第六章 曲线和曲面(三) 2019/5/19 Thank you for your time today. Believe I have a lot of good information to share with you today – it’s been just a little over a year since we introduced the notion of e-business on demand – know that there’s been a lot written about it … lots of competitors have begun to describe notions that sound very similar. Today I want to spend the majority of our time together moving the discussion from the what and why of becoming an on demand business to the how – to some very concrete essentials, methodologies and offerings that we’ve spent the last year developing. But before I get into specifics on the how to – I do want to spend a few minutes up front – setting a little context. 2019/5/19

主要内容： 曲线、曲面参数表示的基础知识 常用的参数曲线 常用的参数曲面 2019/5/19

曲面表示： 曲面表示的作用： 能使模型表现的质量更高，特别是构造高质量真实感模型； 曲面建模方法：很多 方法一：类似于多面体建模，用小的，互相连接的曲面片，而不是用多边形构造模型； 方法二：直接定义实体对象的表面，如多面体、球体、柱体和圆锥体等，再用这些实体对象构建模型，此过程也称为实体建模； 构建模型方法： 加法建模：把许多简单的实体对象组合起来构建模型； 减法建模：从给定的物体中去除某些部分，从而构建新的物体，如，在球体或立方体中挖一个柱形的洞。减法建模类似于雕塑； 2019/5/19

曲面绘制： 曲面的建模和逼近比较复杂； 两种曲面的表示方法：特征网格、插值面片 特征网格：用给定的节点集Pij构造曲面； 直接推广Bezier-Bernstein和Bezier-B样条曲线逼近方法。 特征网格是一个多边形网络，其顶点为Pij 插值面片： 描述曲面片的边界曲线，再通过边界曲线的插值，“填充”曲面片的内部； 2019/5/19

常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面 常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19

参数曲面的表示： 1、一张矩形域上的参数曲面片 参数曲面的定义 显式、隐式； 参数式：从图形学角度，更便于用计算机表示与构造； 定义：由曲线边界包围，具有一定连续性的点集面片； 用双参数的单值函数表示（如图）： 2019/5/19

参数曲面的定义 其中 为参数； 上式可改写为： 参数曲面片的常用几何元素： 1）角点： 代入 可得四个点： 其中 为参数； 上式可改写为： 参数曲面片的常用几何元素： 1）角点： 代入 可得四个点： 2）边界线：矩形域曲面片的四条边界线是： 3）曲面片上一点； 4） 点的切矢：在面片上一点 处有 向切矢为 向切矢为： 5） 点的法矢：该点处的法矢记为： ，简记为： 2019/5/19

参数曲面的定义 2、常用面片的参数表示举例（1） 在xoy平面上，矩形域的平面片的参数表示（如图）： 球面（如图）： 球心坐标： 半径：r 参数：纬度，经度 表达式： 2019/5/19

参数曲面的定义 常用面片的参数表示举例（2） 简单回转面 若一条曲线绕Z轴旋转，会得到一张回转面；如图； 参数表达式： 2019/5/19

参数曲面的定义 3、双三次参数曲面片的代数形式 定义：两个三次参数变量定义的曲面片；应用最广泛的一种面片； 代数形式： 矩阵表示： 若已知四个角点坐标及其切矢量，则该面片边界线的代数形式： 1） 2） 2019/5/19

参数曲面的定义 4、双三次参数曲面片的几何形式 3） 4） 1）几何表示是基于其代数表示和 边界条件： A. 4个角点位置矢量 B.角点处的8个切点 A、B共同定义边界曲线（如图：） 2019/5/19

参数曲面的定义 2）边界曲线表达式： F与Hermite曲线的调和函数相同； 3）求辅助线（如图）； 对曲线 作u向切矢，可以得到一条辅助线： 类似的，另外三条辅助曲线： 钮矢：其中 是曲面片角点处的扭矢； 双三次曲面片上任一点的扭矢满足： 2019/5/19

参数曲面的定义 4）由边界曲线和辅助线，构造双三次参数曲面片，其几何系数矩阵为： 其中： 左上角子阵：矩形域的角点位置矢量； 左下角子阵：角点在u向的切矢； 右上角子阵：角点在w向的切矢； 右下角子阵：角点的钮矢； 5）求 ： 曲面点pi,j可看成曲线Piw和Puj的交点，也是求一个给定参数值的参数曲线上的一点。对于两条曲线，首先确定其几何系数 ，进而求 2019/5/19

参数曲面的定义 上式中系数： 是 的简写； A：确定几何系数 设从曲线 开始，确定其几何系数： B：求 由 边界曲线，求 由 辅助曲线，求 设从曲线 开始，确定其几何系数： B：求 由 边界曲线，求 由 辅助曲线，求 上式中系数： 是 的简写； 2019/5/19

