选修3－4 第一章 机械振动 机械波 考 纲 展 示 高 考 瞭 望 知识点 要求 1.简谐运动的描述，振幅、周期、频率、 选修3－4 第一章 机械振动 机械波 考　纲　展　示 高　考　瞭　望 知识点 要求 1.简谐运动的描述，振幅、周期、频率、 相位及表达式x＝Asin(ωt＋φ)的考查 2.简谐运动的位移、回复力、速度、加速 度、能量的变化规律 3.弹簧振子和单摆模型，单摆周期公式 4.实验：利用单摆测定当地重力加速度 5.振动图象和波动图象的理解和应用 6.波长、频率和波速的关系式v＝λf在波 的传播问题中的分析和应用 7.波的干涉、衍射现象的分析和应用 8.多普勒效应为2009年新增内容，在高考 中有可能涉及到. 简谐运动、简谐运动的表达式和图象 Ⅰ 单摆，周期公式 受迫振动和共振 机械波 横波和纵波 横波的图象 波速，波长和频率(周期)的关系 波的干涉和衍射现象 多普勒效应 （实验、探究）研究单摆的运动、用单摆测重力加速度

第1讲 机械振动 一、机械振动 1．定义：物体(或物体的一部分)在平衡位置附近的 运动． 第1讲 机械振动 一、机械振动 1．定义：物体(或物体的一部分)在平衡位置附近的 运动． 2．回复力：使振动的物体返回 的力叫做回复力，回复力总指 向平衡位置，是以 命名的力，它是振动物体在 方向上的合外力． 往复 平衡位置 效果 振动

3．平衡位置：物体原来静止的位置．物体振动经过平衡 位置时 处于平衡状态，如单摆． 4．简谐运动 如果物体所受回复力的大小与位移大小成 ，并且总是指向平衡位 置，则物体的运动叫简谐运动． 不一定 正比

二、描述简谐运动的物理量 1．位移：振动物体的位移是物体相对于 的位移，它总是以平 衡位置为始点，方向由 指向物体所在的位置，位移 的大小等于这两个位置之间的距离．物体经平衡位置时位移方向改变． 2．速度：简谐运动是变加速运动．物体经平衡位置时速度 ，物体在 最大位移处时速度为 ，且物体的速度在最大位移处改变方向． 平衡位置 平衡位置 最大 零 3．加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体指向平衡位置的(或沿振动方向的)加速度a＝－ x.由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反．

4．回复力 (1)来源：是振动物体所受的沿振动方向所有力的合力． (2)效果：产生振动加速度，改变速度的大小，使物体回到平衡位置． (3)举例：①水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；②竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；③单摆的回复力是摆球所受重力在圆周切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力． (4)F＝－kx中“－”号表示回复力与位移x反向．

5．振幅、周期(频率)、相位 (1)振幅：反映振动质点振动强弱的物理量，它是标量． (2)周期和频率：描述振动快慢的物理量，其大小由振动系统本身来决定，与 振幅无关．也叫做固有周期和固有频率． (3)相位：是用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量，其单 位为弧度．

(1)振动物体经过同一位置时，其位移大小、方向是一定的，而速度方向却有指 向或背离平衡位置两种可能． (2)当振子经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零．

三、简谐运动的规律 1．简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx其中“－”表示回复力与位移的方向相反． (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ) 2．简谐运动的对称性 (1)瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系．另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反． (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图1－1－1所示．

3．简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图1－1－2. (2)从最大位移处开始计时，函数表达式x＝Acos ωt，图象如图1－1－3.

(1)简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹． (2)利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做 简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点 的合力或加速度．

简谐运动的两个基本模型的比较 模型 弹簧振子(水平) 单　摆 简谐运动条件 (1)弹簧质量忽略不计 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹性限度内 (1)摆线为不可伸长的轻细线 (2)无空气等阻力 (3)最大摆角θ<10° 回复力 弹簧的弹力提供F回＝F弹＝－kx(x为形变量) 摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力F回＝－mgsin θ＝－ x(l摆长，x是相对平衡位置的位移) 平衡位置 F回＝0，a＝0　弹簧处于原长 F回＝0，a切＝0，小球摆动的最低点(此时F向心≠0)，a＝a向心≠0 能量转化关系 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 固有周期 T与振幅无关，与m、k有关 T＝2π ，T与振幅、摆球质量无关

1．有甲、乙两个简谐运动，甲的振幅为2 cm，乙的振幅为3 cm，它们的周期都是4 s，当t＝0时甲的位移为2 cm，乙的相位比甲落后

2．如图1－1－4所示为一单摆及其振动图象，由图回答： (1)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的________点. 一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是________． (2)单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是________． A．位移　B．速度　C．加速度　D．动能　E．摆线张力 (3)求单摆的摆长(g＝10 m/s2　π2≈10)

