自动控制原理 教学课件 2009年淮南师范学院 校级精品课程 电气信息工程学院 自动控制原理课程教学组

第八章 非线性控制系统分析 本章主要内容 本章首先阐述非线性控制系统相关基本概念，简要学习常见非线性特性及其对系统运动的影响，系统介绍相平面法、描述函数法，简介非线性控制系统的逆系统法以及非线性系统的校正方法。

本 章 重 点 学习本章，掌握非线性系统的性质特点，在此基础上重点掌握用描述函数分析非线性系统的稳定性、基于描述函数法计算系统自振参数，了解非线性系统的简化和非线性控制系统设计方法。

第八章 非线性控制系统分析 8-1 非线性控制系统概述 8-2 常用非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 第八章 非线性控制系统分析 8-1 非线性控制系统概述 8-2 常用非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 8-5非线性控制系统设计

前述均为线性系统。严格说来，任何一 个实际 控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想 的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非 线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用 线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差 法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、 继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所 以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析 非线性理论。

什么是非线性系统 线性系统的本质特征是叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。 ①实际的控制系统本质上都是非线性系统； ②线性系统可看作是非线性系统的特例。 6

当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。其数学模型一般表为： 有些可以近似为线性系统，以简化处理： 当非线性程度不严重时，忽略非线性特性的影响； 在系统的工作点附近，用小偏差法将非线性模型线性化。 必须用非线性系统地分析和设计方法 非线性程度比较严重 大范围工作 为了改善系统的性能有意设计的非线性控制器 非线性系统千差万别，对于非线性系统目前还没有普遍适用的处理方法

8-1 非线性控制系统概述 1. 研究非线性控制理论的意义 线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性微分方程描述。 8-1 非线性控制系统概述 1. 研究非线性控制理论的意义 线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性微分方程描述。 非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由非线性微分方程描述。 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。

几种典型的非线性系统

在下图所示的柱形液位系统中，设H为液位高度，Qi为液体流入量，Q0为液体流出量，C为贮槽的截面积。根据水力学原理，得：

其中比例系数k取决于液体的黏度和阀阻。液位系统的动态方程为 显然，液位H和液体输入量Qi的数学关系式为非线性微分方程。由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。

例如，设下图液位系统的液位H在H0附近变化，相应的液体输入量Qi在Qi0附近变化时，可取 ，对 作为泰勒级数展开，有 忽略非线性特性的影响或作小偏差线性化处理后，非线性系统近似为线性系统，因此可以采用线性定常系统的方法加以分析和设计。

2. 非线性系统的特征 非线性系统不能应用叠加原理，其运动有以下特点： （1）稳定性分析复杂 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输入信号以及初始状态都有关。

. x = - x( 1 – x ) 例：对于一由非线性微分方程 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为 设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得

非线性一阶系统的时间响应曲线 由此可见，非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。更重要的是，平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接关系。

线性二阶系统只在阻尼比 =0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程，这时系统处于临界稳定状态。 （2）可能存在自激振荡现象 自激振荡：在没有外作用时，系统内部产生的具有固定频率和振幅的稳定周期运动，简称自振。 线性二阶系统只在阻尼比 =0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程，这时系统处于临界稳定状态。 实际上，一旦该系统参数发生微小变化，该周期性状态就无法维持，要么发散至无穷大，要么衰减至零。

一般情况下系统不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。 非线性系统的自激振荡 一般情况下系统不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。 振荡器利用自振产生确定频率和振幅的振荡信号。 研究自振产生的条件，确定自振的频率和周期是非线性系统分析的重要内容。

在正弦信号作用下的稳态输出分量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会很容易畸变。 （3）频率响应发生畸变 在正弦信号作用下的稳态输出分量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会很容易畸变。 对于多值非线性环节，各次谐波分量的幅值可能跃变。