参数曲面的定义 6）几何表示的矩阵式： 由上述四式求得 曲线的几何系数后，则点 点 处的 ： 由上述四式求得 曲线的几何系数后，则点 点 处的 ： 令 ，则双三次参数曲面片的几何和表示的矩阵式为： 此处： M和三次Hermite曲线的系数矩阵相同 －》 2019/5/19

参数曲面的定义 7）代数形式和几何形式间的关系： 由 定义的双三次参数曲面称为Hermite曲面或Ferguson曲面； 基于式6-3-2: 和6-3-1: 可得双三次参数曲面代数形式和几何形式之间的关系： 构造参数曲面的主要任务：构造其几何系数矩阵B。 5、双三次参数曲面的切矢和钮矢 1）U向切矢： 2）w向切矢： 3）钮 矢： 2019/5/19

常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面 常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19

参数曲面的重新参数化 1、参数方向变反 最简单形式：把参数变量u或/和w的方向变反； 此方式不改变曲面片的形状； 如图，表示对一个曲面片改变参数方向的三种情况： 2019/5/19

参数曲面的重新参数化 初始曲面片如图a，其几何系数Ba： 若参数U方向取反－》相应法矢方向也取反，几何系数为Bb: 若参数w方向取反－》相应法矢方向也取反，几何系数为Bc: 若u,w方向均取反－》相应法矢方向不变，几何系数如Bd： 2019/5/19

参数曲面的重新参数化 2、重新参数化的一般形式 一般情况如图（下页）所示： 图a所示曲面片参数区间从 变到 ，从 变到 ；其几何系数B1； 图b参数区间从 变到 ，从 变到 ；其几何系数B2； 对B1，B2两张曲面片，角点位置应重合，即： 若要求两张曲面片的参数方程仍是双三次，要求u和t, w和v是线性关系： 2019/5/19

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参数曲面的重新参数化 3、参数曲面片的分割 给定参数曲面片，几何系数矩阵B1； 2019/5/19

参数曲面的重新参数化 对于新面片，角点有如下关系： 其中P矢量是B1的元素，q矢量是B2的元素； 若令 ，则相应切矢和扭矢如下表示： 若令 ，则相应切矢和扭矢如下表示： 由上述16个表达式可以构造分割后子曲面片的几何系数矩阵B2； 2019/5/19

常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面 常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 1、平面 最简洁的参数表示形式（如图）： 其代数形式是双三次曲面片代数形式的退化表示，即： 其中： 说明该平面片过 且平行于r,s矢量。其相应的几何形式为： 角点： U向切矢： W向切矢： 扭矢： 由此四个参数表示的几何参数矩阵： 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 2、二次曲面 球体、柱体、锥体都属于二次曲面家族； 二次曲面用二次（x,y或z）方程定义； 几何表示定义参数下表所示，对应图6.3.11 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 二次曲面的代数式定义： 写成矩阵： 上式化简可消去一次项，可得: 即： －》二次曲面的判断式； 即： －》二次曲面的判断式； 若 则方程表示一个球面，其半径为： 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 其余情况见下图： 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 3、直纹面 定义： 绕面上任一点的面法矢旋转含该法矢的平面，如果该平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠，则此面在一个方向上是直纹面（如图：）。 如在多个方向上该平面边和此面重叠，则此面在该点有多个直纹； 最简单的直纹面是平面； 二次曲面中的圆锥（台）面和圆柱面是单直纹面； 一张双曲面和双曲抛物面是双直纹面； 直纹面可看作是对两条已知边界曲线的线性插值； 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 直纹面表示： 已知两条边界曲线式： 则直纹面为： 注意： 曲面的角点和边界曲线的端点重合； 直纹面的边界和线性插值边界重合： 即： 若已知： ，直纹面可以写成： 直纹面例子如图所示： 2019/5/19

平面、二次曲面和直纹面 4、双线性曲面 单位正方形的参数空间内，以其相反边界进行线性插值而获得的面； 如图,设任一点的参数坐标： 其矩阵形式： 角点： 如给定四个三维点，则用上式插值得到的双线性曲面也是三维的； 如给定单位立方体不共面的四个点，则双线性插值面为双曲抛物面，如图： 2019/5/19

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Bezier曲面 1、定义 基于Bezier曲线，能给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线中的一些算法可以扩展到Bezier曲面的情况。 曲面定义：设 为 个空间点列，则 次Bezier曲面定义为： 基函数：式中 为Bernstein 基函数； 特征网格：依次用线段连接点列 中相邻两点所形成的空间网格为特征网格； Bezier曲面的矩阵表示： 实际应用中m,n小于4； 2019/5/19

