2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用
1 微分的定义 定义 设函数 在点 处可导，则 叫作 在点 处的微分，记作 即 此时，也称函数 在点 处可微 例 1 求函数 当 时的增量及微分微分 解 函数的增量为 函数在点 处的微分为 所以当 时有 时有
由上面的结果可以看出 误差 是 微分的几何意义 P T N M ） 的纵坐标对应于 的增量. 函数在点 处的切线 的微分就是曲线 在点
3. 微分公式与微分运算法则 （ I ）. 微分的基本公式
（ 2 ）微分的运算法则 设函数 都可微，则
例 3 求函数 的微分 解 另解 所以
（ 3 ）复合函数的微分 设函数 均可微，则复合函 数 也可微，其微分为 由于 ，所以上式又可写成 这表明，不论 是自变量还是中间变量， 函数 的微分形式 保持不变，这一性质称为一阶微分形式不 变性
例 4 求函数 的微分 解 利用微分形式不变性，有 而 ，所以 另解 所以
三微分在近似计算中的应用 对于一元函数 当 很小时， 有近似计算公式 可用他来计算计算函数增量的近似值 又 则公式又可写成 即 可用这公式来计算函数在某一点附近的函 数值的近似值
例 5 （书 例 7 ）半径为 15cm 的金属球，遇热后 半径伸长了 2mm ，求球的体积约增大了多少？ 解 球的体积公式为 所以 将 代入上式，得体 积近似增大了 课外练习