第二章 平面体系的几何组成分析

§ 2.1 概述 结构能承受荷载的前提： 几何稳固，能保持几何形态不变 由若干杆件随意组成的体系不一定能够满足结构的功能要求，只有按照一定规律组成的体系才能满足。

本章只从几何构造的角度来对体系进行分析，不涉及到结构的内力和应变等 平面体系几何组成分析的目的和意义 —— 把杆件结构看成是一个杆件体系，检查它是否是一个几何不变体系； —— 研究几何不变体系的组成规律，指导设计； ——能为结构受力分析提供合理途径；区分静定和超静定的组成。 本章只从几何构造的角度来对体系进行分析，不涉及到结构的内力和应变等 几何组成分析基本假定： 不考虑材料的变形

几何组成分析的基本概念 2.2.1 几何不变体系和几何可变体系 几何不变体系特征： 几何可变体系特征： 体系的位置和形状保持不变。 体系的位置和形状可以改变。 几何可变体系特征：

任意荷载 ！ 几何不变体系 几何可变体系

几何不变体系 几何可变体系 结构 机构 ( geometrically stable system ) 在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形） 结构 几何可变体系 ( geometrically unstable system ) 在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变的体系。（不考虑材料的变形） 机构

§ 2.2 平面体系的计算自由度 = 0 > 0 几何不变体系的自由度 几何可变体系的自由度 n=2 n=3 § 2.2 平面体系的计算自由度 杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点 和线。分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点 和线的运动。 = 0 y x 几何不变体系的自由度 y x A' A' B' D  n=2 n=3 D y > 0 几何可变体系的自由度 D y A B D x A D x 自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。

刚片(rigid plate)——平面刚体。 形状可任意替换

n=3 n=2 平面刚体——刚片 2. 约束 (Constraint) 约束（联系）-- 减少自由度的装置。 一根链杆 为一个联系 A C 约束（联系）-- 减少自由度的装置。 平面刚体——刚片 一根链杆 为一个联系 n=3 n=2 A C B

铰 x y α β 单铰联后 n=4 每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度 1个单铰 = 2个联系

两刚片用两链杆连接 C n=4 B A x y 两相交链杆构成一虚铰

刚结点 单刚结点联后 n=3 每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度 1个单刚节点 = 3个联系

n=5 复铰 等于多少个 单铰？ 1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰

A 单刚结点 复刚结点 n-1个 连接n个杆的 复刚结点等于多 少个单刚结点？

每个自由刚片有 多少个 自由度呢？ n=3

每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？ s=2

每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=1

每个单刚结点 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=3

多余约束的 概念具有相对性 3、多余约束 分清必要约束和非必要约束。 体系中有的约束并不能起到减少自由度的作用，这种约束称为多余约束或无效约束。 除去约束后，体系的自由度并不改变，这类约束称为多余约束;反之，则为必要约束。

2.2.3 瞬 铰 O’ . . O A C B D 依据理论力学中关于瞬时转动中心的概念，将在运动中改变位置的铰称为瞬铰。

结构设计不仅 应避免设计常变体系， 也应避免设计成瞬变 或接近瞬变的体系 2.2.4、瞬变体系(instantaneously unstable system) 结构设计不仅 应避免设计常变体系， 也应避免设计成瞬变 或接近瞬变的体系 一个几何可变体系在发生微小的机构运动后成为几何不变体系，那么这个体系就称为瞬变体系；反之则为常变体系。 C A B A B C’  瞬变体系的两个特征： 0' r P (1) 多余约束的存在 (2) 很小的荷载引起很大的内力；构件的微小变形引起体系显著的位移。 N1 N2 N3

瞬变体系的其它几种情况：

瞬变体系 常变体系

体系的计算自由度： W = 3m-(e+s) W = 3m-(b+2h+3r) m---刚片数（不包括地基） r---单刚结点数 计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数 m---刚片数（不包括地基） r---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆） W = 3m-(e+s) 其中：e--- 有效约束数 s--- 多余约束数 W = 3m-(b+2h+3r) 体系自由度： D = 3m-e

铰结链杆体系---完全由两端铰 结的杆件所组成的体系 铰结链杆体系 的计算自由度： j--结点数 b--链杆数,含 支座链杆 W=2j-b

？ W=3×8-(2 ×10+4)=0 有 几 个 刚 片 例1：计算图示体系的自由度 AC CDB CE EF CF DF DG FG G 有几个单铰？ W=3×8-(2 ×10+4)=0

按刚片计算 9根杆,9个刚片 有几个单铰？ 3根单链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0 例2：计算图示体系的自由度 2 1 3 3 1

另一种解法 按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆 W=2 ×6-12=0

讨论 有几个单铰？ W=3 ×9-(2×12+3)=0 可变吗？ 体系W 等于多少？ 2 2 3 3 W=0,体系 是否一定 几何不变呢？

除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。 因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约束。

除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。 图中上部三根杆和三根支座杆都是必要的约束。 下部正方形中任意一根杆，除去都不增加自由度，都可看作多余的约束。

