1 矢量代数与场论第 6 讲 本网页可由如下网址下载： www. 应用数学.cn www. 应用数学. 中国

2 2. 管形场 定义 设有矢量场 A, 若其散度 div A  0, 则称 此矢量场为管形场. 换言之, 管形场就是无 源场. 管形场之所由得名, 是因它具有如下性质.

3 定理 2 设管形场 A 所在的空间区域为一面单 连域, 在场中任取一个矢量管. 假定 S 1 与 S 2 是 它的两个横断面. 其法矢 n 1 与 n 2 都朝向矢量 A 所指的一侧, 如图 则有

4 图 2-24 S1S1 S2S2 S3S3 n1n1 n2n2 A A

5 证 设 S 为由二断面 S 1 与 S 2 以及此二断面之间 的一段矢量管面 S 3 所组成的一个封闭曲面. 由于管形场的散度为零, 且场所在区域是面 单连域, 则由奥氏公式有 或 其中 A n 表示 A 在闭曲面 S 上的外向法矢 n 的方 向上的投影.

6 注意到场中矢量 A 是与矢量线相切的, 从而 也就与矢量管的管面相切, 所以在管面 S 3 上 有 A n  0. 因此, 上式成为 或 即

7 定理 2 告诉我们, 管形场中穿过同一个矢量 管的所有横断面的通量都相等, 即为一常数, 称其为此矢量管的强度. 比如在无源的流速 场中, 定理 2 表明, 流入某个矢量管的流量和 从管中流出的流量是相等的. 因此, 流体在 矢量管中流动, 宛如在真正的管子内流动一 样, 管形场因而得名.

8 定理 3 在面单连域内矢量场 A 为管形场的充 要条件是 : 它为另一个矢量场 B 的旋度场. 证 [ 充分性 ] 设 A=rotB, 则由旋度运算的基 本公式有 div(rot B)=0, 即有 div A=0, 所以矢量场 A 为管形场. [ 必要性 ] 设 A=Pi+Qj+Rk 为管形场, 即有 div A=0, 现在来证明存在矢量场 B=Ui+Vj+Wk

9 A=Pi+Qj+Rk,B=Ui+Vj+Wk 满足 rot B=A(5.11) 也就是满足

10 满足 (5.11) 式的矢量 B, 称为矢量场的矢势量, 其存在是肯定的, 例如以 为坐标的矢量, 就是满足 (5.11) 式的矢势量.

11 例 5 验证矢量场 A=(2z  3y)i+(3x+y)j  (z+2x)k 为管形场, 并求场 A 的一个矢势量. 解 因为 div A=0+1  1=0, 故 A 为管形场. 今求其矢势量. 按公式 (5.13), 并取 (x 0,y 0,z 0 )=(0,0,0), 则有 令 B=(3xz+yz+2xy)i+(3yz  z 2 )j+k,

12 B=(3xz+yz+2xy)i+(3yz  z 2 )j+k, 则有 rot B=(2z  3y)i+(3x+y)j  (z+2x)k=A. 所以 B 即所求场 A 的一个矢势量.

13 3. 调和场 定义 如果在矢量场 A 中恒有 div A=0 与 rot A=0, 则称此矢量场为调和场, 换言之, 调和 场是指既无源又无旋的矢量场.

14 例如位于原点的点电荷 q 所产生的静电场中, 除去点电荷所在的原点外, 由本章第三节的 例 3 知有 div D=0. 同时又由习题 5 第 9 题知有 rot D = 0. 所以, 电位移矢量 D 在除去原点外的区域内 形成一个调和场.

15 由此, 根据散度和旋度运算的基本公式, 有 可见, 电场强度 E 也在除去原点外的区域内 形成一个调和场.

16 (1) 调和函数 设矢量场 A 为调和场, 按定义有 rot A=0, 因 此存在函数 u 满足 A=grad u; 又按定义有 div A=0, 于是有 div(grad u)=0.(5.14) 在直角坐标系中, 由于 因而上式成为

17 这是一个二阶微分方程, 叫做拉普拉斯方程 ; 满足拉普拉斯方程且具有二阶连续偏导数 的函数, 叫调和函数. 按定义调和场亦为有势场, 由 (5.15) 式可以 看出, 其势函数 v  u 显然也是调和函数. 拉普拉斯引进了一个微分算子

18 它叫做拉普拉斯算子, 记号  可读作 " 拉普拉 逊 ". 引用这个算子, 方程 (5.15) 便可简写为  u=0, 与 (5.14) 式比较, 知有 div(grad u)=  u,(5.17) 其中  u 也叫做调和量 ( 或拉普拉斯式 ).

