教学建议 学习目标 § 7.1 随机事件 § 7.2 事件的概率及概率的加法公式 § 7.3 概率的乘法公式与事件的独立性 第七章 概率的基本知识及其应用 § 7.1 随机事件 § 7.2 事件的概率及概率的加法公式 § 7.3 概率的乘法公式与事件的独立性 § 7.4 随机变量与离散型随机变量 § 7.5 连续型随机变量 § 7.6 随机变量的数字特征

§7.6 随机变量的数字特征 一. 数学期望(均值) 二. 方差 三.常见分布的期望和方差

引言 随机变量的分布能完整地描述随机变量的概率性质,但一般情况下随机变量的分布比较难以得到. 在许多实际问题中,我们往往并不需要知道有关随机变量分布的完整信息,只要知道它的某些特征就够了. 比如,可用某个学生多次考试的平均分数和与全班平均分数的偏离程度来代表该生的学习成绩. 常把描述随机变量取值的“平均数”和“偏离程度”等这样的一些量叫做随机变量的数字特征.

案例1 甲、乙两个学生10次数学考试的情况如下表 成绩 次数 学生 甲 乙 70 80 90 2 5 3 3 2 5 试问哪个学生数学成绩好些？

一. 数学期望(均值) 70 80 90 82>81 案例1 分析 甲 2 5 3 乙 不能单看某一次成绩, 要比平均成绩! 一. 数学期望(均值) 案例1 分析 成绩 次数 学生 70 80 90 甲 2 5 3 乙 不能单看某一次成绩, 要比平均成绩! 甲学生的平均成绩 82>81 乙学生成绩好些! 乙学生的平均成绩

案例1 分析(续) 甲学生的平均成绩 这是甲学生的成绩与其相应的概率乘积之和 乙学生的平均成绩 这是乙学生的成绩与其相应的概率乘积之和

各自的相应概率为权(即占的比重)的加权平均值. 数学期望 离散型随机变量 的所有可能取值 定义7.8 与其相应的概率 乘积之和, 称为随机变量 的数学期望,记作 即, 若离散型随机变量 的分布列为 … 则 数学期望 是一个确定的常量,它是 的所有可能取值与 各自的相应概率为权(即占的比重)的加权平均值.

例如 若离散型随机变量 的分布列为 2 1 则

练习1 保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿 100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元? 解 设 表示保险公司对每个被保险人赔偿的钱数(元), 则 的分布列为 10000 100000 5000 1000 0.001 0.005 0.05 0. 1 0.844 的数学期望为 (元)

练习1 (续) 保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿 100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元? (续) 保险公司平均对每个被保险人赔偿的钱数 (元) 由于保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,所以每年应向每个被保险人收取保险费为: (元)

连续型随机变量的数学期望 对于连续型随机变量 ,则用随机变量 的取值 与其密度函数 乘积之反常积分,即 来定义随机变量 的数学期望.即若 为连续型随机变量,则

练习2 已知随机变量 的密度函数为 其它. 求 的数学期望 解

二. 方 差 案例2 有甲、乙两显像管厂生产同一种规格的显像管, 二. 方 差 案例2 有甲、乙两显像管厂生产同一种规格的显像管, 其使用寿命(h)的概率分布如下( 表示甲厂生产的显像管的使用寿命, 表示乙厂生产的显像管的使用寿命): 试比较甲、乙两厂显像管的质量.

案例2 分析 由案例1知,可通过求数学期望,即求甲、乙两厂显像管的平均使用寿命来比较甲、乙两厂显像管的质量:

案例2 分析(续) 结果表明,甲、乙两厂显像管的平均使用寿命的相等. 那么这两个厂显像管的质量是否完全相同?

寿命在 9000---11000 h 案例2 分析(续) 占80% 使用寿命与均值偏离较小,质量比较稳定 寿命在 9000---11000 h 占60% 使用寿命与均值偏离较大,质量不够稳定 称随机变量 与其均值 之差 为 的离差. 但离差有正有负.

方 差 随机变量 离差平方的数学期望, 称为 的方差. 记作 即 定义7.9 方差的算术平方根 称为 的均方差或标准差. 方 差 随机变量 离差平方的数学期望, 称为 的方差. 记作 即 定义7.9 方差的算术平方根 称为 的均方差或标准差. 由方差的定义知,方差是一个正数,它反映了随机变量 与其 的所有可能取值密集在其均值 均值 的偏离程度.当 的附近时,方差较小,否则,方差较大.即方差越小,说明随机变量 的取值越集中于 附近,对产品质量而言,产品的质量越 稳定.

方差的计算 若离散型随机变量 的分布列为: 离散型 若离散型随机变量 的分布列为: 离散型 … 则

方差的计算 连续型 若连续型随机变量 的密度函数是 则 的方差为 展开 此公式对离散型随机变量也成立

二. 方 差 练习2 求案例2 的方差 解 由于 所以 类似地,可求得 由于 所以甲厂显像管的质量比乙厂稳定. 该结论与上述分析结果一致.

变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 数学期望(均值)刻画了随机变量平均取值状况, 它反映了随机 变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 而方差则描述了随机变量取值的分散程度, 它是刻划随机变量 取值在其中心附近离散程度的一个数字特征. 通过方差,可以判断均值相同的随机变量的取值情况. 这两个量反映了随机变量重要的概率特征, 称为随机变量的数字特征.

练习3 A项目预期报酬率 B项目预期报酬率 A项目的期望报酬率为: B项目的期望报酬率为: 试比较下列两项目的投资风险. 经济情况 概率 繁荣 0.3 90% 20% 正常 0.4 15% 15% 衰退 0.3 -60% 10% 解 A项目的期望报酬率为: B项目的期望报酬率为: (未完待续)

A项目预期报酬率 B项目预期报酬率 A项目的方差为: B项目的方差为: 经济情况 概率 繁荣 0.3 90% 20% 正常 0.4 15% 衰退 0.3 -60% 10% 续解 A项目的方差为: B项目的方差为: 在两项目期望报酬率相同的情况下, A项目的方差大,即报酬率不稳定,故投资A项目的风险比项目B大.因此,应选择项目B. (完)

三. 常见分布的期望和方差 练习4 求两点分布的期望和方差. 解 两点分布的分布列为 1 则 由于 故

同样可以求出 二项分布 的期望和方差分别为

练习5 求均匀分布 的期望和方差. 解 均匀分布的密度函数为 其它. 于是 因为 (未完待续)

练习5 求均匀分布 的期望和方差. 续解 均匀分布的密度函数为 其它. 因为 所以 (完)

同样可以求出 正态分布 的期望和方差分别为