多连域中复势的一般形式 和 函数 在多连通域中可能是多值的。而应力 和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力 和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅 有一个内边界s k和一个外边界sm+1的情形。 1 应力单值条件 由式(3-8) 知， 的实部单值。虚部 可多值。绕 一周，虚数增量为 2 k Ai p 考察Ak ln (z-zk)，其中zk是边界sk之外的任意一点。 绕sk一周后，右边有增量 。令 (1)
代入式(2)，并将-Akzk ln (z-zk)与 ck ln(z-zk)合并写成 ，即得 式中 全纯。 积分，得 常数. (2) z0为弹性体内的任选定点，如图3-2所 示。 +全纯函数。 代入式(2)，并将-Akzk ln (z-zk)与 ck ln(z-zk)合并写成 ，即得 x y N 图3-2 (3) 其中 全纯。 为复常数。
又由式(3-9) 可知，函数 在多 连域全纯。类似地 为复常数， 全纯。 2 位移单值条件 位移单值对 及 (4) 为复常数， 全纯。 2 位移单值条件 位移单值对 及 的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4) 三式代入式(3-10)有
是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针 令增量为零，即 , 且 (5) 3 有限多连域的复势 确定应力函数(3)和(4)式中的复常数 及 ,需将式(3-11) 应用于整个内边界sk,积分一周得, (6) 是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针
转向（使外法线向右），将式(1),(3),(4)代入式(6)得 (7) 由式(5)及式(7)求得 将它们代入式(3)及式(4)，得 (3-13) 式中 、 在多连域全纯
原点为圆心，作半径为R的大圆周sR ，所有内边界s1到sm 包围在其内，对于sR之外的任意一点z 4 无限多连域的复势 考察函数 及 在无限远邻域的性态。 原点为圆心，作半径为R的大圆周sR ，所有内边界s1到sm 包围在其内，对于sR之外的任意一点z 在 之外的解析函数。 式(3-13)可写为 (1) 当R 趋于零时为原点作用集中力解.
将式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再将式(2)中的第一 式代入，得 及 可展为罗朗级数 (2) 将式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再将式(2)中的第一 式代入，得 因无限远处应力有界 (3) 由式(3-9)， 时，应力有限，必有 (4)
于是 (5) 式(5)可简化为 (3-14) 其中
设σ1及σ2为无限远处的主应力，σ1与x轴之间的夹角 为α，由坐标变换 (3-15) 再由式(3-8)及式(3-9)，在无限远处，令 (6) 设σ1及σ2为无限远处的主应力，σ1与x轴之间的夹角 为α，由坐标变换 (3-16) 值得指出，公式(3-14)和(3-15)只能描述多连域的远场(sR 之外)，只含有一个圆孔时，才是该域复应力函数的精确 公式。无限多连通域的复势可由式(3-13)给出，其中
对于无限多连域,应为