海平面 海平面 直线与圆的位置关系

二:目标分析：          1. 知识目标：能说出直线和圆的三种位置关系的定义，能在图上指认圆的切线和割线；掌握直线和圆的位置关系的性质和判定，会根据给出的条件确定直线和圆的位置关系。         2.  能力目标：让学生会用运动的观点研究直线和圆的位置关系，培养学生掌握运动变化的辩证唯物主义观点；培养学生通过实践来探索科学、总结、归纳数学规律的能力。         3.  情感目标：渗透几何图形的对称美；激发学生的学习 兴趣；培养学生学习的自信心。

四、教法 1、为了充分调动学生的学习积极性，使数学课上得有趣、生动、高效，教学中引导学生从实践入手，采取提问、猜测、探索、归纳等教学手段总结直线和圆的位置关系的定义、性质和判定，采用启发式教学与分层训练法，用讨论法、阅读法、讲授法为辅助。 2、在教学中采用多媒体教学手段，穿插小组讨论，增强教学的直观性、趣味性，加大课堂密度，提高教学效率。

五、学法 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科。教学中应在实践的基础上重视数学概念和规律的形成过程，激励学生与老师一道积极投身教学实践，引导学生掌握科学的学习方法，使学生从“学会”转变成“会学”，变被动为主动，充分体现老师的主导作用和学生的主体作用。这节课在老师的启发下，通过自己实践、猜想、讨论、阅读教材的学习方法，教会自己观察、探索、归纳和发现结论，培养学生动手、动口、动脑的能力，从而进一步认识和理解“探索－归纳”的数学思想。

想想: 直线和圆的位置有 何关系？？？

直线与圆的位置关系 l l l

1.直线与圆的位置关系 (图形特征) ？ .O 数量特征 a .O b .O c 图 1 直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离. 直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 图 2 .O 这时直线叫做圆的切线 , 唯一公共点叫做直线与圆的切点。 b .A 直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交. 图 3 .O c .E . F 这时直线叫做圆的割线 , 公共点叫直线与圆的交点。

思考 直线与圆有第四种关系吗？ 即直线与圆是否有第三个交点？

如何根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？ 小问题： 如何根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？ 根据直线与圆的公共点的个数

２、若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。( ) ？ 判断 练习1 １、直线与圆最多有两个公共点 。… （　） √ ２、若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。( ) × 3 、若A是⊙O上一点， 则直线AB与⊙O相切 。( ) × 4 、若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与 ⊙O 相交或相离。………（ ） × .O .A .C

运用： 1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系 ？ （1） （2） （3） l l l 相离 相交 相切 （4） （5） 相交 l l ·O

“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？ （5） ？ ·O l · B · A 如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？ “直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？

？ 知识回顾： .E 1、什么叫点到直线的距离? . 2、连结直线外一点与直线上所有点 3、如何根据圆心到点的距离d与半径r的 .A .O 直线外一点到这条直线 的 垂线段的长度叫点到直线 的距离。 a . D 2、连结直线外一点与直线上所有点 的线段中,最短的是______？ 垂线段 3、如何根据圆心到点的距离d与半径r的 关系判别点与圆的位置关系？ .A . B C. .O 1、点到圆心的距离___于半径时，点在圆外。 2、点到圆心的距离__于半径时，点在圆上。 3、点到圆心的距离___于半径时，点在圆内。 大 等 小

看一看想一想 .O .O .O r r .D r .E . N .F Q. .A . C .B 相交 H. 相切 相离 l l .B 相交 H. 看一看想一想 l 相切 相离 1、直线与圆相离 => d>r < 当直线与圆 相离、相切、 相交时，d与 r有何关系？ F 2、直线与圆相切 => d=r 3、直线与圆相交 => d<r

.O .O 2.直线与圆的位置关系 (数量特征) 直线与圆的位置关系的识别与特征 O r .A .B 相离 H. d .B 相离 H. l 1、直线与圆相离 => d>r < .O r 2、直线与圆相切 => d=r 相切 .D d . C l F 3、直线与圆相交 => d<r 相交 O r d . E .F

总结： 两 判定直线 与圆的位置关系的方法有____种： 圆心到直线的距离d与半径r （1）根据定义，由________________ 的个数来判断； 直线 与圆的公共点 圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。

· 例题1： 圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm， 那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？ D · O 6.5cm d=8cm · N O 6.5cm d=6.5cm A B · 6.5cm d=4.5cm O M 解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm 直线与圆相交， 有两个公共点； （2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm 直线与圆相切， 有一个公共点； （3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm 直线与圆相离， 没有公共点.