3. 非线性系统的分析与设计方法 相平面法 时域分析法的推广——利用相平面图的图解分析法。 仅适用于一阶和二阶系统。 描述函数法 频域分析法的推广——图解分析法。 对非线性特性进行谐波线性化处理。 适用于系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 分析系统的稳定性，确定自激振荡。 逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统。 设计外环控制网络。 直接研究非线性控制问题，不必求解运动方程。 一种有前途的非线性系统研究方向。

非线性系统与线性系统的比较 线性系统 非线性系统 ①数学模型 线性微分方程 （迭加原理） 非线性微分方程 （不能用迭加原理） ②稳定性 与系统结构参数有关 与系统结构参数、初始条件 外部输入有关 ③运动状态 稳定或不稳定 稳定、 不稳定、自持振荡 ④研究重点 稳定性、动态及静态性能 稳定性、自持振荡 ⑤研究方法 传函、频率法等 相平面法、描述函数法、波波夫法，李亚普诺夫法等 ⑥典型环节 比例 惯性 积分 微分 振荡等 饱和、死区、间隙、继电器等

8-2 常见非线性特性及其对系统的影响 继电特性、死区、饱和、间隙和摩擦是实际系统中常见的非线性因素。 8-2 常见非线性特性及其对系统的影响 继电特性、死区、饱和、间隙和摩擦是实际系统中常见的非线性因素。 在很多情况下，非线性系统可以表示为在线性系统的某些环节的输入或输出端加入非线性环节。故，非线性因素的影响使线性系统的运动发生变化。 设非线性特性环节表示为 按线性比例环节描述，定义非线性环节输入和输出之比 为其等效增益。 非线性环节可看作变增益比例环节

1. 继电特性 （1）特性曲线 （2）数学表达式 来源：继电器是继电特性的典型元件。 具有图示性质的继电特性称理想继电器。 继电特性 -M M y x 1. 继电特性 （1）特性曲线 来源：继电器是继电特性的典型元件。 具有图示性质的继电特性称理想继电器。 （2）数学表达式 造成的影响: （1）改善系统性能，简化系统结构。 （2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。

2. 死区特性 （1）特性曲线 系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。 死区特性 （2）数学表达式 式中

来源：各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力等。 对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。

3. 饱和特性 （1）特性曲线 饱和特性是系统中最常见非线性特性。 部件的饱和现象

（2）数学表达式 饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。 式中： a 是线性范围， K 为线性范围内的传递系数（对于放大元件，也称增益）。 饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。 饱和特性

来源：放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。 作用 (1)在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差，响应时间，稳态误差。 (2)可能使振荡减弱。 (3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。

4. 间隙特性 （1）特性曲线 传动机构（如齿轮传动、杆系传动）的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。 齿轮传动中的间隙 间隙非线性特性 齿轮传动中的间隙

（2）数学表达式 间隙非线性特性

间隙特性的输入-输出波形

造成的影响：间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。所以应尽量避免或减小。 来源：传动机构的间隙： ①齿轮传动中的齿隙； ②液压传动中的油隙； ③磁滞效应。

5. 摩擦特性 特性曲线 摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。 直流电动机的方框图 摩擦力矩示意图

在非线性系统中，一些更复杂的非线性特性，其中有些可看成是上述典型特性的不同组合。 y x -M M -△ △ 死区+滞环+继电 y x -M M -h h 滞环+继电 y x -M M -△ △ 死区+继电

8-3 相 平 面 法 1. 相平面的基本概念 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述： 令 则 8-3 相 平 面 法 1. 相平面的基本概念 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述： , 令 则 ，能够体现 x2和 x1的关系。

相平面: 把具有直角坐标 的平面叫做相平面。 相平面: 把具有直角坐标 的平面叫做相平面。 相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。 相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。

2. 相轨迹绘制的等倾线法 （1）等倾线的基本概念 设系统微分方程可以化为 令 在相平面上形成的曲线称为等倾线。 等倾线是相轨迹切线斜率相等的点的连线。

（2）相轨迹的作图步骤 a.根据等倾线方程式 做出不同值的等倾线； b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点； c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。

