§2.4 极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重要极限. 一.极限存在准则 准则І (夹逼定理) 若 , 均有 g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A, 则有 lim ƒ(x) = A.
证明 由lim g(x) = lim h(x ) = A, 对 则总存在那么一个时刻,在此时刻以后, 同时有 | g(x) – A| < ε 与 | h(x) – A| < ε 成立, 即 A – ε < g(x) < A + ε 与 A – ε < h(x) < A + ε 而 g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x), 则 A – ε < g(x) ≤ƒ(x) ≤ h(x) < A + ε 从而在此时刻以后, 就有 | ƒ(x) – A|< ε , 故 lim ƒ(x) = A. 对于此定理的理解关键在于“夹”、“逼”二字.对于数列, 定理仍成立.
例15. 利用夹逼定理证明
准则ІІ (单调有界准则) 若数列 {an} 单调有界, 则 存在 . 其理论证明(略).从几何上说明: 若 an 单增, an 有两种可能, 即移向无穷远或无限接近某一定点A, 因 an 有上界M, 则 存在且不超过M. M • • • • • o A 若{an} 单减,{an}有两种可能, 即移向负无穷远或无限接近某一定点A, 因 {an}有下界M, 则 存在且不小于M. M • • • • • A o
如数列 及 分别是单调减少且下界 为1及单调增加且上界为1的数列, 由准则ІІ 知 存在. 实际上
而ΔAOB的面积 < 扇形AOB的面积 < ΔAOD的面积 二.两个重要极限 从而可求 A 证明 因 1 ˘ › x D o B C 故只须讨论 x > 0 的情形. 在如右图的单位圆中, 设 而ΔAOB的面积 < 扇形AOB的面积 < ΔAOD的面积 从而
同除以 sinx 得 故 从而 例16. 求
考虑 x 取正整数 n 且趋于 ∞ 时的情形. 下先证 存在. 同理
因 且 多了最后一项, 从而 {an} 单增. 对任意的n有 故{an} 有上界, 从而 存在. 注:这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数, 其值用e = 2.7182818284……)来表示, 即
利用准则 І I 可证明 例17.求 为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一 个对“1∞” 型非常适用的结论: 若 lim ƒ(x) = 0 , lim g(x) = ∞ 且 lim ƒ(x)g(x) = m, 则
例18.求下列极限
求 c. 例19. 已知
例20. 对第一章中的例19,若即时产生即使结算(按连 续复利计算),求银行t期末的本利和.按连续复利(将利 息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算,实质上就是 每期的结算次数 m→∞ 时的本利和, 即