§3.1函数的单调性 y x

复习引入： 问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性 1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时， 　(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即 　.

(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即

(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性. 2．由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个 　值，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.

函数y=x2－4x＋3的图象： y x 2 单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).

例2：讨论函数　　　　　的单调性。 y x 1 2 -1 -2 单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.

那么如何求出下列函数的单调性呢?

发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：

这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关

能不能把 “过山车”这个实际模型数学化呢？ 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。 能不能把 “过山车”这个实际模型数学化呢？

. . . . . . . 再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y x 2 总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 . 总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变. . . . . . . 2

三、建构数学: 一般地， 设函数y＝f（x）， 1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x）为该区间上的增函数， a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数。

四、数学运用: 例1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 解：f′(x)=(x2－4x+3)′=2x－4. 例1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 解：f′(x)=(x2－4x+3)′=2x－4. 令2x－4＞0，解得x＞2. ∴当x∈(2，+∞)时， f′(x)＞0，f(x)是增函数. y x o 1 －1 令2x－4＜0，解得x＜2. ∴当x∈(－∞，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数 思考：能不能用其他方法解？

四、数学运用: 例1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 解：取x1<x2,,x1、x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(-∞,2)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(2,+∞)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。

例2 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时， f(x)也是增函数. 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2. ∴当x∈(0，2)时，f(x)是减函数. 说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用 连接，只能分开写，或者可用“和”连接。

四、数学运用: 变式1：求 的单调减区间

例3 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.

例4判定函数y=ex-x+1的单调区间. 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).

理解训练： 求函数 的单调区间。 例 1 变1：求函数 　的单调区间。

巩固训练： 变2：求函数 的单调区间。

变3：求函数 的单调区间。

结论 一般地， 设函数y＝f（x）， 1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x）为该区间上的增函数，

自我总结 利用导数讨论函数单调性的一般步骤: (1)求y=f(x)的定义域D (2)求导数f’(x) (3)解不等式：f’(x)>0或f’(x)<0 (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间

应用延伸 应用导数信息确定函数大致图象

已知导函数的下列信息： 试画出函数 图象的大致形状。 A B x y o 2 3

尝 高 考 试 C 设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ) (A) (B) (C) (D) x y o 2 设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ) C x y o 2 x y o 1 2 x y o 1 2 (A) (B) x y o 1 2 x y o 1 2 (C) (D)

自我小结 1.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间，或证明函数的单调性. 2.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.

高 考 尝 试 B

A 课 堂 练 习 1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (-1,1) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) A

A B 2、函数y=a(x3-x)的减区间为 a的取值范围为( ) (A)a>0 (B)–1<a<1 (C)a>1 (D) 0<a<1 A 3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 （B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定 B

四、数学运用: 基础练习:求下列函数的单调区间 （1） （2）

四、数学运用: 例3：确定函数 f(x)=sinx， 的单调区间。

四、数学运用: 例4： 求证：f(x)=2x-sinx在R上为单调增函数。

四、数学运用: 练习：求证： 内是减函数

五、小结: 1.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间，或证明函数的单调性. 2.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.

六、课后作业 P78习题3.3第1、2题

知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 基础训练： (1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。 增

增 减 (2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。 增 减 既不是增函数 又不是减函数

谢谢！再见