Bezier曲面 1）双线性Bezier曲面： 定义： 上式定义了一张双线性Bezier曲面； 如果已知四个角点，则： 上式定义的曲面，其边界曲线及其参数坐标曲线均为抛物线； 3）双三次Bezier曲面： 2019/5/19

Bezier曲面 上式的矩阵形式： 双三次Bezier曲 面如图所示－》 2019/5/19

Bezier曲面 式中参数阵 的作用： 1） 是曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵，其中 在曲面片的角点处； 式中参数阵 的作用： 1） 是曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵，其中 在曲面片的角点处； 2） 阵四周的12个控制点定义四条Bezier曲线，即曲面片的边界曲线； 3） 阵中央的四个控制点 与边界曲线无关，但也影响曲面的形状； 2019/5/19

Bezier曲面 2、Bezier曲面片的拼接 已知两张双三次Bezier曲面片： 令： 相应特征网格如图： 1） 达到 连续 此时： 1） 达到 连续 此时： 2019/5/19

Bezier曲面 2） 达到 连续 此时在 区间， 在 处的切矢 和 在 处的切矢必须相同，即两个曲面在公共边界处的法矢必须连续，其表达式为： 分为两种情况讨论： a)设 将位置矢量和 代入上式有： 表示这四串点列应位于同一条直线上； 2019/5/19

Bezier曲面 b)设： 说明过 边界曲线上的一点作切平面，则 上的 应位于此切平面内，式中 为任意正数， 是w的一次方程； 2019/5/19

常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面 常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19

B样条曲面 1、定义 曲面定义：基于均匀B样条的定义和性质，可得B样条曲面的定义； 设有 个空间点列 ，则 定义了k×l次B样条曲面； 设有 个空间点列 ，则 定义了k×l次B样条曲面； 基函数：式中 分别为k次和l次的B样条基函数。 特征网格：有 组成的空间网格称为B样条曲面的特征网络； 矩阵表示： 式中y,z分别表示在u,v参数 方向上曲面片的个数： 是某个B样条面片的控制点编号； 2019/5/19

B样条曲面 最常用的B样条曲面是二次、三次B样条曲面； 1）均匀双二次B样条曲面： 已知曲面的控制点 则构造步骤： （1）沿v或u向构造均匀二次B样条曲线，有： 2019/5/19

B样条曲面 （2）再沿u或v向构造均匀二次B样条曲线，即可得均匀双二次B样条曲面： 2）均匀双三次B样条曲面： 已知曲面的控制点 构造步骤： （1）沿v或u向构造均匀三次B样条曲线（i=0,1,2,3），有： 2019/5/19

B样条曲面 （2）再沿u或v向构造均匀三次B样条曲线，即可得均匀双三次B样条曲面： 可认为是顶点沿 滑动， 每组顶点对应相同的v，当 可认为是顶点沿 滑动， 每组顶点对应相同的v，当 v由0到1连续变化，即形成B样条曲线； 2019/5/19

B样条曲面 3、反求均匀B样条曲面的控制点 已知型值点： 求相应均匀双三次B样条曲面的控制点列： 1）双向曲线反算法： （1）求特征多边形 对u向的m组型值点，按照B样条曲线的边界条件以及反算公式，求得由m组 B样条曲线构成的特征多边形，顶点为： （2）求特征网格控制点 每条曲线均要加两个边界条件－》可得(n+2)×m个特征网格控制点 把边Vi,j看作是v向的m组型值点，再作(n+1)次B样条曲线反算，即可得双三次B样条曲面的特征网格控制点： 2019/5/19

B样条曲面 2）广义矩阵法： 以均匀双三次B样条曲面为例： 2019/5/19

常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面 常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19

Coons曲面 Coons曲面 1964年，美国麻省理工学院S.A.Coons提出一种曲面分片、拼合造型的思想，Bezier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格，Coons曲面的特点是插值，即通过满足给定的边界条件的方法构造Coons曲面 Coons曲面的特点 属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，用于构造给定型值点的曲面，不适用于进行曲面设计。 原因：在曲面设计的初级阶段，设计者对其所设计产品的外形仅有粗略的概念。为得到满意的外形，需要不断地修改型值点的位置。 2019/5/19