解析：(1)图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时 周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G.A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5～2.0 s 间．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程，在图象中为从O到A，时间范围是0～0.5 s间． (2)过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率 也不变，摆线张力mgcos α＋m 也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变． (3)由图象可知：T＝2 s，由T＝ ＝1 m. 答案：(1)E、G、E、F　1.5～2.0 s　0～0.5 s　(2)B 　(3)1 m

1．驱动力：周期性的外力作用于振动系统，对系统做功，克服阻尼作用，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去，这种周期性的外力叫驱动力． 2．受迫振动：是物体在周期性外力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率．

3．共振：驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象称为共振． (1)产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率． (2)共振的应用：共振筛，共振测速． (3)共振曲线 如图1－1－5所示，以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标．它 直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固越接 近，振幅A越大；当f驱＝f固时，振幅A最大．

受迫振动和共振的关系比较如下： 振动类型 项目 受迫振动 共　振 受力情况 周期性驱动力作用 振动周期 或频率 由驱动力的周期或频率决定， 即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或f驱＝f固 振动能量 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 机械工作时底座发生的振动 共振筛、转速计等

3. 如图1－1－6所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是(　　) A．摆长约为10 cm B．摆长约为1 m C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动 D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动 解析：由单摆做受迫振动时的共振曲线可知，当单摆发生共振时，固有频率等于驱动力的频率，即固有频率为0.5 Hz，因而固有周期为2 s，由单摆的周期公式可知，此单摆的摆长约为1m，B正确；若增大摆长，周期变长，频率变小，共振曲线的“峰”将向左移动，D正确． 答案：BD

【例1】 有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置 时开始计时(t＝0)，经过1/4周期振子有正向最大加速度． (1)求振子的振幅和周期； (2)在图1－1－7中作出该振子的位移—时间图象； (3)写出振子的振动方程．

解析：(1)振幅A＝10 cm，T＝ ＝0.2 s. (2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移．如右图所示 (3)设振动方程为y＝Asin(ωt＋φ) 当t＝0时，y＝0，则sin φ＝0 得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π 所以振动方程为y＝10sin(10πt＋π) cm 答案：(1)10 cm　0.2 s　(2)如解析图 (3)y＝10sin(10πt＋π) cm

(1)应用振动图象可直接读出振幅、周期、初相． (2)书写简谐运动表达式，可根据位移通式x＝Asin(ωt＋φ)，结合从图象上得到 的振幅A和初相φ，周期T，再根据ω＝ ，解出ω代入即可．

1－1　一质点简谐运动的振动图象如图1－1－8所示． (1)该质点振动的振幅是________ cm.周期是________ s．初相是________． (2)写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t＝1 s时质点的位移． 解析：(1)由质点振动图象可得A＝8 cm，T＝0.2 s，φ＝ . (2)ω＝ ＝10π rad/s.质点简谐运动表达式为x＝8sin(10πt＋ )， 当t＝1 s时，x＝8 cm. 答案：(1)8　0.2　 　(2)x＝8sin(10πt＋ ) cm　8 cm

1－2　如图1－1－9所示为一弹簧振子的振动图象，求： (1)从计时开始经过多长时间第一次达到弹性势能最大？ (2)在第2 s末到第3 s末这段时间内弹簧振子的加速度、 速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？ (3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？

解析：(1)由图知，在计时开始的时刻振子恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置O，此时弹簧振子具有最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐加大，经t＝ ＝1 s，其位移达到最大，此时弹性势能最大． (2)由图知，在t＝2s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移大小不断加大，加速度的大小也变大，速度大小不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的大小达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值． (3)振子经一周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子位移s＝0，振子路程s′＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.

答案：(1)1 s (2)位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值． (3)0　5 m

【例2】 如图1－1－10所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫ .甲球从弧 (2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时 乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球 下落的高度h是多少？

解析：(1)甲球做自由落体运动． 乙球沿圆弧做简谐运动(由于 ≪R，可认为摆角θ<5°)，此振动与一个摆长 为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此第1次到达C处的时间为 (2)设甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落t甲＝ 由于乙球运动的周期性，所以乙球到达最低点时间为 由于甲、乙相遇t甲＝t乙，解得：h＝

2－1　图1－1－11甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C 是 摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这 个单摆的振动图象．根据图象回答： (1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时刻摆球在何位置？ (3)若当地的重力加速度为10 m/s2， 试求这个摆的摆长是多少？

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