19 例 6 设 S 为区域  的边界曲面, n 为 S 的向外单 位法矢量, 在  上的函数 f(x,y,z) 具有二阶连 续偏导数. 证明 其中 为 f 沿 S 的向外法矢 n 的方向导数. 证

20 由奥氏公式 由此知, 若 f(x,y,z) 为  中的调和函数, 则有

21 (2) 平面调和场 平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量 场. 和空间调和场的概念完全类似 ; 但比起 空间调和场来, 它具有某些特殊性质. 设有平面调和场 A=P(x,y)i+Q(x,y)j. 1) 由于 即

22 故存在势函数 v 满足 A  grad v, 即有 其中势函数 v 可用如下的积分来求出 2) 由于 div A=0, 即 将此与 (5.18) 式比较, 即可看出, 它表明以  Q 和 P 为坐标的矢量场 a  Qi+Pj 的旋度

23 因此矢量场 a 为有势场, 故存在函数 u 满足 a=grad u, 即有 函数 u 称为平面调和场 A 的力函数, 可用如下 的积分来求出 : 3) 比较 (5.19) 式与 (5.22) 式, 可得

24 这就是平面调和场的力函数 u 与势函数 v 之 间的关系式, 由它可以得到 这两个方程都是二维拉普拉斯方程. 因此 u 与 v 均为调和函数, 而它们有 (5.24) 的关系, 称为共轭调和函数, 并称 (5.24) 为其共轭调 和条件. 有这个条件就可以从一个求出另一 个.

25 例 7 已知调和函数 u=y 3  3x 2 y, 求其共轭调和 函数 v. 解 因 v y =u x  6xy, 故 其中函数  (x) 暂时是任意的, 为了确定它, 将 上式对 x 求导得 v x  3y 2 +  '(x), 又因 v x  u y  3y 2 +3x 2, 与前式比较, 知  '(x)=3x 2,  (x)=x 3 +C. 代入 (5.26) 式即得 v  3xy 2 +x 3 +C(C 为任意常数 ).

26 4) 力函数 u(x,y) 与势函数 v(x,y) 的等值线 u(x,y)=C 1 与 v(x,y)=C 2 (5.27) 相应地称为平面调和场的力线与等势线 ; 其 切线斜率依次为 由此可以看出, 在场中之任一点处, 力线的 切线方向与场中矢量 A=Pi+Qj 的方向一致, 因此力线就是场的矢量线 ; 又力线的切线斜 率与等势线的切线斜率恰成负倒数, 说明力 线与等势线是互相正交的.

27 例 8 位于坐标原点的电量为 q 的点电荷所产 生的平面静电场中, 电场强度为 容易证明, 除原点外, 电场强度 E 构成一个平 面调和场. 据此, 可依次计算出其势函数

28 和力函数 从而, 场的力线和等势线方程经化简可写为 这也就是电场的电力线和等位线方程 ; 如图 2-25 所示.

29 图 2-25 O x y 等位线 电力线

30 第三章 哈密顿算子 

31 哈密顿引进了一个矢性微分算子 : 称为哈密顿算子或  算子. 记号  可读作 " 那 勃勒 (Nabla)" 或 " 代尔 (del)",  算子本身并无 意义, 而是一种微分运算符号, 同时又被看 作是矢量. 就是说, 它在运算中具有矢量和 微分的双重性质. 其运算规则是 :

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34 由此可见, 数量场 u 的梯度与矢量场 A 的散度 和旋度正好可用  算子表示为 : grad u=  u, div A=  A, rot A=  A. 从而, 与此相关的一些公式, 也就可通过  算 子来表示.

