（导学教程） 2012 届高三二轮专 题复习课件：专题六第二讲 概率、 随机变量及其分布

第二讲 概率、随机变量及其分布

一、概率

二、离散型随机变量的分布列及数字特征 1 ．离散型随机变量的分布列 (1) 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x 1 ， x 2 ， … ， x i ， … ， x n ， X 取每一个值 x i (i ＝ 1,2 ， … ， n) 的概率为 P(X ＝ x i ) ＝ p i ，则称下表： Xx1x1 x2x2 … xixi … xnxn Pp1p1 p2p2 … pipi … pnpn 为离散型随机变量 X 的分布列．

(2) 分布列的性质 ① p i ≥0 ；② p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1. (3) 均值与方差 ①均值： E(X) ＝. ②方差： D(X) ＝. ③若 Y ＝ aX ＋ b 则 E(Y) ＝ ， D(Y) ＝ ． x1p1＋x2p2＋…＋xnpnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn (x 1 － E(X)) 2 p 1 ＋ … ＋ (x n － E(X)) 2 p n aE(X) ＋ b a2D(X)a2D(X)

n p n p n p(1-p)

(3) 正态分布 ①若 X 服从参数为 μ 和 σ 2 的正态分布，则 可表示为 ． ② N(μ ， σ 2 ) 的分布密度曲线关于直线 对称，该曲线与 x 轴所围成的图形的面积 为. X～N(μ，σ2)X～N(μ，σ2) x＝μx＝μ 1

答案 A

答案 C

答案 D

4 ． (2011 · 湖北 ) 如图，用 K 、 A 1 、 A 2 三类 不同的元件连接成一个系统．当 K 正常工作且 A 1 、 A 2 至少有一个正常工作时，系统正常工 作．已知 K 、 A 1 、 A 2 正常工作的概率依次为 0.9 、 0.8 、 0.8 ，则系统正常工作的概率为 A ． B ． C ． D ． 0.576

答案 B

高考对本节内容考查的重点是古典概型、 几何概型、互斥事件的概率、相互独立事件 的概率、二项分布以及离散型随机变量的分 布列、期望、方差等．题目常与实际生活相 联系，体现概率在实际应用中的地位与作 用．预计 2012 年高考对概率考查的难度不会 太大，一般为中等偏下．离散型随机变量的 分布列、均值和方差是解答题中考查的重点 内容，在复习中要给予重视．

古典概型

【答案】 B

有关古典概型的概率问题，关键是求出基 本事件总数和所求事件包含的基本事件数， 这一般要用到计数原理与排列组合的相关知 识，如本例中的难点就是求基本事件的总数， 一般解决的方法要先准确理解基本事件的构 成，即要求同一科目的书不相邻，然后根据 具体情况选择合适的方法计算．如本例中， 由于放在语文书中的物理书的位置不同，影 响数学书的排放，故要分类讨论，这也是很 常见方法之一．

(2011 · 湖南 ) 如图， EFGH 是以 O 为圆心、 半径为 1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机 地扔到该圆内，用 A 表示事件 “ 豆子落在正方 形 EFGH 内 ” ， B 表示事件 “ 豆子落在扇形 OHE( 阴影部分 ) 内 ” ，则 (1)P(A) ＝ ________ ； (2)P(B|A) ＝ ________. 几何概型

高考对几何概型的考查仅仅局限在几何概 型的意义，那就要知道几何概型的计算公 式．几何概型的试题往往以其他数学问题为 背景，在解答几何概型问题时，要从整个高 中数学的相关知识上考虑问题，如本例中的 条件概率，与之综合的常常还有线性规划、 定积分、几何体的体积求法等，解决的方法 最终是把问题转化到求一些线段长度的比值、 区域面积的比值和几何体的体积的比值上 去．

答案 D

(2011 · 大纲全国卷 ) 根据以往统计资料， 某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3. 设各车 主购买保险相互独立． (1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保 险中的 1 种的概率； (2) 求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、 乙两种保险都不购买的概率． 相互独立事件的概率

解决相互独立事件的概率问题要学会分析 事件之间的关系，一个实际问题中往往涉及 多个事件，正确理解这些事件之间的相互关 系是解决问题的核心，一般的思路是先把所 要解决的随机事件分解成若干个互斥事件的 和，再把这些互斥事件中的每一个事件分解 成若干相互独立事件的积，或利用所求事件 的对立事件解决问题．

在本例中，求该地 3 位车主中恰有 1 位车主 只购买甲保险， 1 位车主只购买乙保险，另一 位车主甲、乙两种保险都买的概率．

离散型随机变量的分布列、期望、方差

【解题切点】 (1) 利用二项分布的数学 期望公式计算期望值的大小，比较可得． (2) 列出甲在 A 区与 B 区所得分数，由互斥 事件的概率公式计算．

概率统计问题解法综述 1 ．求复杂事件的概率，要正确分析复杂 事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此 互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互 独立事件同时发生的积事件，然后用概率公 式求解． 2 ．一个复杂事件若正面情况比较多，反 面情况较少，则一般利用对立事件进行求 解．对于 “ 至少 ” ， “ 至多 ” 等问题往往用这种方 法求解．

3 ．求离散型随机变量的分布列的关键是 正确理解随机变量取每一个值所表示的具体 事件，然后综合应用各类求概率的公式，求 出概率． 4 ．求随机变量的均值和方差的关键是正 确求出随机变量的分布列，若随机变量服从 二项分布 ( 或两点分布 ) ，则可直接使用公式求 解．

3 ． (2011 · 重庆 ) 某市公租房的房源位于 A 、 B 、 C 三个片 区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中 任一个片区的房源是等可能的．求该市的任 4 位申请人中： (1) 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率； (2) 申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望．