幂 函 数

一 引入 我们先来看看几个具体的问题: S=a² V=a³ V=t⁻¹ km/s (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 __________ P=W 元 p是w的函数 S=a² (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_____ S 是a的函数 V=a³ (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________ V是a的函数 (4)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度___ _____________ V=t⁻¹ km/s V是t 的函数

以上问题中的函数有什么共同特征？ y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1 y=x （1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。

1。幂函数的定义： 2。幂函数的定义域： 使 x a 有意义的实数的集合。 形如 y = xa 的函数叫做幂函数， 其中 a 是常数且 a ∈ R 。 2。幂函数的定义域： 使 x a 有意义的实数的集合。

函数y=x的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x2的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x3的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x0.5的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x－1的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

作出下列函数的图象: (-2,4) (2,4) (-1,1) (1,1) (-1,-1) 从图象能得出他们的性质吗?

几个幂函数的性质: 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R 奇函数 增函数 (0,0),(1,1) 偶函数 非奇非偶 (1,1)

a > 0 a < 0 （1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点； （1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随 y y=x3 y y=x-1 y=x2 y=x-2 1 y=x1/2 1 y=x-1/2 1 X 1 X a > 0 a < 0 （1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点； （1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即 在（0，+∞)上是增函 数。 （3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。

幂函数在第一象限的性质小结 当 n > 0 y x n>1 y=x 0<n<1 1 O 1 (1) 图象必经过点（0 , 0）和（1 , 1）； (2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而增大。

幂函数在第一象限的性质小结 当 n < 0 y x y=x 1 O 1 (1) 图象必经过点（1 , 1）； (1) 图象必经过点（1 , 1）； (2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而减小 ; (3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近， 图象向右与 x 轴无限地接近 。

因函数式中α的不同而各异. 一般幂函数的性质: ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1). ★幂函数的定义域、奇偶性，单调性， 因函数式中α的不同而各异. ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1). ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.

★当α为偶数时,幂函数为偶函数. 一般幂函数的性质: ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数. ★当α为奇数时,幂函数为奇函数, ★当α为偶数时,幂函数为偶函数.

x≥-5/2 > < > < 例1、 比较大小： 例2、求下列函数的定义域： （1）1.53/5 1.73/5 （2）0.71.5 0.61.5 （3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2 < > < > 例2、求下列函数的定义域： （1）y = (2x+5)1/2 （2）y = (x-3)-1/5 (1)解:y = 解：y = 解不等式2x+5≥0 得 解不等式 x – 3 ≠0得 x≥-5/2 X ≠ 3 函数y=(x-3)-1/5的定 义域为(-∞,3)∪(3,+∞). 函数y = (2x+5)1/2 的 定义域为[ -5/2，+∞) .

练习： √ x x √ x < > < < > > 1。判断下列函数哪些是幂函数： （1）y =5x （2）y =2x （3）y =x0.3 （4）y =x+1 （5）y =1 / x4 （6）y =xx √ x X x √ x 2。用不等式填空： （1）0.24/5___0.54/5 （2）0.0125___0.0115 （3）7-5/2___6.9-5/2 （4）1.01-0.5___1.001-0.5 （5） ____ （6） ___ < > < < (2)y=x3/2= > >

4。若(a+1)-1<(3-2a)-1，试求a的取值范围。 3。求下列幂函数的定义域： （1）y=x0 （2）y=x3/2 （3）y=x-2/3 （4）y=x0.2 x≥0 = x≠0 R x≠0 =x1/5= = 4。若(a+1)-1<(3-2a)-1，试求a的取值范围。 (2)y=x3/2=

方法技巧:分子有理化

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