等倾线法应该遵守的重要原则： 1）相轨迹的上半平面， 因此相轨迹从左向右走；相轨迹的下半平面， 因此相轨迹从右向左走。 2）除去平衡点外，相轨迹与 x 轴的交点处，由于 切线斜率为无穷，所以相轨迹都与 x 轴垂直。 3） 两轴采用的刻度应相同。

3. 线性系统的相轨迹 （1）线性一阶系统的相轨迹 设系统的微分方程为 令 则 3. 线性系统的相轨迹 （1）线性一阶系统的相轨迹 设系统的微分方程为 令 则 可见，轨迹是斜率为 的直线，当T>0时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当T<0时，相轨迹沿该直线发散至无穷远。

（2）二阶系统 设系统的微分方程为 系统的特征方程为 特征方程的根 取相坐标 ，可化为：

在阻尼比和自然振荡频率 取值不同时，系统相轨迹方程就会描绘出不同的相轨迹。 相轨迹方程是 在阻尼比和自然振荡频率 取值不同时，系统相轨迹方程就会描绘出不同的相轨迹。 1） 2） 3） 4） 5）

（3）二阶系统等倾线法 等倾线方程为 我们就可以画在 取不同值时，二阶系统相轨迹。

相轨迹如下页图所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。 1）无阻尼运动 由方程 ， 相轨迹方程为： 其中 相轨迹如下页图所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。

坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，该点叫做奇点。 相轨迹的方向如左图中箭头所示。 相轨迹垂直穿过横轴。 坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，该点叫做奇点。 系统无阻尼运动时的相轨迹 图中的奇点(0,0)称为中心

2）欠阻尼运动 方程 的解为 其中

相轨迹如右图所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为稳定的焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹

3）过阻尼运动 这时方程 的解为 相轨迹如下页图所示 。

过阻尼运动的时间响应 坐标原点是一个奇点， 这种奇点称为稳定的节点。 过阻尼时的相轨迹

4）负阻尼运动 相轨迹图如右图所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与 图不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为不稳定的焦点 。 时系统负阻尼运动时的相轨迹

系统的相轨迹图如右图所示，奇点称为不稳定的节点。 时系统负阻尼运动时的相轨迹

此时相轨迹如右图所示。奇点称为鞍点。该奇点是不稳定的 。 斥力系统的相轨迹

线性二阶系统相轨迹的奇点类型

由相轨迹的斜率方程 可知,相平面上的点 只要不同时满足 ,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。 4. 奇点和奇线 （1）普通点 由相轨迹的斜率方程 可知,相平面上的点 只要不同时满足 ,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。 这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）

若相平面中的某点，同时满足 ,则该点相轨迹的斜率 ,为不定值，这类特殊点称为奇点。 （2）奇点 若相平面中的某点，同时满足 ,则该点相轨迹的斜率 ,为不定值，这类特殊点称为奇点。 通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的点。 奇点处 ，系统运动速度和加速度同时为零，状态处于平衡，故奇点又称平衡点。 54

线性二阶系统是非线性二阶系统的特殊情况。特征根在s 平面上的分布，决定了系统自由运动的形式，因而可由此划分线性二阶系统奇点(0,0)的类型。 1）焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点。 2）节点。当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。 3）鞍点。当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为鞍点。

能够把相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹称为奇线。 （3）奇线 非线性系统通常存在多个奇点 多个奇点共同作用，会产生特殊的相轨迹： 能够把相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹称为奇线。 极限环 1）稳定的极限环 2）不稳定的极限环 3）半稳定的极限环 56

各种类型的极限环

对于非线性系统还有一种与线性系统不同的运动状态---自持振荡，它在相平面图上表现为一条孤立封闭曲线，称之为极限环或奇线。 极限环附近的相轨迹都卷向极限环，或从极限环卷出。因此，极限环将相平面分成内部平面和外部平面，极限环内部（外部）的相轨迹，不能穿过极限环进入它的外部（内部）。