35 此外, 为了在某些公式中使用方便, 还引进 如下一个数性微分算子 : 它既可作用在数性函数 u(M) 上, 又可作用在 矢性函数 B(M) 上, 如

36 应当注意 : 这里的 A  与上述的  A 是完全 不同的．

37 一些常用的公式, u 与 v 为数性函数, A 与 B 为 矢性函数, c 为常数, c 为常矢. (1)  (cu)=c  u, (2)  (cA)=c  A, (3)  (cA)=c  A, (4)  (u  v)=  u  v, (5)  (A  B)=  A  B, (6)  (A  B)=  A  B, (7)  (uc)=  u  c, (8)  (uc)=  u  c, (9)  (uv)=u  v+v  u,

38 (10)  (uA)=u  A+  u  A, (11)  (uA)=u  A+  u  A, (12)  (A  B)=A  (  B)+(A  )B+B  (  A) +(B  )A, (13)  (A  B)=B  (  A)  A  (  B), (14)  (A  B)=(B  )A  (A  )B  B(  A) +A(  B), (15)  (  u)=  2 u=  u(  u 为调和量 ), (16)  (  u)=0, (17)  (  A)=0,

39 (18)  (  A)=  (  A)  A ( 其中  A=  A x i+  A y j+  A z k), 在下面的公式中 r=xi+yj+zk, r=|r|, (22)  f(u)=f '(u)  u,

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41 第四章 梯度、散度、旋度与调和量在 正交曲线坐标系中的表示式

42 第一节 曲线坐标的概念

43 如果空间里的点的位置不是用直角坐标 (x,y,z) 来表示, 而是用另外三个有序数 (q 1,q 2,q 3 ) 来表示. 就是说, 每三个有序数 (q 1,q 2,q 3 ) 就确定一个空间点 ; 反之, 空间里的 每一点都对应着三个这样的有序数, 则称 (q 1,q 2,q 3 ) 为空间点的曲线坐标.

44 每个曲线坐标 (q 1,q 2,q 3 ) 都是空间点的单值函 数, 由于空间点又可用直角坐标 (x,y,z) 来确 定, 所以每个曲线坐标 (q 1,q 2,q 3 ) 也都是直角 坐标 (x,y,z) 的单值函数 : q 1 =q 1 (x,y,z),q 2 =q 2 (x,y,z),q 3 =q 3 (x,y,z). (1.1) 反过来, 每个直角坐标 (x,y,z) 也都是曲线坐 标 (q 1,q 2,q 3 ) 的单值函数 : x=x(q 1,q 2,q 3 ),y=y(q 1,q 2,q 3 ),z=z(q 1,q 2,q 3 ). (1.2)

45 三个方程 q 1 (x,y,z)=c 1,q 2 (x,y,z)=c 2,q 3 (x,y,z)=c 3 (1.3) ( 其中 c 1,c 2,c 3 为常数 ) 分别表示函数 q 1 (x,y,z), q 2 (x,y,z), q 3 (x,y,z) 的等值曲面 ; 给 c 1,c 2,c 3 以不 同的数值, 就得到三族等值曲面, 称为坐标曲 面. 由于 q 1 (x,y,z), q 2 (x,y,z), q 3 (x,y,z) 为单值函 数, 所以在空间的各点, 每族等值曲面都只 有一个曲面经过.

46 在坐标曲面之间, 两两相交而成的曲线, 称 为坐标曲线. 在由坐标曲面 q 2 (x,y,z)=c 2 与 q 3 (x,y,z)=c 3 相交而成的坐标曲线上, 因 q 2 与 q 3 分别保持 常数值 c 2 与 c 3, 只有 q 1 在变化, 所以称此曲线 为坐标曲线 q 1 或简称 q 1 曲线 ; 同理, 由 q 1 (x,y,z)=c 1 与 q 3 (x,y,z)=c 3 或 q 1 (x,y,z)=c 1 与 q 2 (x,y,z)=c 2 相交而成的坐标曲线顺次称为坐标曲线 q 2 与坐标曲线 q 3 或简称 q 2 曲线与 q 3 曲线.

47 图 4-1 M e1e1 e2e2 e3e3 q 1 =c 1 q 2 =c 2 q 3 =c 3 q 1 曲线 q 2 曲线 q 3 曲线 x y z O r

48 以后, 假定在空间里的每一点 M 处, 坐标曲 线都互相垂直正交 ( 即各坐标曲线在该点的 切线互相正交 ); 此时, 相应地各坐标曲面也 相互正交 ( 即各坐标曲面在相交点处的法线 互相正交 ). 这种坐标系, 称为正交曲线坐标 系.

