第三章 函数 逼近 — 曲线拟合的最小二乘法

内容提要 曲线拟合 什么是曲线拟合 曲线拟合的最小二乘法 最小二乘拟合多项式

什么是曲线拟合 曲线拟合的最小二乘法 给定数据： 在函数族  中寻找函数 S*(x) ，使得 m >> n x0 x1 x2 … xm y0 y1 y2 ym 给定数据： 在函数族  中寻找函数 S*(x) ，使得 曲线拟合的最小二乘法 m >> n

其他拟合方法 使得 最小 求解复杂  使得 最小 不可导，求解困难 

带权最小二乘 已知函数值表 ( xi , yi )，在函数空间  中求 S*(x) ，使得 其中 i 是点 xi 处的权 这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。 可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。

最小二乘求解 S(x) = a00(x) + a11(x) + · · · + ann(x) 对任意 S(x)   = span{0, 1, , n}，可设 S(x) = a00(x) + a11(x) + · · · + ann(x) 则求 S*(x) 等价于求下面的多元函数的最小值点 k = 0, 1, …, n 最小值点

注：此处 f 是为了描述方便而引入的一个记号 引入记号： ( k = 0, 1, … , n ) G 法方程

? 最小二乘求解 S*(x) = a0* 0(x) + a1* 1(x) + · · · + an* n(x) 法方程存在唯一解 det(G)  0 ? 0, 1, , n 线性无关 定理：如果 0, 1, , n  C[a, b] 的任意（非零）线性组合在点集 x0, x1, , xm 上至多只有 n 个不同的零点，则 G 非奇异，此时法方程存在唯一解。 证明：略 上述定理中的条件称为 Haar 条件 若取 k = xk，则 0, 1, , n 满足 Haar 条件 设法方程的解为： a0*, a1*, , an* , 则最小二乘解为： S*(x) = a0* 0(x) + a1* 1(x) + · · · + an* n(x)

举例 例：给定函数值表，求 f(x) 的最小二乘拟合函数 S*(x) 解： xi 0.24 0.65 0.95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99 yi 0.23 -0.26 -1.10 -0.45 0.27 0.10 -0.29 0.56 1.00 解： 在坐标平面上描出上表中的数据点，根据点的分布情况，选取基函数 得法方程 解得 所以

举例 最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间  = span{0, 1, , n} ，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。

多项式最小二乘曲线拟合 ＝Hn= span{1, x, ..., xn}, 即 i = xi, 则相应的法方程为 此时 为 f(x) 的 n 次最小二乘拟合多项式

举例 例：求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式 解： xi 0.25 0.50 0.75 1.00 f (xi ) 1.0000 0.25 0.50 0.75 1.00 f (xi ) 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 解： 设二次拟合多项式为 得法方程 解得 所以此组数据的二次最小二乘拟合多项式为 (1) 若题目中没有给出各点的权值 i ，默认为 i = 1 (2) 该方法不适合 n 较大时的情形 （病态问题）

带权正交（离散情形） 若 k 是首项系数非零 k 次多项式，则为正交多项式族 给定点集 以及各点的权系数 ，如果函数族 满足 给定点集 以及各点的权系数 ，如果函数族 满足 则称 关于点集 带权 正交 若 k 是首项系数非零 k 次多项式，则为正交多项式族

用正交多项式做最小二乘 设多项式 p0, p1, , pn 关于点集 x0, x1, , xm 带权 0, 1, , m 正交，则 f(x) 在 Hn 中的最小二乘拟合多项式为 其中 k = 0, 1, …, n 误差 由离散带权内积导出的范数，不是 C[a,b] 中的 2-范数

正交多项式的构造 可以证明： 关于点集 带权 正交 k = 1, … , n-1 给定 和权系数 ，如何构造正交多项式族 三项递推公式： 给定 和权系数 ，如何构造正交多项式族 三项递推公式： k = 1, … , n-1 其中 ( k = 0, 1, … , n-1 ) ( k = 1, 2, … , n-1 ) 可以证明： 关于点集 带权 正交

几点注记 可以将构造正交多项式族、解法方程、形成拟合多项式穿插进行； n 可以事先给定，或在计算过程中根据误差来决定； 该方法非常适合编程实现，只用递推公式，并且当逼近次数增加时，只要将相应地增加程序中的循环次数即可。 该方法是目前多项式拟合最好的计算方法，有通用程序。

举例 例：给定数据点及权系数，求二次最小二乘拟合多项式 解： xi 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 yi 1.00 1.75 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 yi 1.00 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00 i 1 ex34.m 解： 通过直接计算，可得 Matlab 正交多项式最小二乘拟合函数: polyfit(x,y,n) Matlab 曲线拟合工具箱：cftool

非线性最小二乘 非线性最小二乘拟合 例：用指数函数 拟合下面的数据 例：用函数 拟合表中的数据 有时需要非线性函数，如 ，拟合给定的数据，这时建立的法方程是一个非线性方程组，这类拟合问题称为非线性最小二乘拟合。 例：用指数函数 拟合下面的数据 xi 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 yi 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 例：用函数 拟合表中的数据 xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 yi 1.1 1.6 1.8 2.0 1.9 1.7 1.3

其他非线性拟合方法 对数拟合： 幂函数拟合： 双曲拟合：

作业 1. 教材第 95 页：习题 17，使用下面的数据 xi 19 25 31 38 44 yi 19.0 32.3 49.9 73.3 97.8 2. 补充题，证明下面的结论: 性质：设 x0, x1, , xm 是 [a, b] 内个 m+1 个互不相同的点，对任意 f(x), g(x)  Hn，n  m，定义 其中i >0 为权系数，证明其构成一个内积。