分析极限环邻近相轨迹的特点，可将极限环分成： （1）稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹均收敛于该极限环，稳定极限环对应稳定的自持振荡。 （2）不稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹均从该极限环发散出去，不稳定极限环对应不稳定的自持振荡。 （3）半稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹有一侧收敛于该极限环，而另一侧的相轨迹从极限环发散出去，半稳定极限环。

绘制相轨迹的步骤小结： a.根据等倾线方程式 做出不同值的等倾线； b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点； c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。

例1 做出 的相轨迹 解：（1）等倾线方程 故等倾线方程为 显然为直线 该等倾线的斜率为 对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为

 取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。

X’ x a=-1 a=-2 a=inf a=0 a=1

5. 非线性系统的相平面分析 （1）相平面图分析 1、作出系统的相平面图。对于具有间断特性的非线性系统，一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨迹也是分区作出的。 2、分析系统的稳定性。由分区穿越的各段构成的相轨迹，最终是收敛还是发散。 3、分析系统是否具有极限环。 4、可以参考线性系统的性能指标来考虑该非线性系统的调节时间与超调量等。

（2）具有分段线性的典型非线性系统相轨迹分析步骤 （1）用 n 条分界线（开关线，转换线）将相平面分成 n 个线性区域； （2）分别写出各个线性区域的微分方程； （3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图； （4）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线------非线性系统的相轨迹。

关于奇点： （1）每个线性区有一个奇点； （2）当奇点位于本线性区域之内----实奇点；当奇点位于本线性区域之外----虚奇点；该区域的相轨迹永远不能到达此点； （3）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。

8-4 描 述 函 数 法 1. 描述函数的基本概念 描述函数是非线性特性的一种线性近似表示。用描述函数后，非线性系统可近似视为线性系统，用线性系统理论去分析，甚至设计。 考虑一非线性环节N，其输入为x(t)，输出为n(t)。描述函数法：找出一个线性函数 y(t)去逼近n(t)，并且要求按照均方误差最小的准则衡量，这种逼近是最佳的。

针对一任意非线性系统，设输入 x =Xsinωt ，输出为n(t) ，则可以将n(t)表示为傅立叶级数形式： 如果非线性环节N 的特性是对称的，则A0=0。

非线性特性的线性化表示方法：以输出n(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为 基波幅值 基波初相位 此时，非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节，可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性特性的等效幅相特性。

定义：正弦信号作用下非线性环节输出量的基波分量与其输入正弦量的复数比即为非线性环节的描述函数，其数学表达式为 式中：N（A）——非线性环节的描述函数 A ——正弦输入信号的振幅 ——非线性环节输出基波分量的振幅 ——非线性环节输出基波分量相对于输入信号的相位

描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记作N(A)，当非线性元件中包含储能元件时，N 同时为输入信号振幅及频率的函数，记作N（A，）。 用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输入振幅A而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，其增益是一个复数，该复数的模值和幅角是幅值A 的函数。 用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是N（A）的计算。

例1 试计算继电特性的描述函数 由于输出的周期方波信号为奇函数，则傅氏级数中的直流分量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零： 例1 试计算继电特性的描述函数 由于输出的周期方波信号为奇函数，则傅氏级数中的直流分量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零： A0 = A1 = 0 而基波奇函数分量的系数B1为： 故基波分量为： 因此，理想继电器特性的描述函数为：

例2 试计算如下非线性元件元件的描述函数 因为它是单值、奇对称的， ，先求出 ： 所以

非线性系统描述函数法分析的应用条件 1）非线性系统应可简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式如下图所示。 2）非线性环节的输入输入特性y (x)应是x 的奇函数，或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即A0=0. 3）系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。低通滤波作用使非线性环节的高次谐波分量大大削弱，近似地只有一次谐波分量通过。 基本应用条件 ① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好

