人得到幸福。 —諾貝爾（Alfred Nobel，1833-1896）

接下來，我們來看一些形如y＝a(x－h)2＋k，hk≠0的二次函數圖形。

4 y＝a（x－h）2＋k 的繪圖（a＞0） 描繪二次函數y＝（x－2）2＋1 的圖形。 ∵（x－2）2≧0，y＝（x－2）2＋1≧1， ∴函數在x＝2 時， 有最小值y＝1。因此， 從x＝2 開始，對稱的將x 和y 的對應值列表 如下： 解 x … 1 2 3 4 y 5

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y＝（x＋1）2－2 的圖形： … -3 -2 -1 1 y 2 x … y

拿出第145頁的附件1，疊在右圖中y＝x 2、y＝（x－2）2＋1 和y＝（x＋1）2－2 這三個圖形上，比較它們的形狀、開口方向與開口大小。 形狀相同， 且可完全疊合， 開口方向、開口大小也相同。

由動動腦可知： y＝（x－2）2＋1 與 y＝（x＋1）2－2 的圖形，均可和y＝x2的圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知移動 y＝x 2 的圖形使得頂點（0 , 0）移至（2 , 1）時，便可得到 y＝（x－2）2＋1 的圖形，而移動 y＝x 2的圖形使得頂點（0 , 0）移至（－1 , －2）時，便可得到 y＝（x＋1）2－2 的圖形。

∴函數在x＝2時，有最大值y＝－1。因此，從 x＝2開始，對稱的將x和y的對應值列表如下： 解 x … 1 2 3 4 5 y＝a（x－h）2＋k的繪圖（a＜0） 描繪二次函數y＝－ （x－2）2－1 的圖形。 搭配習作P10基礎題2 ∵－ (x－2)2≦0，y＝－ (x－2)2－1≦－1， ∴函數在x＝2時，有最大值y＝－1。因此，從 x＝2開始，對稱的將x和y的對應值列表如下： 解 x … 1 2 3 4 y -3 -1

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數y＝－ （x＋2）2＋2 的圖形： -1 … 2 y -2 -3 -4 x x … y

拿出第145頁的附件4，疊在右圖中y＝－ x 2、y＝－ （x－2）2－1 和y＝－ （x＋ 2）2＋ 2 這三個圖形上，比較它們的形狀、開口方向與開口大小。 形狀相同，且可完全疊合，開口方向、 開口大小也相同。

由動動腦可知： y＝－ （x－2）2－1 與y＝－ （x＋2）2＋2 的圖形均可和y＝－ x2的圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知移動y＝－ x2 的圖形使得頂點（0,0）移至（ 2 ,－ 1 ）時，便可得到y＝－ （x － 2 ）2－ 1 的圖形，而移動y＝－ x2 的圖形使得頂點（0,0）移至（－2,2）時，便可得到y＝－ （x＋2）2＋2 的圖形。

由前面的動動腦，我們可整理得表1-3，請在表1-3 的空格內，填入適當的文字或符號。 圖形的移動 與頂點坐標 圖形形狀 對稱軸 y＝(x－2)2＋1 移動y＝x 2的圖形，使頂點(0 , 0)移至_________而得。 開口向上的拋物線 x＝2 項目 函數 （2 , 1）

移動 y＝x2 的圖形，使頂點(0,0)移至__________而得。 開口向上的拋物線 開口向下的拋物線 x＝2 x＝－1 (－1 , －2) (2 , －1)

移動y＝－ x2的圖形，使頂點（0 , 0）移至＿＿＿＿＿而得。 開口向下 的拋物線 移動y＝－ x2的圖形，使頂點（0 , 0）移至＿＿＿＿＿而得。 x＝－2 （－2 , 2）

因此，形如y＝a（x－h）2＋k，hk≠0 的二次函數圖形，由表1-3 可得： 1. 其圖形都是拋物線，其頂點為（h , k），對稱 因此，形如y＝a（x－h）2＋k，hk≠0 的二次函數圖形，由表1-3 可得： 1.其圖形都是拋物線，其頂點為（h , k），對稱 軸為直線x＝h。 2.其圖形的開口方向與y＝ax 2相同，因此： (1)當a＞0 時，圖形開口向上，頂點是最低 點，函數有最小值為k。 (2)當a＜0 時，圖形開口向下，頂點是最高 點，函數有最大值為k。

