第2章 质点运动定律 Dynamics of a particle (6) 内容提要 ·牛顿三大定律 ·惯性系和非惯性系 ·*蝴蝶效应 混沌

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外力迫使它改变运动状态为止。 牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念： §2-1 牛顿三大定律及其应用 一.牛顿三大定律 （1）牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外力迫使它改变运动状态为止。 牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念： 惯性—任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力——是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加速度的一种作用。 （2）牛顿第二定律 (2-1) 合外力

如果物体的质量不随时间而变，则第二定律可以写成 (2-2) 牛顿第二定律是：瞬时关系；矢量等式。 (2-3）

m t e r n 自然坐标系中的分量式: （2-4） 式中, Fn、Ft分别代表物体所受的沿轨道法向和切向方向的合外力。

（3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律） 两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直线上。 二.牛顿定律的适用范围 低速、宏观、实物。 惯性系。 §2-3 相互作用力 （1）弹簧的弹性力  f = kx k弹簧的倔强系数； x弹簧的伸长量。

（2）摩擦力 滑动摩擦力：  f = kN 式中, k为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体的材料性质和接触面的粗糙程度决定。 静摩擦力 两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动趋势时,就产生静摩擦力。静摩擦力f是个变力： 0 f  s N (最大静摩擦力） 式中,s为静摩擦系数。对于同样的两个物体,k<s。 （3）万有引力

§2-4牛顿定律的应用 基本方法： 隔离体法+正交分解 当问题涉及几个运动状态不同的物体时，必须把每个物体从总体中分离出来,分别加以研究,这种分析的方法叫做隔离体法,它是解决力学问题的重要的分析方法。而物体间的联系用力来表示。 选取适当的坐标系，写出牛顿第二定律沿各个坐标轴方向（即相互垂直的方向上）的分量式,最后联列求解这些方程。

x:Nsin=ma y:Ncos=mg 例题2-1 如图2-1所示，在质量为M、倾角为的光滑斜面上放置一质量为m的物体，要使物体m相对斜面静止，水平推力F应为多大？（设斜面与地面间的摩擦可以忽略） 解: 对m: x:Nsin=ma y:Ncos=mg 解得 a=g.tg  (M+m): F=(M+m)a =(M+m)g.tg  N mg 图2-1 F  M m x y

讨论(1)：在上图中，要物体m不下滑，斜面的加速度a至少应为多少?(设斜面与物体m间的摩擦系数为)。 N mg Fs 讨论(1)：在上图中，要物体m不下滑，斜面的加速度a至少应为多少?(设斜面与物体m间的摩擦系数为)。 物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。 水平: N=ma 竖直: N=mg 解得 a=g/ 。 问题：若a,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?

讨论(2)：在上面的图中，要物体m不下滑，圆筒的角速度至少应为多少?(设圆筒与物体m间的摩擦系数为)。 R m N mg Fs 讨论(2)：在上面的图中，要物体m不下滑，圆筒的角速度至少应为多少?(设圆筒与物体m间的摩擦系数为)。 图中物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。 水平: N=mR2 竖直: N=mg 解得

解 在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况，并规定(ox轴)向上为各量的正方向。 例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，绳的一端挂有质量为m1的物体，绳的另一端穿过一质量为m2的有一小孔的柱体，求当柱相对于绳以恒定的加速度ao沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？ 解 在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况，并规定(ox轴)向上为各量的正方向。 m1 m2 图2-2 o x a1 T m1g m1 ao a2 m2g m2 m1: T- m1g=-m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力

m1: T- m1g=-m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 a柱对地=a柱对绳+a绳对地 即：a2=-a0 + a1 解得 x T 图2-2 o x a1 T m1g m1 ao a2 m2g m2

解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 例题2-3 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速地前进,木箱与地面的摩擦系数µ=0.6,肩上绳的支持点距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力? 解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µN 解得：  m h L F 图2-3 fk N mg F有极值的必要条件是： L=h/sin=2.92m时,最省力。

例题2-4 设一物体m在离地面上空高度等于地球半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速度(不计空气阻力和地球的自转)。 地面: 解 R m a

下面讨论利用自然坐标系解题的方法。 例题2-5 半径为R的光滑半球形碗内有一个小钢球,当碗以角速度转动时,小球离碗底有多高? 解 由 fn=man , ft=mat 有 法向: Nsin =m2Rsin N =m2R R   竖直: Ncos =mg 图2-4 解得 N mg h