49 用 e 1,e 2,e 3 依次表示坐标曲线 q 1,q 2,q 3 上的切 线单位矢量, 分别指向 q 1,q 2,q 3 增大的一方 ; 在 空间任一点 M 处, 它们的相互位置关系, 除 由上述知其彼此正交外, 还假定它们构成右 手坐标制.

50 在曲线坐标系中, 单位矢量 e 1,e 2,e 3 的方向, 是随点 M 的变化而变化的. 因此, 单位矢量 e 1,e 2,e 3 都是依赖于点 M 的矢性函数 ; 而普通 直角坐标系中沿坐标轴方向上的单位矢量 i,j,k 为常矢. 这是曲线坐标系与普通直角坐 标系的根本区别.

51 如图所示, 在 q 1 曲线上只有点的 q 1 坐标在变 化, 假设在两个相距特别近的点 a 和 b 之间, q 1 的坐标改变了 dq 1, 两个点的距离为 ds 1, 则 ds 1 比 dq 1 的比值称为拉梅系数, 记作 H 1, 同理有 q 1 曲线 a b ds1ds1

52 e 1,e 2,e 3 与 i,j,k 的关系如下表所示 : 表 一 ijk e1e1 11 11 11 e2e2 22 22 22 e3e3 33 33 33

53 即 表 一 ijk e1e1 11 11 11 e2e2 22 22 22 e3e3 33 33 33

54 和 表 一 ijk e1e1 11 11 11 e2e2 22 22 22 e3e3 33 33 33

55 在柱面坐标系中, 点 M 的直角坐标与柱面坐 标之间的关系为 : x=  cos , y=  sin , z=z(2.13) 在球面坐标系中, 点 M 的直角坐标与球面坐 标之间的关系为 : x=rsin  cos , y=rsin  sin , z=rcos . (2.14) 柱面和球面坐标系中的体积元素依次为 : dV=  d  d  dz,(2.18) dV=r 2 sin  drd  d .(2.19)

56 在柱面坐标系中, 矢量 e ,e ,e z 和矢量 i,j,k 的 关系表 : 表 二 ijk ee cos  sin  0 ee  sin  cos  0 ezez 001

57 在球面坐标系中, 矢量 e r,e ,e  和矢量 i,j,k 的 关系表 : 表 三 ijk erer sin  cos  sin  sin  cos  ee cos  cos  cos  sin  sin  ee  sin  cos  0

58 例 4 求矢量 A=yzi+xzj+2xyk 在柱面坐标系中 的表示式. 解 由 x=  cos  y=  sin  z=z, 及表二 i=cos  e   sin  e , j=sin  e  +cos  e , k=e z, 于是有 A=  zsin  (cos  e   sin  e  ) +  zcos  (sin  e  +cos  e  )+2  2 cos  sin  e z =  zsin2  e  +  zcos2  e  +  2 sin2  e z.

59 梯度、散度、旋度与调和量在柱面坐 标系和球面坐标系中的表示式

60 1, 在柱面坐标系中 :

61 或写为

62 2. 在球面坐标系中 :

63

64 或写为

65 作业 : 从 111 页开始 习题 8 第 9 题 每周交一次作业, 作业尽量写在纸上, 且写明 姓名和学号 每周答疑时间： 单周二上午头两节课 双周二上午四节课

66 习题 5 第 9 题的证明 证 : 在原点的点电荷 q 产生的电位移矢量, 由 书上 51 页例 3 可知为 其中 r=xi+yj+zk, 且 即

67

68 对于

69 对于

70 同理可得

71 最后得雅各比矩阵为 : 不难得到 rot D=0. 还有一种简单的证法背诵的公式较多, 如后

72 由 r=xi+yj+zk, 得 r 的雅各比行列式为 因此 div r=3, rot r=0, 由 65 页旋度公式 3): rot(uA)=urot A+grad u  A (u 为数性函数 ) 和 39 页梯度公式 grad f(u)=f '(u)grad u,

73 由 r=xi+yj+zk, rot r=0, grad r=r  (37 页 ) 由 65 页旋度公式 3): rot(uA)=urot A+grad u  A (u 为数性函数 ) 和 39 页梯度公式 grad f(u)=f '(u)grad u, 由