已知二次函數y＝a（x－p）2＋q 的頂點（2,－ 4）是其圖形的最高點，且∣a∣＝3，試求a、 p、q 之值及此二次函數。 6 y＝a（x－h）2＋k的應用 已知二次函數y＝a（x－p）2＋q 的頂點（2,－ 4）是其圖形的最高點，且∣a∣＝3，試求a、 p、q 之值及此二次函數。 ∵二次函數y＝a（x－p）2＋q的頂點（p ,q），亦即（2 , －4） ∴p＝2，q＝－4。 又頂點是其圖形的最高點，∴ a＜0。 因此由∣a∣＝3，得a＝－3（3 不合）。 ∴二次函數為y＝－3（x－2）2－4 解

若移動二次函數y＝－x2的圖形，使得頂點(0 ,0)移至(5 ,－3)時，可得y＝a（x－p）2＋q 的圖形，試求a＋p＋q 之值。 ∵ y＝a（x－p）2＋q 的頂點（ p , q）， ∴ p＝5、q＝－3。 又圖形是由y＝－x2 移動而得，∴ a＝－1。 故a＋p＋q＝（－1）＋5＋（－3）＝1

若二次函數 y＝ x2 的圖形移動可得y＝a (x－p)2 7 y＝a（x－h）2＋k的應用 若二次函數 y＝ x2 的圖形移動可得y＝a (x－p)2 ＋q 的圖形，且對稱軸為直線 x＝2 ，圖形又通過坐標平面上的點（－2 , 5），試求 q 之值。

解 ∵圖形可由y＝ x2的圖形移動而得，∴a＝ 。 ∵直線 x＝2 為其對稱軸，∴p＝2。 因此函數為y＝ （x－2）2＋q。 又其圖形通過（－2 , 5）， ∴5＝ （－2－2）2＋q 5＝28＋q q＝－23

若二次函數y＝a (x－p)2＋q 的頂點(－1,－2)，其圖形通過坐標平面上的點(2 , 1)，試求 a 之值。 ∵y＝a（x－p）2＋q 的頂點（ p , q）， ∴p＝－1、q＝－2。 又y＝a（x＋1）2－2 的圖形通過（2 , 1）， ∴將（2 , 1）代入得1＝9a－2，a＝ 。

我們知道形如y＝a（x－h）2＋k，a≠0 的二次函數，可利用不等式判斷函數的最大值或最小值；但形如y＝ax 2＋bx＋c，a≠0 的二次函數，例如：y＝x 2＋4x、y＝－2x 2－3x＋1，該如何找出這些函數的最大值或最小值呢？ 其實如果能將此類型函數化成y＝a（x－h）2＋k 的形式，問題就解決了。現在我們就來練習這個轉變的方法。

請將二次函數y＝x2－6x＋8 化成y＝a（x－h）2＋k 的形式，並求函數的最大值或最小值為何？ 搭配習作P9基礎題1 8 配方法求最大值或最小值(x2係數為1) 請將二次函數y＝x2－6x＋8 化成y＝a（x－h）2＋k 的形式，並求函數的最大值或最小值為何？ 解 y＝x2－6x＋8 ＝x2－2．x．3＋32－32＋8 ＝（x－3）2－1 ∵（x－3）2≧0， y＝（x－3）2－1≧－1， ∴函數在x＝3 時，有最小值y＝－1。 將x2－6x 配成 完全平方式

試求下列函數的最大值或最小值： (1)y＝x 2－10x (2)y＝x 2＋8x＋25 y＝x 2－10x＋25－25 ＝(x－5)2－25≧－25 ∴函數在x ＝5 時， 有最小值y ＝－25。 y＝x 2＋8x＋16＋9 ＝(x＋4)2＋9 ∴函數在x＝－4 時， 有最小值y＝9。

將下列二次函數化成y＝a（x－h）2＋k 的形式，並求函數的最大值或最小值為何？ (1) y＝2x2＋4x－1 (2)y＝－x2－3x＋ 搭配習作P9基礎題1 9 配方法求最大值或最小值(x2係數不為1) 將下列二次函數化成y＝a（x－h）2＋k 的形式，並求函數的最大值或最小值為何？ (1) y＝2x2＋4x－1 (2)y＝－x2－3x＋

解 將x2項和x項括在一起， 並提出x2項的係數 (1) y＝2x2＋4x－1 ＝2（x2＋2x）－1 ＝2（x2＋2x＋12－12）－1 ＝2〔（x＋1）2－1〕－1 ＝2（x＋1）2－2－1 ＝2（x＋1）2－3 ∵2（x＋1）2≧0， y＝2（x＋1）2－3≧－3， ∴函數在x＝－1 時，有最小值y＝－3。 將x2＋2x 配成 完全平方式