由于扭矢的几何意义不明显，设计人员难以把握，难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制 Coons曲面 由于扭矢的几何意义不明显，设计人员难以把握，难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测 基本概念 假定参数曲面方程为P(u, v), u,v€[0, 1] 曲面片的四条边界 P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v) 曲面片的四个角点 P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1) 2019/5/19

u线和v线上的切矢：P(u,v)的u向和v向求偏导矢： Coons曲面 u线和v线上的切矢：P(u,v)的u向和v向求偏导矢： 边界线P(u,0)上的切矢： 同理：Pu(u,1), Pv(0,v), Pv(1,v)也是边界线上的切矢 边界曲线的跨界切矢: 边界曲线P(u,0)上的法向(指参数v向)偏导矢 同理，Pv(u,1), Pu(0,v), Pu(1,v)也是边界曲线的跨界切矢 2019/5/19

角点P(0,0)的u向和v向切矢:在曲面片的每个角点上都有两个这样的切矢量 Coons曲面 角点P(0,0)的u向和v向切矢:在曲面片的每个角点上都有两个这样的切矢量 混合偏导矢或扭矢: 反映Pu对v的变化率或Pv对u的变化率 角点P(0,0)的扭矢: 曲面片上的每个角点都有这样的扭矢 2019/5/19

如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线P(u,0),P(u,1), Coons曲面 双线性Coons曲面 如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线P(u,0),P(u,1), 2019/5/19

Coons曲面 问题的解有无穷多个，看一种最简单的情况。首先，在u向进行线性插值，可以得到以P(0,v)和P(1,v)为边界的直纹面P1(u,v) : 再在v向进行线性插值，可以得到以P(u,0)和P(u,1)为边界的直纹面  P2(u,v)： 如果把P1(u,v)和P2(u,v)叠加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了四条连接边界两个端点的直边。为此，再构造分别过端点P(0,0)、P(0,1)及P(1,0)、P(1,1)的直线段： 2019/5/19

然后，以这两条直线段为边界，构造直纹面P3(u,v)： Coons曲面 然后，以这两条直线段为边界，构造直纹面P3(u,v)： P(u,v)=P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v), u,v€[0,1]便是所要求构造的面(四条直线边界被减掉)，称之为双线性Coons曲面片。P(u,v)可进一步改写成矩阵的形式： 2019/5/19

Coons曲面 右端的三阶方阵包含了曲面的全部边界信息，称之为边界信息矩阵，其右下角二阶子块的四个矢量是曲面边界的端点，称之为曲面的角点。用双线性Coons曲面片来进行曲面拼合时，可以自动保证整张曲面在边界的位置连续 2019/5/19

Coons曲面 双三次Coons曲面 双线性Coons曲面能够自动保证各曲面片边界位置连续，曲面片边界的跨界切矢是否也同样连续？对(3.1.20)对v求偏导后，代入v=0，可得的跨界切矢：(计算略) 可见，跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关，还与该边界曲线有关。 因此，双线性Coons曲面在曲面片的边界上，跨界切矢一般不连续，也就是说，不能达到曲面片的光滑拼接 2019/5/19

Coons曲面 为构造光滑拼接的Coons曲面，除了给定边界信息外，还要给定边界的跨界切矢。也就是说，构造出的Coons曲面片不仅以给定的四条参数曲线为边界，还要保持四条曲线的跨界切矢。假定四条边界曲线为： 四条边界曲线的跨界切矢为： 不妨取Hermite基函数F0, F1, G0, G1作为调和函数，以类似于双线性Coons曲面的构造方法，构造双三次Coons曲面。在u向可得曲面P1(u,v): 2019/5/19

对角点的数据进行插值，可得曲面P3(u,v)： Coons曲面 在v向可得曲面P2(u,v)： 对角点的数据进行插值，可得曲面P3(u,v)： 2019/5/19

Coons曲面 跨界切矢就是已经给定的四条边界曲线和四条边界曲线的跨界切矢，称为双三次Coons曲面片。P(u,v)改成矩阵的形式为： 2019/5/19

Coons曲面 在式(3.1.21)右边的五阶方阵(即边界信息矩阵)中，第一行与第一列包含着给定的两对边界与相应的跨界切矢，剩下的四阶子方阵的元素由四个角点上的信息组成，包括角点的位置矢量、切矢及扭矢 观察方程(3.1.20)与(3.1.21)，可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons曲面方程 2019/5/19

常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面 常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19

常用双三次参数曲面的等价表示 已知：双三次Hermite, Bezier, B样条曲面的矩阵表达： 2019/5/19

常用双三次参数曲面的等价表示 问题：已知上述三种表示形式的一种，求其它二种： 1）已知Bezier表示，求Hermite和B样条表示的 和 ： 对同一张曲面，有： 则 2）已知Hermite表示，求Bezier和B样条表示的 和 ： 3）已知B样条表示，求Bezier和Hermite表示的 和 ： 对同一张曲面 2019/5/19

Thank you! Best Wishes! 谢谢! 2019/5/19