非线性环节的正弦响应 y(t) ωt

2. 典型非线性特性的描述函数 （1）死区饱和非线性环节

（2）死区与滞环继电特性非线性环节

常见非线性环节的描述函数 饱和特性 死区特性 死区饱和特性

非线性增益I 非线性增益II

理想继电器特性 死区继电器特性 滞环继电器特性

间隙、滞环特性

两个非线性特性并联的等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。 并联非线性特性的等效描述函数为各非线性特性的描述函数的代数和。 3. 非线性系统的简化 （1）非线性特性的并联 两个非线性特性并联的等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。 并联非线性特性的等效描述函数为各非线性特性的描述函数的代数和。

（2）非线性特性的串联 与前后次序有关，具体情况具体分析，等效描述函数需要计算。

（3）线性部分的等效变换

用描述函数法分析非线性控制系统 描述函数仅表示非线性元件在正弦输入信号作用下，其输出的基波分量与输入正弦信号的关系，因而它不可能像线性系统中的频率特征那样能全面地表征系统的性能，只能近似地用与分析非线性系统的稳定性和自持振荡。

4. 非线性系统稳定性分析的描述函数法 任何非线性系统经过对方框图的变换与简化都可以表示成由线性部分G(jω)与非线性部分N(A)相串联的情况，如下图所示： 上述系统满足用描述函数法进行分析的条件，则描述函数可以作为一个具有复变增益的比例环节，用线性系统的频率特性法，分析系统的稳定性。

若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j) 轨迹不包围复平面的(-1,j0)。 非线性系统的稳定性 线性系统 (乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j) 轨迹不包围复平面的(-1,j0)。 负倒描述函数（描述函数负倒特性) ? (-1,j0)

根据线性系统稳定性的频率特性法，将频率特性推广到图示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为： 特征方程为 因为 是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于在复平面上 曲线是否包围实轴上的（-1，j0)点。

Nyquist判据判别非线性系统的稳定性： 当G(j)为最小相位系统时， 由上式得： 与线性系统的Nyquist判据相比，-1/N(A) 相当于线性系统中的临界稳定点（-1, j0)。只是在非线性系统中，临界不是一个点，而是一条曲线。 Nyquist判据判别非线性系统的稳定性： 当G(j)为最小相位系统时，

设：系统开环的线性部分G(j)稳定

例1

③ G(j)与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极 限环振荡) 稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？

如果在复平面上-1／N(A)曲线与G(j)曲线相交，非线性系统处于临界状态，则在非线性系统中产生周期性振荡（稳定或不稳定），稳定自持振荡的振幅 值决定。

非线性系统的自持振荡是在没有外界输入信号作用下，系统产生的具有固定频率和振幅的稳定的等幅运动。 稳定性分析 不包围 包围 相交于 则系统 稳定 不稳定 自持振荡 非线性系统的自持振荡是在没有外界输入信号作用下，系统产生的具有固定频率和振幅的稳定的等幅运动。

当微小扰动使振幅A增大由a到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 微小扰动分析法 当微小扰动使振幅A增大由a到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。 当微小扰动使振幅A减小由a到d点，d点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； a点为不稳定自持振荡点。

当微小扰动使振幅A增大由b到e点时， e点“(-1, j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅A减小由b到f点， f点“(-1, j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； b点为稳定自持振荡点。

在 曲线和 曲线的交点处，若 沿振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该点 对应的周期运动是稳定的；反之，若 曲线沿振幅 A增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时，该 点对应的周期运动是不稳定的。 曲线

例2

例3

自持振荡分析 穿入 穿出 相切于 不稳定自振 的点 对应半稳定 的周期运动 稳定自振

自振必要条件： 例4 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。 解 作图分析， 系统一定自振。 由自振条件： 得： 比较实/虚部： 演示

例5 非线性系统结构图如右图所示， 自振时,调整K使 。 求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。 已知： 自振时,调整K使 。 求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。 (2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。 解(1) (2) 依图分析：