(2) y＝－x2－3x＋ ＝－（x2＋3x）＋ ＝－〔x2＋3x＋（ ）2－（ ）2〕＋ ＝－〔（x＋ ）2－（ ）2〕＋ ＝－（x＋ ）2＋（ 　）2＋ ＝－（x＋ ）2＋3 ∵－（x＋ ）2≦0， y＝－（x＋ ）2＋3≦3， ∴函數在x＝－ 時，有最大值y＝3。 提出x2項的係數 將x2＋3x 配成 完全平方式

試求下列函數的最大值或最小值： (1)y＝－2x2＋4x－2 (2)y＝ x2＋2x＋3 y＝－2（x －1）2≦0 ∴函數在x ＝1 時， 有最大值y＝0。 y＝ （x ＋2）2＋1≧1 ∴函數在x ＝－2 時， 有最小值y＝1。

像例題8、例題9這種配成完全平方式的方法，也稱為配方法。我們可以使用配方法，直接將y＝ax2＋bx＋c，a≠0 化成y＝a（x－h）2＋k的形式：

y＝ax2＋bx＋c ＝a（x2＋ x）＋c ＝a〔x 2＋ x＋（ ）2－（ ）2〕＋c ＝a〔（x＋ ）2－（ ）2〕＋c ＝a（x＋ ）2－a（ ）2＋c ＝a（x＋ ）2＋ 令h＝－ ，k＝ 代入上面等式可得y＝a（x－h）2＋k 的形式。 提出x2項的係數 將x2＋ x 配成 完全平方式

因為y＝a（x－h）2＋k 的圖形是拋物線，因此對於二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖形，我們可得： 1.其圖形是拋物線，頂點坐標（－ , ）， 對稱軸為直線x＝－ 。

2.其圖形開口方向的判斷方法與y＝ax 2相同，因此

若二次函數y＝－2x2＋bx＋c 的頂點為（ , 1） ，試求b、c之值。 搭配習作P12基礎題5 10 y＝ax2＋bx＋c的應用 若二次函數y＝－2x2＋bx＋c 的頂點為（ , 1） ，試求b、c之值。

解 ∵ y＝－2x2＋bx＋c的頂點（ ,1）， 且x2的係數為－2，5 ∴可令y＝－2（x－ ）2＋1 ＝－2（x2－x＋ ）＋1 ＝－2x2＋2x－ ＋1 ＝－2x2＋2x＋ 故對照原二次函數可得b＝2，c＝

1.若二次函數y＝2x2＋bx＋c 的頂點(－2，1)，試求b－c 之值。 ＝2x2＋8x ＋9 對照原式得b＝8、c＝9， 故b－c＝8－9＝－1。

2.若移動y＝x2 的圖形，使得頂點（0 , 0）移至（3 , －3）時，可得二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形，試求a＋b＋c 之值。 ＝x2－6x ＋6 對照原式得a＝1、b＝－6、c＝6， 故a＋b＋c＝1－6＋6＝1。

畫二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形時，除了可用配方法找到頂點之外，亦可利用公式求出頂點，但仍宜寫成 y＝a（x－h）2＋k 的形式，列表求 y 值。

11 y＝ax2＋bx＋c的繪圖 描繪二次函數y＝－x2＋6x－7的圖形。 y＝－x2＋6x－7 解 ＝－（x2－6x）－7 搭配習作P10基礎題2 11 y＝ax2＋bx＋c的繪圖 描繪二次函數y＝－x2＋6x－7的圖形。 解 y＝－x2＋6x－7 ＝－（x2－6x）－7 ＝－（x2－6x＋32－32）－7 ＝－（x－3）2＋32－7 ＝－（x－3）2＋2 ∴函數頂點坐標 （3 ,2）。

另解： 令a＝－1、b＝6、c＝－7， ∵a＜0，5 ∴函數在x＝－ ＝－ ＝3 有最大值y＝－32＋6．3－7＝2， 因此，函數頂點坐標為（3 ,2）。

因此從x＝3 開始，對稱的將x 和y 的對應值列表 如下： … 1 2 3 4 5 y －2 然後描點並畫平滑曲線如下圖：

描繪下列二次函數的圖形： (1) y＝x2＋x＋ … y x 5 2 1 x … … y … …

(1) y＝x2＋x ＋ ＝（x＋ ）2＋1 ∴頂點（－ ,1）

(2) y＝－2x2－8x－1 x … －4 －3 －2 －1 y 5 7 x … y

(2) 令a＝－2、b＝－8、c＝－1， ∵a＜0， ∴函數在x＝－ ＝－2 時， 有最大值y＝－8＋16－1＝7 故頂點為(－2 ,7） 則函數可化成 y＝－2(x＋2)2＋7

