理论力学 有心运动和二体问题

有心运动和二体问题 有心力和有心运动 距离平方反比引力作用下的质点运动 圆轨道的稳定性 距离平方反比的斥力作用 ——  粒子的散射 二体问题 任意幂有心力问题的计算 * 埃农 - 海力斯势问题 * √

有心力和有心运动 (1/4) 有心力 开普勒与行星运动 有心力：作用于运动质点的力的作用线总是通过空间某一 固定点，这样的力称为有心力或辏力 力心：有心力对应的固定点，指向力心的称为引力，背向 力心的称为斥力 有心运动：有心力作用下质点的运动称为有心运动 基本特性 有心力对于力心的力矩为零 ，有心力是保守力 √

有心力和有心运动 (2/4) 质点的动量矩守恒：质点在运动过程中对力心 ( 坐标原点 ) 的动量矩守恒 有心运动是平面运动：运动轨道是平面曲线，平面确定于 初始位矢和初始速度 质点的机械能守恒 有心力是保守力，势能是 总机械能是 √

有心力和有心运动 (3/4) 运动方程 ( 极坐标系 ) 质点的动量矩 ( 角动量 ) 守恒 微分运动方程 机械能守恒方程 √

有心力和有心运动 (4/4) 轨道微分方程 两种方法求轨道曲线方程 求解运动方程  轨道参数方程  消去时间参量  轨道微分方程  轨道曲线方程 —— 比内公式 令 √

距离平方反比引力 ……(1/5) 轨道 万有引力、静电力的形式 轨道微分方程 轨道运动方程 圆锥曲线方程：力心在曲线的焦点， e 是偏心率， p 是正焦 弦长的一半；如椭圆 ( e  1 ) 、抛物线 ( e  1 ) 和双曲线 ( e  1 ) √

距离平方反比引力 ……(2/5) 轨道的特性 近日点：轨道上质点离力心最近的点 远日点：轨道上质点离力心最远的点 例：椭圆轨道的近日点和远日点分别为 机械能 ( 总机械能守恒  计算近日点的机械能 ) √

距离平方反比引力 ……(3/5) 质点轨道的类型 椭圆 ：质点没有足够的能量达到无穷远 地球和行星围绕太阳的运动，电子绕原子核的运动 抛物线 ：质点能量恰好可以使其脱离力心的束 缚，达到无穷远 彗星的轨道，发射宇宙飞船 双曲线 ：质点具有充分的能量脱离力心的吸引 后继续运动 彗星的轨道 椭圆轨道的特性 半长轴 偏心率 √

距离平方反比引力 ……(4/5) 例： ( 见书 例 2.1) 解：对于万有引力， ，对比 可知， 利用 卫星在圆轨道 1 的能量 卫星在圆轨道 2 的能量 √

距离平方反比引力 ……(5/5) 卫星在圆轨道 1 和椭圆切点的能量 卫星在圆轨道 2 和椭圆切点的能量 速度的增加值 √

圆轨道的稳定性 (1/1) 有心引力作用下的圆轨道的稳定性 有心力 机械能守恒方程 稳定条件 设引力的大小与距离成 n 次幂关系 例：万有引力 静电力 √

距离平方成反比斥力 ……(1/3)  粒子的散射过程  粒子：氦原子核，电荷 q   2e 靶： 原子序数为 Z 的原子 ( 核 ) 过程：  粒子以速度 v 射向靶原子时，受到靶原子核的 库仑斥力作用而发生散射 散射轨道，散射角 轨道微分方程 轨道运动方程 √

距离平方成反比斥力 ……(2/3) 散射角 质点的瞄准距离 ( 碰撞参数 ) 总机械能 轨道渐近线的夹角 散射角：反比于速率平方和瞄准距离，正比于电荷 √

距离平方成反比斥力 ……(3/3) 散射截面，卢瑟福散射公式 一束流强 ( 通过单位面积的粒子数 ) 为 n 的  粒子流，各个 粒子以相同的速度射向靶 散射截面，卢瑟福散射公式 瞄准距离为 ，通过 面积为 的环面，散射 角在 之间的粒子数 为 散射截面定义如下，表示单位粒子流在 之间 的散射粒子数 微分散射截面 √

二体问题 (1/2) 太阳和行星的运动 在宇宙中选定一个固定参考系 太阳的位矢和质量分别是 和 行星的位矢和质量分别是 和 太阳和行星的运动方程 质心运动 ( 是质心的位矢 ) 内部运动 ( 称折合质量或约化质量 ) √

二体问题 (2/2) 以质心为惯性参考系的原点 太阳的位矢是 行星的位矢是 太阳和行星的运动轨道 是椭圆轨道  和 也是椭圆轨道 太阳和行星运动的特点 太阳和行星分别位于质心的两边，在同一直线上，并在同 一平面内分别绕质心作椭圆运动 两体系统的质心作匀速直线运动 √

任意幂有心力问题的计算 * (1/4) 任意幂有心力的一般形式： 除了 n   2 外，相应的运动微分方程大多没有解析解 研究的一般方法是数值计算 与距离成任意幂的引力 ( 令 m  1 ) 运动微分方程： 初始条件： 运动轨道的例子，进动，拱点，拱角 √

任意幂有心力问题的计算 * (2/4) 微小扰动对轨道的影响 例：人造卫星围绕地球转动，还受到地球大气以及其它星体 的万有引力作用 摄动：一个物体绕另一个物体按两体问题的规律运动时，还 受到其它物体的吸引或者其它因素的影响，而在轨道 上产生的偏差。一般假设为 √

任意幂有心力问题的计算 * (3/4) 特点 扰动的强度  a  越大，轨道进动的角速度越大 扰动力 n  0 时，轨道进动方向与质点运动方向一致； 扰动力 n  0 时，轨道进动方向与质点运动方向相反 宇宙尘的万有引力作用：假设密度为  宇宙尘均匀分布在 球形空间内 广义相对论：在巨大物体周围质点受到的引力定律的修正 ( 水星近日点进动 ) 太阳系中周围星体的影响：太阳系中的行星受其它行星的 扰动力与距离的 4 次幂成反比 √

任意幂有心力问题的计算 * (4/4) 相轨迹和庞加莱面 ( 以二维平面运动为例 ) 相空间： → 相轨迹是四维曲线 机械能守恒定律和角动量守恒定律确定一个中空二维环面 相轨迹分布在中空二维环面内部 庞加莱面：相空间中的一个二维平面， 该平面与相轨迹交截，并记录交截点在 平面上的位置 交截点：有限个 / 无穷个 交截点数  相轨迹在环面内的匝数 √

埃农 - 海力斯势问题 * (1/1) 埃农 - 海力斯势 ( 不是有心力 ) 简化的星体势模型 二维谐振势 + 三角对称势 庞加莱面和运动轨道 ( 非线性力学系统 ) ：有序 → 混沌 √

思考题 什么是有心力和有心运动 写出有心运动的三个基本特征 写出有心运动的运动方程和机械能守恒方程 写出有心运动的轨道微分方程 ( 即比内公式 ) 写出距离平方反比引力作用下的质点运动方程 什么是椭圆轨道的近日点和远日点 ( 及其表达式 ) 什么是圆轨道的稳定性条件 什么是散射、散射轨道、散射角和瞄准距离 什么是散射截面、微分散射截面 ( 及其表达式 ) √

参考书 / 作业 参考：《理论力学教程》第一章 作业： 2.4 ， 2.8 ， 2.13 ， 2.16