知识回顾

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§9.3 麦克斯韦分布律对 理想气体的应用 3.1 理想气体的微观模型 3.2 理想气体压强公式 3.3 温度的微观意义 3.4 自由度 i §9.3 麦克斯韦分布律对 理想气体的应用 3.1 理想气体的微观模型 3.2 理想气体压强公式 3.3 温度的微观意义 3.4 自由度 i 3.5 能量按自由度均分定理 3.6 理想气体的内能 作业：P247 9-1, 9-2, 9-3, 9-4

§9.3 麦克斯韦分布律对理想气体的应用 3.1 理想气体的微观模型 三个基本假设 3.1 理想气体的微观模型 三个基本假设 分子本身的线度，比起分子之间的距离来说可以忽略不计。可看作无体积大小的质点。 除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用。 分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，即碰撞前后气体分子动能守恒。

3.2 理想气体压强公式 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量: dI为大量分子在dt时间内施加 3.2 理想气体压强公式 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量: dI为大量分子在dt时间内施加 在器壁dA面上的平均冲量， 设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为 n=N/V.

为讨论方便，将分子按速度分组，第i 组分子的速度为vi (严格说在vi 附近)分子数为Ni，分子数密度 ni=Ni/V，并有 n=n1+n2+……+ni+….= ni x dA vixdt 平衡态下，器壁各处压强 相等，取直角坐标系，在 垂直于x轴的器壁上任取 一小面积dA,计算其所受 的压强（如右图）

单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为 2mvix. vixdt dt 时间内，碰到dA面的第 i组 分子施于dA的冲量为 2mni vix2dtdA 关键在于：在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA为底，以 vixdt 为高，以 vi为轴线的方柱体内的分子。分子数为 nivixdtdA 。

dt时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为 注意： vix< 0 的分子不与dA碰撞。 容器中气体无整体运动， 平均来讲 vix> 0 的分子 数等于 vix< 0 的分子数。

压强 定义 则 平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有 可知

在非相对论的情况下 所以压强 压强公式 分子平均动能 在相对论的情况下，光子气体 显示了宏观量与微观量的关系。 是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。 也可将压强理解成分子通过单位面积，在单位时间 内交换的动量。其结果相同。

另外，对于实际气体人们导出了各种类型的状态方程。范德瓦尔斯方程就是很具代表性的一种，1 mol气体范德瓦尔斯方程可写为： a、b是考虑了分子间引力和分子的大小引进 的修正值 ,可由实验定出。 范德瓦尔斯方程还是反映气液相变的方程, 很有理论价值。

3.3 温度的微观意义 理想气体状态方程的另一形式 因为： PV=RT 若知分子总数N，则有 PV=NRT/NA 3.3 温度的微观意义 理想气体状态方程的另一形式 因为： PV=RT 若知分子总数N，则有 PV=NRT/NA 定义玻尔兹曼常数: k =R/NA =1.3810-23JK-1 则 PV=NkT 或 P=nkT 温度的微观意义 比较 P=nkT 和 ，有 温度标志着物体内 部分子无规则运动 的激烈程度 ：分子无规则 运动激烈程度 的定量表示

气体分子的方均根速率 在同一温度下， 质量大的分子 其方均根速率小。 表6-1 在0°C时气体的方均根速率 气体种类 方均根速率(m.s-1 ) 摩尔质量(10-3kg.mol-1 ) O2 4.61102 32 .0 N2 4.93102 28.0 H2 1.84103 2.02 CO2 3.93102 44.0 H2 O 6.15102 18.0

例1 一容器内贮有气体,温度是27C, (1)压强为1. 013 105Pa时,在1m3中有多少个分子;(2)在高真空时压强为1 例1 一容器内贮有气体,温度是27C, (1)压强为1.013 105Pa时,在1m3中有多少个分子;(2)在高真空时压强为1.33 10 -5Pa,在1m3中有多少个分子? 解:按公式 P=nkT ,可知 (1) (2)