接著我們來探討二次函數的圖形與兩軸（x 軸與 y 軸）之間的關係。

12 圖形與兩軸的交點坐標 試求二次函數y＝－x2＋6x－7 圖形與兩軸的交點 坐標。 解 (1)求圖形與y軸的交點坐標： ∵在y軸上的點，其x坐標為 0， ∴ x＝0代入函數得y＝－7， 故與y軸的交點坐標為(0 ,－7) 。

(2)求圖形與x軸的交點坐標： ∵ 在x軸上的點，其y坐標為0， ∴令函數y 值為0，得0＝－x2＋6x－7， 解方程式x2－6x＋7＝0 令a＝1，b＝－6，c＝7。 得b2－4ac＝（－6）2－4．1．7＝8＞0 x＝ ＝ ＝ ＝　　　　 故與x軸的交點坐標為 (3＋ ,0)與(3－ ,0) 。

試求下列二次函數圖形與兩軸的交點坐標： (1) y＝x2－6x＋9 x ＝0 時，y＝9， ∴與 y 軸交於（0 ,9） y＝0 時，x2－6x ＋9＝0 （x －3）2＝0 x ＝3（重根） ∴與 x 軸交於（3 , 0）

試求下列二次函數圖形與兩軸的交點坐標： (2) y＝－2x2＋4x－5 x ＝0 時，y＝－5， ∴與 y 軸交於（0 ,－5） y＝0 時，－2x2＋4x －5＝0 判別式＝16－40＝－24＜0 方程式無解 ∴與 x 軸沒有交點。

當我們將 x＝0 代入二次函數y＝ax2＋bx＋c 時，可得 y＝c，也就是說二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與y 軸只交於（0 , c）。

由圖1-7可知，它與 x 軸相交的情形為交於兩點、只交於一點或沒有交點。

由例題12及隨堂練習可以發現，二次函數圖形與 x 軸的交點坐標，可由方程式 ax2＋bx＋c＝0 的解求得。 因為如果二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 x 軸交於（x0 , 0），則（x0 , 0）必定在 y＝ax2＋bx＋c 的圖形上，所以 0＝ax02＋bx0＋c，也就是說 x0 是方程式 ax2 ＋bx＋c＝0 的一個解。

因此要探討二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與x軸相交的情形，只需探討方程式 ax2＋bx＋c＝0 解的情況。根據一元二次方程式的公式解，我們知道： 1. 當判別式b2－4ac＞0： 方程式有兩個相異解，即二次函數 y＝ax2＋bx＋c的圖形與 x 軸交於 ( ,0)與( ,0)兩點。

2. 當判別式b2－4ac＝0： 方程式恰有一解，即二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 x 軸只交於一點，也就是頂點（－ , 0） 3. 當判別式b2－4ac＜0： 方程式沒有解，即二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 x 軸沒有交點。

13 圖形與x軸的交點個數（由判別式） 試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數： (1)y＝x2＋x＋1 (2)y＝2x2－x (3)y＝－ x2＋x－ 解 (1)∵判別式＝12－4．1．1＝－3＜0， ∴其圖形與 x 軸沒有交點。 (2)∵判別式＝（－1）2－4．2．0＝1＞0， ∴其圖形與 x 軸有兩個交點。 (3)∵判別式＝12－4．（－ ）．（－ ）＝0， ∴其圖形與 x 軸恰有一個交點。

下列哪些二次函數的圖形與x軸恰有一個交點： (1) y＝－ x2 (2) y＝x2＋5x (3) y＝x2－2x＋4 (4) y＝－2x2－3x－ (1)判別式＝0 (2)判別式＝25＞0 (3)判別式＝－12＜0 (4)判別式＝0 故(1)、(4)的圖形與 x 軸恰有一個交點。

