1 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 讨论导数, 即讨论 的极限是否存在, 而不是 研究改变量本身. 实践中, 我们关心的是 : 当自变量 x 有微小改变量 Δx 时, 函数 y 相应的改变量 Δy 与 Δx 有何关系, 大小又如何？ 第五讲 函数的微分 先看一个实际例子 : 正方形的边长由 x 变到 x+Δx 时, 其面积改变多少？由 S = x 2 知 :

2 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 x xΔx } ΔxΔx 显然 ΔS 分成两部分 : 2xΔx 和 (Δx) 2. 而 2xΔx 是 Δx 的 线性函数, (Δx) 2 是当 Δx→0 时比 Δx 高阶的无穷小, 即 (Δx) 2 = o(Δx). 由此可见 : 当 Δx→0 时, (Δx) 2 比 2xΔx 小得多, 几乎 可忽略不计 ; 从而用 2xΔx 近似代替 ΔS. 几乎可忽 略不计 ; 从而用 2xΔx 近似代替 ΔS. 并且把 2xΔx 叫做 正方形面积 S = x 2 的微分. xΔx

3 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 其中 A 是不依赖于 Δx 的常数. 则称 ƒ(x) 在点 x 处可微 ; 称 Δy 的线性 ( 当 A ≠ 0 时称为线性主要 ) 部分 AΔx 为函数 y = ƒ(x) 在点 x 处的微分. 记为 定理. 函数 y = ƒ(x) 在点 x 处可微的充要条件是 y = ƒ(x) 在 点 x 处可导, 且 A = f′(x), 从而有 dy = f′(x)Δx 定义 3.3. 设函数 y =ƒ(x) 在 x 的某邻域内有定义, 且当自 变量有增量 Δx 时, 如果函数的增量 Δy 可表为 Δy = AΔx + o(Δx) d y = dƒ = AΔx 问题 : y = ƒ(x) 在什么条件下才可微呢？ A 与 ƒ(x) 有何关 系呢？ 一. 微分的概念

4 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 结论 1 函数的可微性与可导性等价. 即可微必可导, 可导必可微.

5 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 结论 2 若 y =ƒ(x) = x, 则 结论 3 求函数的微分, 可先求出函数的导数, 再乘以 dx 便可得函数的微分. 求导数与求微分的方法都叫做微 分法. 从而 y =ƒ(x) 的微分又可记为 例 1. 求函数 y = 3arctan x (1) 在 x 处的微分 ; (2) Δ x = 0.01 时的微分 ; (3) 当 x 由 2 变到 2.01 时的微分. 解

6 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 例 2. 求函数 的微分. 解

7 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 } 曲线 y = ƒ(x) 在点 M 的横坐标 x 有一个 改变量 Δx 时, MN = dx, PN = Δy, ox y y =ƒ(x) } K (x,y)M (x+Δx, y+Δy) P x x+Δx dy N ΔyΔy { ›α›α ›α›α 二. 微分的几何意义 当 |Δx| 很小时, |Δy – dy |=PK 比 |Δx| 小得多. 故当 |Δx|→0 时, 可 “ 以直 代曲 ”—— 总可以用切线段 MK 去代 替曲线弧 MP, 用 NK = dy 去近似代替 NP =Δy. NK = MN tan α 则相应的微分 dy 就是曲线过点 M 的切线的纵坐标的相应增量.

8 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 需要强调的一点是 : 根据函数增量与微分的关系可用微 分来作近似计算. 即 注 由导数与微分的关系知, 有一个导数公式就有一个 相应的微分公式. 三. 基本初等函数的微分公式和求微分法则 见 P 例 3 求下列函数的微分 dy （ 1 ）、 （ 2 ）、 y=sin(2x+3) （ 4 ）、 （ 3 ）、

9 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 解：（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）两边同时求微分 ：

10 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 例 4. 求. 例 5 求下列各式的近似值 （ 1 ）、 （ 2 ）、 （ 3 ）、 （ 4 ）、 arctan1.02 解：（ 1 ）令 由 有

11 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 （2）（2） 令 由 有 （ 3 ）把 化为弧度，得 令 由 有

12 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 （ 4 ）令 由 有 注. 在公式 中，取 有 用此公式我们可以得到在工程上常用的几个近似公式： 当 非常微小时 （ x 用弧度作单位来表示） （ x 用弧度作单位来表示）

13 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 返回后页后页下页上页首页 例 6 求证 证明：设 取 则 且|且| x|=|x|<<1 有 得证 由 如