2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法与分析法
学习目标 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法． 2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
2．2.1 综合法与分析法 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
1．合情推理包括____推理和____推理；演绎推理的“三段论”包括______、______和____． 课前自主学案 温故夯基 1．合情推理包括____推理和____推理；演绎推理的“三段论”包括______、______和____． 2．“a>b>0”是a2>b2的__________条件． 归纳 类比 大前提 小前提 结论 充分不必要 1 2
知新益能 综合法和分析法
结论出发 已知条件 充分条件 定义 公理 定理 推理论证 定理 定义 公理 已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论
问题探究 1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件．
综合法的思维特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件． 课堂互动讲练 考点突破 综合法的应用 综合法的思维特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．
【思路点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． 例1 【思路点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．
【思维总结】 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a2≥0(a∈R)．
分析法是由结论到条件的逆推证法，它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻求它的充分条件． 分析法的应用 分析法是由结论到条件的逆推证法，它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻求它的充分条件． 例2
【思路点拨】 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．
【思维总结】 含有根号的式子，应想到用平方法去根号，且在平方时应保证两边为正，同时要有利于再次平方，因此需移项．
变式训练2 已知a>6，
综合法和分析法的综合应用 用分析法去思考，寻找解题途径，用综合法进行书写，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．
【思路点拨】 本题所要证明的不等式看不出与已知条件有怎样的因果关系，故可先采用分析法寻找该不等式成立的充分条件是. 例3 【思路点拨】 本题所要证明的不等式看不出与已知条件有怎样的因果关系，故可先采用分析法寻找该不等式成立的充分条件是.
【思维总结】 本题证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，两种方法综合使用，使问题较容易解决．
方法感悟 方法技巧 1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
2．应用分析法证明问题的模式 用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下： 为了证明命题Q为真， 只需证明命题P1为真，从而有… 只需证明命题P2为真，从而有… … 只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必为真．
失误防范 1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏． 2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．
知能优化训练
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