二次函數圖形與 x 軸的相交情形，除了可用判別式來判斷外，當可以確定圖形頂點與開口方向時，我們也可利用其圖形的特性來判斷。

試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數。 (1) y＝2（x－5）2－4 (2)y＝－ （x＋3）2 (3) y＝－ （x＋ ）2－ 搭配習作P12 基礎題6 14 圖形與x軸的交點個數（由圖形特性） 試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數。 (1) y＝2（x－5）2－4 (2)y＝－ （x＋3）2 (3) y＝－ （x＋ ）2－ 解 (1) y＝2(x－5)2－4 圖形開口向上，且頂點(5,－4)在 x 軸下方，因此圖形與 x 軸會有兩個交點。

(2) y＝－ （x＋3）2 圖形的頂點（－3 , 0）恰在x軸上，因此其圖形與x軸恰有一個交點。

1.已知二次函數 y＝－2x2＋bx＋c 的頂點為 ( 2,3），試求其圖形與 x 軸的交點個數。 ∵y＝－2x2＋bx＋c 的圖形開口向下， 且頂點（2 , 3）在 x 軸上方， 因此圖形與 x 軸會有2個交點。

2.試求二次函數y＝a（x－h）2的圖形與 x 軸的 交點個數。 ∵ y＝a（x－h）2 的頂點為（h ,0）恰在 x 軸 上，因此圖形與 x 軸恰有一個交點。

1. y＝a（x－h）2＋k 與y＝ax2＋bx＋c 的圖形： 二次函數 y＝a（x－h）2 ＋k y＝ax2＋bx＋c a＞0 a＜0 圖形 拋物線 對稱軸 x＝h x＝－ 頂點座標 （h , k） (－ , )

開口方向 開口向上,頂點為最低點 開口向下,頂點為最高點 最大值或最小值 最小值k 最大值k

2. 二次函數與兩軸的交點： (1) 二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 y 軸只有交於一點（0 , c）。 (2) 二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖形與 x 軸相交的情形：

判別式 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 交點坐標 交於兩點： ( , 0 ) ( , 0 ) 交於一點： ( , 0 ) 沒有交點

圖形

1-2 自我評量 1.試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。 (1)y＝ （x－7）2 (2)y＝4（x＋ ）2－3 ∵ ＞0， ∴函數在x＝7 時， 有最小值y＝0。 ∵ 4 ＞0， ∴函數在x＝－ 時， 有最小值y＝－3。

(3) y＝－3x2＋24x－46 (4) y＝x2－5x＋4 y ＝－3（x－4）2＋2 ∴函數在x＝4 時， 有最大值y＝2。 y＝（x－ ）2－ ∴函數在x＝ 時， 有最小值y＝－ 。

2.描繪下列二次函數的圖形： (1) y＝－2 （x＋1）2 x … -3 -2 -1 1 y -8 x … y

(2) y＝（x＋2）2－3 x … -4 -3 -2 -1 y 1 x … y

(3) y＝x2－2x－1 x … -1 1 2 3 y -2 x … y

(4) y＝－ x2＋2x … y x 2 1 3 4 … y x

3.試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐 標與對稱軸，並比較其開口大小： 甲：y＝－5x 2＋3 乙：y＝2（x＋ ）2 丙：y＝3（x－2）2－6 丁：y＝－x 2－6x＋13 甲：頂點（0 , 3），對稱軸 x＝0（ y 軸）。 乙：頂點（－ , 0），對稱軸 x＝－ 。 丙：頂點（2 , －6），對稱軸 x＝2。 丁：頂點（-3 , 22），對稱軸 x＝－3。 開口大小：甲＜丙＜乙＜丁。

4.若二次函數 y＝－5x2 的圖形向左移動4個單位可得 y＝a（x－p）2 的圖形，試求 a＋p 之值。 ∵y＝a（x－p）2的圖形由 y＝－5x2 的圖形左移4單位而得， ∴a＝－5，且頂點為（－4 , 0） 故p＝－4， 則a＋p＝（－5）＋（－4）＝－9

5.若二次函數y＝－2x2的圖形移動可得y＝ax2＋bx＋c的圖形，且對稱軸為x＝3，圖形又通過坐標平面上的點（－1 , 6），試求c之值 ∴可將y＝ax2＋bx＋c寫成y＝－2（x－3）2＋k 又圖形通過（－1 , 6）， ∴代入得6＝－32＋k，k＝38 故函數為y＝－2(x－3)2＋38＝－2x2＋12x＋20 對照原式得c＝20。

6.若二次函數 y＝2x2＋2x－1 的圖形與 x 軸交於A、B 兩點，試求 。 （ , 0）﹑（ , 0） 則 ＝｜ － ｜＝ 。