填空： 动动脑筋 1、已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距离 为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____; 相交 直线a与⊙O的公共点个数是____. 相交 两个 2、已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距离 是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _; 直线a与⊙O的公共点个数是____. 相切 一个 3、已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离 为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _; 直线a与⊙O的公共点个数是____。 相离 零 4、直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的半径， 则直线m与⊙O的位置关系是 。 相切 或相交 小结:利用圆心到直线的距离与半径的大小关 系来识别直线与圆的位置关系

d>5 r>8 练习1： 设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） （A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交 D   练习2:已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点,则圆心到直线的距离d的取值范围是 . d>5 练习3:直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为8,则r的取值范围是 . r>8

例题2： 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。 相离 相切 思考：圆心A到X轴、 Y轴的距离各是多少? Y B X O 4 C .A 3

解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 例题3： 分析 B 5 4 C A 3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆 与AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。 分析 2.4cm B 解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ABC中， AB= = =5（cm） 根据三角形面积公式有 CD·AB=AC·BC 2 根据直线与圆的位置关系的数量特征，必须用圆心到直线的距离d与半径r的大小进行比较； 关键是确定圆心C到直线AB的距离d，这个距离是什么呢？怎么求这个距离？ 5 4 D C A 3

例: Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。 解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ABC中， AB= = 2 2 2 2 =5（cm） 根据三角形面积公式有 CD·AB=AC·BC B ∴CD= = =2.4（cm）。 d=2.4 即圆心C到AB的距离d=2.4cm。 5 （1）当r=2cm时， ∵d＞r， ∴⊙C与AB相离。 4 D C A A （2）当r=2.4cm时，∵d=r， ∴⊙C与AB相切。 3 （3）当r=3cm时， ∵d＜r， ∴⊙C与AB相交。

解后思 B 5 4 C A 3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。 D d=2.4cm 1、当 r 满足____________时，⊙C与直线AB相离。 B 2、当 r 满足___________ 时，⊙C与直线AB相切。 5 4 3、当 r 满足_________ 时， ⊙C与直线AB相交。 D C A 4、当 r 满足 ________ 时, ⊙C与线段AB只有一个公共点. 3

想一想? B 5 4 C A 3 在Rt△ABC中，∠C=90°， r=2.4cm 当r满足___________ AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。 r=2.4cm 当r满足___________ _____________ 时,⊙C与线段AB只有一个公共点. 或3cm<r≤4cm B d=2.4cm 5 4 D C A 3

课堂练习 1、如图，已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么 ？ ⑴　r =2cm； ⑵ r =4cm； ⑶ r =2.5cm。 解：过点M作MC⊥OA于C ， ∵ ∠AOB=30°， OM=5cm， ∴ MC=2.5cm O A B M ⑴ ∵ d=MC=2.5， r=2 即d ＞r ∴ ⊙O与OA相离； ⑵ ∵ d=MC=2.5， r=4 即d ＜ r ∴ ⊙O与OA相交； ⑶ ∵ d=MC=2.5， r=2.5 即d= r ∴ ⊙O与OA相切. C .

直线与圆的位置关系 归纳与小结 2 1 无 交点 切点 割线 切线 无 位置关系 d<r d=r d>r 直线与圆的 相交 相切 相离 公 共 点 个 数 名 称 直 线 名 称 图 形 圆心到直线距离d与半径r的关系 2 1 无 交点 切点 割线 切线 无 d<r d=r d>r

归纳小结: 1.直线与圆的位置关系表: 2 交点 割线 1 切点 切线 圆心到直线距离d与半径r的关系 图 形 直 线 名 称 公 共 点 名 称 公 共 点 个 数 相离 相切 相交 直线与圆的位置关系 d<r d=r d>r 2 交点 割线 1 切点 切线 2.本节课用运动变化的观点研究直线与圆的位置关系;通过点与圆的位置关系的类比,利用分类和数形结合的思想,得到直线与圆的位置关系的识别方法与特征;在使用时应注意其区别与联系。

A C √ 相离 随堂检测 1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l 与⊙O没有公共点，则d为（ ）： 　A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3 2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线 和⊙O的位置 关系是（　　）： A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交 3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( ) 4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆 与直线BC的位置关系是 ,以A为圆心, 为半径的圆与直线BC相切. A C √ 相离

3、直线l上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O（ ）. A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm， AC＝3cm，以C为圆心的圆与AB 相切，则这个圆的半径是 cm。 2、如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点， 且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径的圆与 直线OA有怎样的位置关系？为什么？ ①r＝2cm；②r＝4cm；③r＝2.5cm。 3、直线l上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O（ ）. A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。

思考题:已知点A的坐标为(1,2),⊙A的半径为3. (1)若要使⊙A与y轴相切,则要把⊙A向右平移几个单 位?此时,⊙A与x轴、⊙A与点O分别有怎样的位置关系?若把⊙A向左平移呢? (2)若要使⊙A与x轴、y轴都相切,则圆心A应当移到 什么位置?请写出点A所有可能位置的坐标.

