图像变换 Li Zhi hniylz@163.com

1. Fourier变换 一维连续Fourier变换 二维连续Fourier变换 一维离散Fourier变换 二维离散Fourier变换

1 一维连续傅立叶变换 引子——信号（波）的三种表示方法 第1种表示方法 第2种表示方法

1 一维连续傅立叶变换 第3种表示方法

1 一维连续傅立叶变换 1）变换对

1 一维连续傅立叶变换 例1： ，求其傅立叶变换F(u)。

1 一维连续傅立叶变换

1 一维连续傅立叶变换 例2：对高斯函数G(t)，求其傅立叶变换F(u)。 高斯函数的傅立叶变换同样是高斯函数。

2 二维连续傅立叶变换

2 二维连续傅立叶变换 例3： ，求其傅立叶变换F(u,v)

2 二维连续傅立叶变换

离散傅立叶变换 假设连续函数f (x),通过取N个Δx单位的采样点， 被离散化为一个序列： {f(x0), f(x0+Δx) , f(x0+2Δx), … ,f(x0+[N–1]Δ x)} 无论将x作为离散的或连续的变量，在子序列 中来研究都将是方便的，仅仅依赖于讨论的上下文。为作到此要求定义： f(x) = f(x0+ xΔx) 其中假设x现在的离散值是：0,1,2, … ,N-1。 {f(x0),f(x0+Δx),f(x0+2Δx), ... , f(x0+[N–1]Δx)}表示相对与连续函数的任意N个统一间隔的空间采样

3 一维离散傅立叶变换 1）一维离散傅立叶变换对

由欧拉公式可知 将式代入式，并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得 可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。

3 一维离散傅立叶变换

3 一维离散傅立叶变换 2）DFT的矩阵表示法 F变换 F逆变换

3 一维离散傅立叶变换 快速傅立叶变换(FFT) 对于有N个点的信号f，直接计算其离散傅立叶变换 需要N2次乘法与加法运算。通过重新组织计算，FFT算法可将计算复杂度降至O(Nlog2N) 当频率指标为偶时，将f 按n与n+N/2分组：

3 一维离散傅立叶变换 快速傅立叶变换(FFT) 当频率指标为奇时，同样分组得 故偶频率通过计算 的离散傅立叶变换得到 奇频率通过计算

4 二维离散傅立叶变换

二维离散傅立叶变换的性质 1. 线性性质： 2. 比例性质： 3. 可分离性：

二维离散傅立叶变换的性质 4. 空间位移： 5. 频率位移： 图像中心化： 当u0=v0=N/2时，

可分离性 二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是： 二维DFT可分离为两次一维DFT 应用： 二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次一维FFT实现的

可分离性 由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按行进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果，如图所示。显然对f(x, y)先按列进行离散傅立叶变换， 再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。

傅立叶变换的显示 1）频谱的图象显示 谱图象加深对图象的视觉理解，如一幅遥感图象受正弦网纹的干扰，从谱图象中可看出干扰的空间频率并有效去除。

傅立叶变换的显示 2）频谱的频域移中 简单方块图象的无平移傅立叶谱和原点移中的傅立叶谱

离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还是一种可分离的变换。

一维DCT定义： 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号列。 一维离散余弦变换 一维DCT的变换核定义为 式中，x, u=0, 1, 2, …, N－1； 一维DCT定义： 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号列。 式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1。

F=Gf 将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即 其中 一维DCT的逆变换IDCT定义为 式中 x, u=0, 1, 2, …, N－1。可见一维DCT逆变换核与正变换核是相同的

二维离散余弦变换 很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为 式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）；x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 二维DCT定义如下：设f(x, y)为M×N的数字图像矩阵，则 式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1

二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即 式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下 F=GfGT  二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即 C(u)和C(v)的定义同前, x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1

根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即  N=4时 正变换矩阵为：

离散沃尔什-哈达玛变换（WHT） 一维离散沃尔什-哈达玛变换 1. 沃尔什函数 沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什提出的。沃尔什函数系是一个完备正交函数系，其值只能取＋1和－1。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：一种是按照沃尔什排列来定义（按列率排序）；另一种是按照佩利排列来定义（按自然排序）；第三种是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由2n（n=0，1，2，…）阶哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）得到的，而哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系， 即高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积求得，因此在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。