例2 求氮气分子的平均平动动能和方均根速率,设(1)在温度t=1000C时,(2)在温度t=0C时;(3)在温度t=-150C. 解:

能量均分定理 简化对于气体分子热运动动能的平均值的计算 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念

3.4 自由度 i 在力学中，自由度i是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数. t : 平动自由度 r : 转动自由度 在直角坐标系中： （1）对质点：x、y、z 共3个自由度，称平动自由度 t = 3 （2）对直线 确定线上一个点，需 （x、y、z） t =3 个平动自由度， 确定线的方位，似乎还需 （、、）3 个转动自由度 但因 故只需 r = 2 个转动自由度 所以，直线需要的自由度数为：

（3）对刚体 确定刚体一轴线5个自由度 确定刚体绕轴转动加一个自由度 刚体的自由度数：

分子的自由度 i = 3 5 6 6 6 6 （1）单原子分子：氦（He）、 氖（Ne） i = 3 振动 自由度 刚性 （2）双原子分子： H2、O2、CO… 非刚性 （3）三原子分子： CO2、H2O... 刚性 非刚性 O2 He H2O CO2 NH3 CH3OH i = 3 5 6 6 6 6

分子的自由度 总结 自由度 t 平动 r转动 s振动 分子种类 单 原 子 分 子 3 3 刚性 3 2 5 双原子分子 3 2 1 非刚性 单 原 子 分 子 3 3 刚性 3 2 5 双原子分子 3 2 1 非刚性 6 3 3 刚性 6 多原子分子 3 3 3n - 6 3n 非刚性

3.5 能量按自由度均分定理 一个分子的平均平动能为 平衡态下 可得 平方项的平均值 平动自由度 分子的每一个平动自由度的平均动能都等于 。 3.5 能量按自由度均分定理 一个分子的平均平动能为 平衡态下 可得 平方项的平均值 平动自由度 分子的每一个平动自由度的平均动能都等于 。 推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。

在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能、势能都相等，都等于 。 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 是气体分子无规则碰撞的结果。 经典统计物理可给出严格证明。 若考虑振动自由度 s ， 则平均势能等于平均动能，所以总平均能量为 分子热运动 布朗运动

3.6 理想气体的内能 气体内能=动能+势能(分子内及分子之间的相互作用) 刚性理想气体的内能=分子动能 i 表示一个分子的总自由度 3.6 理想气体的内能 气体内能=动能+势能(分子内及分子之间的相互作用) 刚性理想气体的内能=分子动能 i 表示一个分子的总自由度 N 表示气体分子的总数  表示气体总摩尔数 分子的平均动能 理想气体的内能 理想气体的内能完全决定于i 和T 而且与热力学温度成正比, 是温度的单值函数 此结论在与室温相差不大的 温度范围内与实验近似相符。

例题3 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？（不计分子的振动自由度） 解： 所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢和1摩尔的氧气

§9.3 麦克斯韦分布律对 理想气体的应用 3.1 理想气体的微观模型 3.2 理想气体压强公式 3.3 温度的微观意义 3.4 自由度 i §9.3 麦克斯韦分布律对 理想气体的应用 3.1 理想气体的微观模型 3.2 理想气体压强公式 3.3 温度的微观意义 3.4 自由度 i 3.5 能量按自由度均分定理 3.6 理想气体的内能 作业：P247 9-1, 9-2, 9-3, 9-4

玻耳兹曼 （L. Boltzmann ) 科学家介绍-9 ( 1844 — 1906年 ) 玻耳兹曼,奥地利理论物理学家，经典统计物理学奠基人之一，他提出的玻耳兹曼能量分布律是经典统计的基础，他给于热力学第二定律以统计解释，提出著名的玻尔兹曼关系式。他还用热力学定律从理论上导出黑体的辐射能量密度与温度四次方成正比的斯特藩-玻耳兹曼定律。