对策论(一) 刘志新 2003.10.21

主要内容 1.基本概念 2.二人零和有限对策 3.二人非零和有限对策 4.二人零和无限对策

基本概念 1.对策论 2.局中人:决策的主体 3.支付:局中人从对策中获得的利益 4.行动:局中人在某时点上的决策变量 5.战略:局中人的行动规则 6.支付函数

基本概念 7.合作对策&非合作对策 8.两人对策&多人对策 9.零和对策&常和对策&变和对策 10.静态对策&动态对策&重复对策 11.完全信息对策&不完全信息对策

一个例子 囚徒困境

研究对策论常用的两种模型 (一)展开型 (二)正规型

展开型对策 例:

展开型对策 定义1:有n个局中人的对策树是指具有以下性质的三元组 ,使得: 为树,且 为一映射, 为局中人的集合 为一映射

展开型对策 定义2:设 为对策树,称 为由 产生的n人对策,对策 也称为展开型对策. 定义3:在对策 中,设有策略组 定义2:设 为对策树,称 为由 产生的n人对策,对策 也称为展开型对策. 定义3:在对策 中,设有策略组 使对于任何的 及 均有: ,则称 为对策 的一个平衡点. .

展开型对策 定理:设 为对策树,则 有一个平衡点

正规型对策 定义1:给定三元组 其中 均为集合,而 是定义在 上的实值函数,则称 为一个对策. 定义2:若有策略 ,使 定义1:给定三元组 其中 均为集合,而 是定义在 上的实值函数,则称 为一个对策. 定义2:若有策略 ,使 称 为甲的保守策略..

正规型对策 定义3:若有 满足: 则称策略对 为对策的非合作平衡解. 定义4:对于对策对 ,若不存在策略对 ,同时有 , 定义3:若有 满足: 则称策略对 为对策的非合作平衡解. 定义4:对于对策对 ,若不存在策略对 ,同时有 , 则称为对策的Pareto最优

二人零和有限对策 策略的表示:(矩阵)

二人零和有限对策 保守解策略是如下的策略 , 一般的

二人零和有限对策 我们希望 定义:在二人零和有限对策 中,若甲的支付函数为 ,设有值 则称对策 有鞍点,公共值 称为对策的值,相应的策略对 为对策的鞍点.

二人零和有限对策 有些时候鞍点是不存在的.例:

混合策略 引入混合策略 记 考虑期望收益

定义:对于 , 若有策略对 满足 , 其中 ,则称 为 的鞍点.

混合对策的存在性定理 定理:设 都是紧的,且 上连续,对于 ,有 (方法1:用凸集分离定理 方法2:用Kakutani不动点原理 定理:设 都是紧的,且 上连续,对于 ,有 (方法1:用凸集分离定理 方法2:用Kakutani不动点原理 方法3: )

优策略 定义:对于值为 而支付函数为 的对策,凡使 的策略 称为甲的优策略.而使 的策略 称为乙的优策略.

优策略的性质 性质1:每个局中人的优策略集是一个凸集. 性质2:若 是乙的优策略,并设 则对甲的任何优策略 ,必有: 性质2:若 是乙的优策略,并设 则对甲的任何优策略 ,必有: 其中 表示甲取策略 ,乙取策略 时的支付.

优策略的性质 性质3:设 为对策值, 为甲的任何优策略,有若对某个 ,有 则对乙的任何优策略 必有 性质3:设 为对策值, 为甲的任何优策略,有若对某个 ,有 则对乙的任何优策略 必有 性质4:设 为对策值,若对乙的任何优策略 有 则甲必有一个优策略 ,使得:

优策略的性质 性质5:若矩阵 可写作分块矩阵 若 中的每一列严格超出 中列的凸组合,又设 中的每一行严格的被 中行的某个凸组合超出,则 , , 均可删去而不影响甲乙的优策略集.

优策略的计算 定理:设对策值为 , 支付矩阵为 的对策 其优策略 为端点优策略的充要条件是存在 的子方阵 ,使得: 式中 表示 的伴随矩阵.

优策略的计算 例: 可取 可得:

二人一般和有限对策 双矩阵对策: 定义:在对策 中,若有策略对 ,使得: 则称 为 的一个非合作平衡点

存在性定理 定理:对每个双矩阵对策 至少存在一个非合作平衡点. 对 作改进:

判断平衡点 为平衡点

平衡点的Lemke_Howson算法 定理:当对策 为非退化时,对策肯定存在平衡点. (矩阵A非退化是指: 每个方 定理:当对策 为非退化时,对策肯定存在平衡点. (矩阵A非退化是指: 每个方 子阵都是非奇异的(除去最后的零矩阵))

平衡点的Lemke_Howson算法 例: 选取

谈判问题 可行集 谈判的基点(各自的保守收益) 谈判的结果找 ,使得双方都满意即存在映射 ,使得 .

Nash的谈判公理体系 公理1(个体合理性): 公理2(可行性): 公理3(Pareto最优性)若 且 则 . 则 . 公理4(无关方案的独立性):若 , 且 ,则 .

Nash的谈判公理体系 公理5(线性变换的无关性)设T是由S经如下线性变换 而得到的,如果 则必有 其中 为正常数, 为常数. 而得到的,如果 则必有 其中 为正常数, 为常数. 公理6(对称性) :若S是对称的,即若 有 ,且若 ,则有 .

谈判定理 定理:对于所有的谈判问题 ,存在唯一的满足以上公理的 .

“恐吓”问题 考虑以下的双矩阵对策: 都有独立的恐吓策略,谈判的基点:

二人零和无限对策 问题的描述: 定义:在二人零和无限对策中,若存在 使得对所有 都成立 ,则称 ( ) 为鞍点. 使得对所有 都成立 ,则称 ( ) 为鞍点. 在无限对策中,鞍点不一定存在.

鞍点 定义:在对策 ,点 称为 鞍点,若下式对任意的 都成立,

无限对策中的混合扩张 定义: :集合X的子集的 代数 y:集合Y的子集的 代数 : ,y上所有的概率测度组成的集合 称 为对策 的混合扩张, 称 为对策 的混合扩张, 其中

混合扩张的平衡点 定义: 为二人零和无限对对策, 为对策的混合扩张,若存在 使得对所有的 都有: 称 为对策的混合扩张的平衡点.

具连续支付函数的对策 定理:二人零和无限对策 中,X,Y为紧集,H为一连续函数,则存在混合策略对 使得 对任意的 都成立.此时有

凸策略与凹策略 定义:设X,Y为紧集,并且Y为凸集,支付函数 是连续的,且对任意固定的 ,H(x,y)关于y是凸的,则对策 称为凸对策. 当X为凸集,支付函数H是连续的,且对任意固定的 ,H(x,y)关于x是凹的,则称对策为凹对策

凸策略与凹策略 定理:设对策 为凸对策,则对局中人来说都存在一个最优存策略,且策略的值为 .

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