例题2-6 如图2-5所示，一块水平木板上放一砝码，砝码的质量m=0. 2kg。手扶木板保持水平，托着砝码使之在竖直平面内做半径R=0 例题2-6 如图2-5所示，一块水平木板上放一砝码，砝码的质量m=0.2kg。手扶木板保持水平，托着砝码使之在竖直平面内做半径R=0.5m的匀速率圆周运动，速率=1m/s。当砝码与木板一起运动到图示位置时，求木板给砝码的摩擦力和支持力。 解 由 fn=man , ft=mat 有 mg fs N 法向: m 图2-5 45 R 切向: 即 fs= mg - N 解得: fs=0.28N, N=1.68N

例题2-7 如图2-6所示，质量为m的钢球由静止开始从A点沿圆心在o、半径为R的光滑半圆形槽下滑。当滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成角）时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和切向加速度。 解 由 fn=man , ft=mat 有 法向：N-mgcos =man=m (1) 图2-6  R o A N mg  切向：mgsin=mat=m (2) 得： at=gsin

积分得： (这可由机械能守恒得到) 图2-6  R o A N-mgcos =m 由 N mg  得：N=3mgcos

如图2-7所示，车厢A在地面上以加速度a向右运动。 §2-5 惯性参考系和非惯性参考系 一.惯性参考系 从运动的描述来说,参考系的选择是任意的，这主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及运动和力的关系，即要应用牛顿定律时,参考系是否也能任意选择呢? 如图2-7所示，车厢A在地面上以加速度a向右运动。 车厢内的光滑桌面上有一与弹簧相连的质量m的小球, 弹簧的另一端系在车厢壁上。现在来分析这个 弹簧、小球 力学系统的运动情况。 甲 图2-7 乙 a A m k

小球m: F=kx(因为弹簧确实已伸长)，a=0，显然 这是违背牛顿定律的。 地面上的观察者甲： 小球m: F=kx=ma，符合牛顿定律。 车厢A内的观察者乙: 小球m: F=kx(因为弹簧确实已伸长)，a=0，显然 这是违背牛顿定律的。 这个例子说明：以加速度a运动的车厢A为参考系,牛顿定律是不成立的。 我们把牛顿定律成立的参考系称作惯性参考系(简称惯性系), 而牛顿定律不成立的参考系称作非惯性系。 一个参考系是不是惯性系,只能由实验确定。 甲 图2-7 乙 a A m k

研究地球表面附近(高度不太高、距离不太远)物体的运动时,地面(或固定在地面上的物体)就是近似程度相当好的惯性系。 惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。 研究大气层和远程导弹的运动，地心参考系是近似程度相当好的惯性系。 天体运动的研究指出: 如果我们选择的参考系，以太阳中心为原点，以指向某些恒星的直线为坐标轴，则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和万有引力定律推出的结论相符合，因此，这样的日心参考系是惯性系。

二.加速平动参考系中的惯性力 假设非惯性系S相对惯性系S以加速度a作直线运动，于是有 为物体m受的真实合外力， 移项得 假想: Fi=-ma 惯性力 (2-6) 则在非惯性系S中有 (2-5) 请注意：这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性系S相对于惯性系S的加速度。 惯性力-ma不遵从牛顿第三定律。

解 以升降机为参考系(非惯性系)，物体m受三个力作用：真实力mg和N,惯性力ma，方向如图。 例题2-8 如图2-8所示，升降机内有一倾角为的光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时，一物体m正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加速度。 a  m a 解 以升降机为参考系(非惯性系)，物体m受三个力作用：真实力mg和N,惯性力ma，方向如图。 沿斜面方向应用牛顿定律,有 m(g+a)sin =ma 解得： a=(g+a)sin 图2-8 ma mg N m  a

假定一质点相对匀速转动的参考系(非惯性系)静止，在惯性系看，受到的向心力为 三.匀速转动参考系中的惯性力 假定一质点相对匀速转动的参考系(非惯性系)静止，在惯性系看，受到的向心力为  m 图2-9 r (方向沿半径指向圆心) 如果在转动参考系(非惯性系)中,还要套用牛顿定律,就必须认为质点除了受到“真实的”力以外,还受到一个惯性(离心)力的作用: (2-8) (方向沿半径向外)

如果质点相对匀速转动参考系(非惯性系)运动,则所受的惯性力较为复杂。除了受到惯性(离心)力的作用外，还受到一种叫科里奥利力的惯性力。 可以证明，科里奥利力的计算公式为  图2-10 m 式中为转台的角速度，为质点相对转台的速度。 北半球的河床右岸为什么受到较厉害的冲刷？赤道的信风是怎样形成的？这些都是科里奥利力作用的结果。