解 先将系统结构图化为典型结构 例6 非线性系统结构图如右图所示， 时，系统是否自振？ 确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 已知： 时，系统是否自振？ 确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。 解 先将系统结构图化为典型结构 解法I 等效变换法 解法II 特征方程法

解(1) G3(s)=1时 由自振条件 虚部 实部

有解条件： (2) G3(s)= s 时 此时系统稳定

例7 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。 解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)

G*(jw) 从稳定区穿到不稳定区的点 — 不是自振点 分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为 令

例8 非线性系统如图所示， 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。 解 将两非线性环节等效合并，结构图化为 依自振条件 比较虚实部

分析可知：系统存在自振

8-5 非线性控制系统设计 通过具体例子，介绍MATLAB在描述函数法分析中的应用。在计算机辅助分析中用到了相对描述函数的概念。非线性系统自振时

例：已知死区＋继电特性的非线性控制系统如图所示，其中继电特性参数为M＝1. 7，死区特性参数为△＝0 例：已知死区＋继电特性的非线性控制系统如图所示，其中继电特性参数为M＝1.7，死区特性参数为△＝0.7，应用描述函数法作系统分析系统是否存在自振？若有自振须求出自振的振幅x与角频率ω。 死区＋继电特性的非线性控制系统

解：1.方法一 （1）带死区的继电型非线性环节的描述函数为 其负倒数函数为

当X为变量，由△开始增加时， 曲线从负无穷处出 发沿负实轴增加，相角始终为－π，所以 曲线位于 发沿负实轴增加，相角始终为－π，所以 曲线位于 平面 的负实轴上，幅值大小 随着X的增加先 减后增，在X增加到 时，有极大值

作 曲线。 （2）在图上作 曲线，当ω＝140时， 曲线穿过实轴。 （3）当M＝1.7，△＝0.7时， 曲线的端点值为 因此，曲线与 在 处两次相交，两次相交的X值分别为

死区＋继电特性非线性系统的描述函数法分析

对于A点邻域，被 曲线包围的段上， 是增幅的，不被 曲线包围的段上， 是减幅的。因此在A点邻， 扰动作用使得系统的运动脱离A点。而在B点邻域两边的运动，基于奈氏稳定性判据而形成自持振荡。振荡频率与振荡幅值如图可知分别为

2. 方法二：MATLAB软件辅助分析 （1）线性部分的频率特性为： （2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：

（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程序OK1.m，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线。 %MATLAB　PROGRAM　OK1.m clear syms t x y z c m x; m=1.7;c=0.7; for x=0.71:0.1:7 x=c*4/(pi*x)*sqrt(1-(c/x)^2); y=0; z=-1/x+j*y; plot(-1/x,y,'k*') hold on

end n=[0 0 0 460]; d=conv(conv([1 0],[0.01 1]),[0.005 1]); g=1.7/0.7*tf(n,d); for w=50:1:400 nyquist(g,[w,w+1]) hold on

运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。

由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅A 的实函数，其相对负倒描述函数也是自振振幅A 的实函数，其虚部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist 曲线的交点也在横坐标上。

（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率 与交点的 分母有理化后，运行以下程序，由上式分子虚部为零求 syms w n; n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w)) 交点的角频率

运行结果为 n=i+3/200*w-1/20000*i*w^2 交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω [w]=solve('1-1/20000*w^2=0') w = [100*2^(1/2)] [-100*2^(1/2)] 即交点的角频率ω＝141.4 rad / s。

运行以下程序，将ω＝141.4 rad /s代入线性部分的频率特 syms w; w=141.4; g=2.43*460/(j*w*(0.01*j*w+1)*(0.005*j*w+1)); A=abs(g) 程序运行结果： A = 3.7271 即交点的 性计算交点的