布置作业： B C A 4 5 3 D d=2.4cm 1、必做题：P1002, 3 3、思考题： 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。 (1)当 r 满足______时，⊙C与直线AB相离。 (2)当 r 满足_____ 时，⊙C与直线AB相切。 (3)当r 满足_____ _时，⊙C与直线AB相交。 (4)当r满足____时,⊙C与线段AB只有 一个公共点. 2．若⊙O与直线m的距离为d，⊙O 的半径为r，若d，r 是方程 的两个根，则直线m与⊙O的位置 关系是 。 若d，r是方程 的两个根，且直线m 与⊙O的位置关系是相切，则a的值是 。

探 究 活 动 如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。 1、OB是⊙O的一条半径吗？ P 2、PB是⊙O的切线吗？ 3、PA、PB有何关系？ 4、∠APO和∠ BPO有何关系？ 5、利用图形轴对称性解释

切线长概念 A B O P 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。 A 切线长概念 O P B 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线和切线长 A B 切线和切线长是两个不同的概念， O P 切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

证明猜想 大胆猜想: A B P O M 关键是作辅助线~ 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？ ⌒ ⌒ ∟ 证明猜想 ⌒ ⌒ 1 P O M 2 ∟ 证明： ∵PA、PB是⊙o的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2 B 关键是作辅助线~ 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？

O P A B 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长． 练习一 已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长． E 1 ⌒ ⌒ 2 O P F

平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦. 切线长定理的拓展 想一想：根据图形， 你还可以得到什么结论？ A D O H C P B 平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.

巩固练习： A O P C B 60° 3√3 （1）已知OA=3cm,OP=6cm，则PA=——，∠APB=—— ⌒ ⌒ ＡＭ＝ＢＭ （2）OP交⊙O于M，则——————，ＡＢ与ＯＰ有何关系？ 如AC为直径，观察OP与BC的位置关系，并给予证明。

例1 解： 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. 例1 解： (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB A (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP. P O D E C (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 B PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm.

已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，∠P=70 求：△PEF的周长。 A E O Q P F B

. 思考: 在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 是多少?______,直线L和 ⊙O有什么位置关系? _________. . O OA 相切 L A 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 几何应用: ∵OA⊥L ∴L是⊙O的切线

例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, ∴△OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线

例：如图： ⊙O的直径AB=4, ∠ABC=30°,BC=4 ,D是线段BC的中点。 （1）试判断点D与⊙O的位置关系 （2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线 3 B A E D C O

圆O与直线l相切，则过点A的直径A B与切线l有 怎样的位置关系？ 垂直 B O l A

思考 . 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 练习 P103. 1. 2 将上页思考中的问题 反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢? . O 一定垂直 L 切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径 练习 P103. 1. 2

例：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB

例：已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线。

思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? 内切圆和内心的定义: I D 内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.

练习 P106. 1. 2 例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 解: 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x(cm),则AE=x(cm) ∴CD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x 由 BD+CD=BC可得 (13-x)+(9-x)=14 解得 x=4 ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). 练习 P106. 1. 2

练 习 1 如图，△ABC中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O 是⊙O的内心，求∠ BOC的度数。 解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25° ∠OCB=1/2∠ACB=37.5° ∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5° =117.5° O B C

练 习 2 △ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC 的面积。 （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。） r S= AB × r + AC × r + BC × r = (AB +AC+BC) × r = l r r r r

记忆: 1 1. Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.

练习1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为 圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线. F

2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交 过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.

3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.

基础题： 正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____. 22cm 2cm G E F H

4.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件 (只需写出三种情况)①___________②_____________ ③______________. (2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的 切线. ∠CAE=∠B AB⊥FE ∠BAC+∠CAE=90° H

5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

6.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 2－10x + 16 = 0 的两根，求 ⊙E 的半径 r . F

想一想：圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性. D N C P O M B L A

希望大家如这朝阳, 越升越高!越开越艳!

Bye！