沃尔什变换（Walsh） 沃尔什变换（WT）的一维变换核： 沃尔什变换 式中bk(z）是z的二进制表达中的第k位（取0或1值）； 由沃尔什变换核组成的矩阵（略去常数，仅用符号表示+1、-1） 矩阵是一个对称矩阵，且行和列正交。 反变换核 反变换 由于反变换与正变换只相差一个常数，故算法可通用。

N=2n(n=0, 1, 2, …)阶哈达玛矩阵每一行的符号变化规律对应于某一个沃尔什函数的符号变化规律，即N=2n(n=0, 1, 2, …)阶哈达玛矩阵的每一行对应于一个离散沃尔什函数，哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。2n阶哈达玛矩阵有如下形式： 哈达玛矩阵的阶数是按N＝2n(n＝0, 1, 2, …)规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以利用矩阵的克罗内克积运算，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即

矩阵的克罗内克积(Kronecker Product)运算用符号记作A⊙B， 其运算规律如下：设 则

离散沃尔什-哈达玛变换 一维离散沃尔什变换定义为 一维离散沃尔什逆变换定义为 式中，Walsh(u, x)为沃尔什函数。

若将Walsh(u, x)用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成矩阵形式分别为 式中，［HN］为N阶哈达玛矩阵。 由哈达玛矩阵特点，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后进行加减运算，因此它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多

二维离散沃尔什变换 很容易将一维WHT的定义推广到二维WHT。二维WHT的正变换核和逆变换核分别为 式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。

二维离散沃尔什变换的矩阵形式表达式为 求这两个信号的二维WHT。 和 所以 根据题意，式中的M=N=4， 其二维WHT变换核为

一幅数字图像及对其进行二维WHT变换的结果。 （a）原图像； （b）WHT结果 注： 图中的结果是按哈达玛变换后再用沃尔什排序的结果。 从以上例子可看出，二维WHT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维WHT可用于压缩图像信息。

快速沃尔什变换（FWHT）将输入序列f(x)按奇偶进行分组，分别进行WHT。FWHT基本关系为 WHT的变换核是可分离和对称的， 因此二维WHT也可分为两个一维的WHT分别用FWHT进行变换而得到最终结果，由此便可实现二维的FWHT。 综上，WHT是将一个函数变换成取值为＋1或－1的基本函数构成的级数，它逼近数字脉冲信号时要比FFT有利。同时 WHT只需要进行实数运算，存储量少，运算速度也快。因此，WHT在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。

哈达玛变换 一维哈达玛变换的定义： 式中bk(z）是z的二进制表达中的第k位（取0或1值）； 一维哈达玛逆变换为

二维哈达玛变换和反变换分别为： 以及

哈达玛变换 N=8时，一维哈达玛变换核组成的矩阵如下（略去常数，仅用符号表示+1/N、-1/N）： + + + + + + + + + + + + + + + + + - + - + - + - + + - - + + - - + - - + + - - + + + + + - - - - + - + - - + - + + + - - - - + + + - - + - + + - 符号变换次数0 7 3 4 1 6 2 5 （竖直方向由+变- 或 由-变+） 可见，与沃尔什变换矩阵的区别行和列的次序不同； N=2n时可混合使用。

K-L变换 M行N列图像f(m,n),传送L次，得到一组图像集合 {f1(m,n), f2(m,n),…, fL(m,n)}。在图像集{fi(m,n)}中的每个图像fi(m,n)可以用堆叠的方式表示成M×N维向量fi 其中fi,j是集合中第i帧图像第j行元素排成的列向量。 f向量的协方差矩阵定义为： 其中

K-L变换 设ai和λi，i=1,2,…,M×N，是Cf的特征向量及其特征值。则Cf ai= λi ai， i=1,2,…,M×N Cf是实对称阵，一定存在有M×N个互为正交的实特征向量，且各特征值为实数，构成一个M×N的完备正交向量系。

K-L变换 对个实特征向量进行归一化处理后，就得到K-L变换的矩阵A 且 显然，A是正交矩阵 离散K—L变换表示为g=A(f - mf)

K-L变换 变换后g的协方差矩阵Cg为 这表明，经离散K—L变换后，g中的各个元素之间是不相关的，g中第i个元素的方差，就是Cf的第i个特征值。 离散K-L反变换为