（5）在此应用相对描述函数的概念。非线性系统自振时有 syms z; [z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.7271'); c=0.7; [x]=sqrt(z)*c; x=vpa(x,3) 运行以下程序，由 ，求自振的振幅X。 程序运行结果： x =[ .717] [ 3.24] (6) 所得结果与方法一非常近似。

课程总复习 各章概念融会贯通 解题方法灵活运用

例1 单位反馈的最小相角系统，开环对数幅频特性如图所示 1 写出 G(s) 表达示，确定 K=? wn=? 解 2 欲使闭环系统 x=0.707，K应取多大？ 解

解 画出系统根轨迹 3 画出K =0→∞时系统的根轨迹, 确定K =0.5时闭环极点的位置。 4 K =0.5时，计算系统动态指标(tp, s , ts)。 解 5 K =0.5时， 计算 r (t)=1(t)，t 时的 ess。 解

6 概略画出相应的对数相频曲线j (w)和幅相特性曲线G (jw)。 7 计算相应的相角裕度 g 和幅值裕度 h 。 解 8 计算相应的闭环频率指标(wr, Mr, wb)。 解

9 时，计算系统的稳态输出cs (t)。 解

10 采用测速反馈控制，分析当t =0→∞变化时对系统性能的影响 。 解 绘制根轨迹， 可见系统稳定，t↑ → x↑ → s %↓ 可见 t↑ → ess↑

注：L0(w),Lc(w),L(w)三者之中知其二，可定其三。 11 为提高系统在r (t)=t 作用下的稳态精度，增加了K值，此时相应的Lo(w)曲线如图所示。要求在保持给定w0 、 K值的条件下，提高相角裕度g, 确定采用何种串联校正方式；绘制校正示意图，讨论校正后对系统性能的影响 。 解 采用迟后-超前校正（步骤如图所示） 保持K 值，可使ess满足要求； 低频段： 中频段： 保持wc，提高g，可改善系统动态性能； 高频段： 高频段被抬高，系统抗高频干扰的能力有所降低。 注：L0(w),Lc(w),L(w)三者之中知其二，可定其三。

12 采用离散控制方式，对偏差进行采样,采样周期T =1，分别讨论有或 没有ZOH 时K的稳定范围，以及单位斜坡作用下系统的稳态误差e(∞)。 解 (1) 无ZOH时

解 (2) 有ZOH时

13 在系统前向通路中串入一个纯滞环继电特性,-1/N(A)曲线如图，试确定： (1) 系统是否会自振？是否一定自振？ (2) 当 M =h =K =1, 时系统的自振参数(A, w); (3) 讨论增大 K 或加入延时环节时(A,w)的变化趋势。 解 (1) 画出G (jw) ， 可见系统一定自振。 (2) 实部 (3) 虚部

关于系统稳定性的判定方法 例2 已知系统结构图，判定其稳定性。 解 解法一 Routh判据 使系统稳定的参数范围：

解法二 根轨迹法 例2 已知系统结构图，判定其稳定性。 解 绘制根轨迹： ① 实轴上的根轨迹 ② 渐近线 ③ 起始角 ④ 与虚轴交点 实部 虚部 使系统稳定的参数范围：

解法三 奈氏判据 解 令

解法四 对数判据 解 作 Bode 图：

关于性能分析方法 例3 已知系统结构图,讨论当K1, K2,和b 各自分别变化时对系统性能的影响。 方法一 时域分析法 解 （基本不变）

例3 已知结构图，讨论当K1, K2 和b 各自分别变化时对系统性能的影响。 解 （不变）

方法二 根轨迹法 解 (基本不变)

方法三 频域法 解 低频段 振荡加剧 高频段↑，抗高频干扰能力↓ 低频段 低频段不变 不变 转折频率右移 转折频率右移 方法三 频域法 解 低频段 振荡加剧 高频段↑，抗高频干扰能力↓ 低频段 低频段不变 不变 转折频率右移 转折频率右移 高频段↑，抗高频干扰能力↓

山不在高，有仙则灵； 水不在深，有龙则灵！