W=3 ×9-(2×12+3)=0 W=2 ×6-12=0 W=0,但 例3：计算图示体系的自由度 布置不当 几何可变。 上部有多 余约束， 下部缺少 约束。 W=3 ×9-(2×12+3)=0 W=2 ×6-12=0

计算自由度 = 体系真实 的自由度 ？ W=2 ×6-12=0 W=3 ×9-(2×12+3)=0

W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0 例4：计算图示体系的自由度 W<0,体系 是否一定 几何不变呢？ 上部 具有多 余联系 W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0

缺少联系 几何可变 W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1

§2.3 平面几何不变体系的基本组成规则 二元体---不在一直线上的两根链杆 连结一个新结点的装置。 二元体规则： 在一个体系上增加 （1）二元体规则 C 二元体规则： 在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。

加二元体组成结构 减二元体简化分析

如何减二元体？

（2）二刚片规则 Ⅱ Ⅰ 链杆 铰 二刚片规则： 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，组成无多余联系的几何不变体系。

二刚片规则： 两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多余联系的几何不变体系。 A B C D O 二刚片规则： 两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多余联系的几何不变体系。 刚片2 E F 刚片1 O 刚片2 E F B D A C 刚片1 虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰。

（3）三刚片原则 三刚片规则： 三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。 三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成一个三角形——基本出发点. 三刚片规则： 三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。

说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。 Ⅱ Ⅰ

2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联，组成瞬变体系。( 几何可变 ) 不符合三刚片规则 A B C C’

三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况 不平行 几何不变体系

平行 几何瞬变体系

平行等长 几何常变体系

(b) 两铰无穷远情况 四杆不全平行 几何不变体系

四杆全平行 几何瞬变体系

四杆平行等长 几何常变体系

三铰无穷远 如何? 射影定理： 所有无穷远点都在同一 直线上——无穷远直线 三铰无穷远 为：瞬变

一个三刚片的例子：三铰拱 无多余几何不变 大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰

O是虚 铰吗？ 有二元 体吗？ 是什么 体系？ O不是 有 I III II O 无多不变

是什么 体系？ 有二元 体吗？ 有虚 铰吗？ 几何不变无多余约束 试分析图示体系的几何组成。 有二元 体吗？ 有虚 铰吗？ 没有 有 几何不变无多余约束

几何组成与静定性的关系 F FB FAy FAx 无多余 联系几何 不变。 如何求支 座反力? 静定结构

F FB FAy FAx FC 有多余 联系几何 不变。 能否求全 部反力? 超静定结构

小结 有多余联系 无多余联系 几何不变体系 几何可变体系 可作为结构 静定结构 超静定结构 体系 常变 瞬变 不可作结构

小 结 W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求 的最少联系数目。 小 结 W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求 的最少联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。 W> 0 体系几何可变 W< 0 体系几何不变

几何组成分析的依据： 三个规则 利用组成规律可以两种方式构造一般的结构： （1）从基础出发构造 （2）从内部刚片出发构造

分析示例 加、减二元体 几何不变，无多余约束 A B C Ⅱ A B C Ⅰ 几何不变，有一个多余约束

加减二元体

加、减二元体 无多几何不变

刚片扩张法 A B C D E F 从地基开始，依次依次增加二元体AEF、ADE、FCD、CBF。 几何不变体系，AB为一个多余约束。 按增加二元体顺序的不同，多余约束可以是AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。

多余约束的个数是一定的，位置不一定，但也不是任意的。 去掉一个多余约束。 去掉一个多余约束。 去掉一个必要约束。 多余约束的个数是一定的，位置不一定，但也不是任意的。

A B C D E F A B C D E F F A C D B E A B C D E

所有的无穷铰都在 同一条直线上 . . . . 无多余约束的几何不变体系 几何瞬变体系 . . . 几何瞬变体系 2,3 1,3 1,2

. A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J (1,2) (2,3) (1,3)

几何不变体系 几何瞬变体系 A B C E F 1,3 A B C D E F A B C D 2,3 2,3 1,2 1,3 1,2 D

凡是上部结构以三根不共点的链杆连接于地基所形成的体系，都可以脱离地基而只分析其上部结构的几何组成！ 不依赖于地基的几何不变性称为内部不变 B Ⅱ A B C D E Ⅰ Ⅲ A C D E 几何不变体系且无多余约束 凡是上部结构以三根不共点的链杆连接于地基所形成的体系，都可以脱离地基而只分析其上部结构的几何组成！ 几何可变体系， 少1个约束

A B C D E F 内部可 变性 找刚片

瞬变体系 去支座后再分析

找虚铰 无多几何不变

无多几何不变 O13 O12 O23 行吗？ 行吗？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 找 刚片、找虚铰 瞬变体系 无穷 它可 变吗？

D E F G 找刚片 无多几何不变

D E F G 如何变静定？ 唯一吗？

A B C D E 可变吗？ 有多余吗？ A B C D E 如何才能不变？

结论与讨论 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 当计算自由度W >0 时，体系一定是可变的。 但W≤0仅是体系几何不变的必要条件。