第二章 导数与微分 项目三 高阶导数 项目二 函数的求导方法 项目一 导数的概念 模块一 导数

项目一 导数的概念 一、 导数的定义 二、 可导与连续的关系 三、 基本初等函数的导数

项目一 导数的概念 一 、导数的定义 设动点 M 作变速直线运动，其经过的路程是时间 的函数，即, 求它在时刻 的瞬时速度。 引例 1 物体在变速直线运动中某时刻的瞬时 速度问题。 假定在某一瞬时, 动点 M 的位置是 ，而经过极短的时间间隔 后，即在瞬时时间为

动点的位置到达 ，于是动点 M 在时 间间隔 内所走过的路程 是： 动点 M 在这段时间内的平均速度 为 由于时间间隔 较短，它可以大致说明动点 M 在时刻 的速度，且时间间隔 取得越小，这段时 间内的平均速度愈接近时刻 的瞬时速度。若令 趋于零，则极限值

精确地反映了动点在时刻 的瞬时速度.

图 如图 ，当 时 Q 点沿着曲线趋向于 P 点。 这时，割线 PQ 将绕 P 点 转动并转化为直线 PT. 直线 PT 叫做曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线 。 设 ， 为曲线 y = f ( x ) 上的两 点. 引例 2 函数曲线在点 的切线的斜率.

必然转化为切线的斜率 tanα. 即 若设割线 PQ 和切线 PT 的倾角分别为 β 和 α ，则当 x  0 时，割线ＰＱ的斜率

导数的定义：设函数 y = f ( x ) 在点 的某 个邻域内有定义  当自变量 x 在 处取得增量 ( 点 仍在该邻域内 ) 时  相应地函数 y 取 得增量 如果 与 之比当 时的极限存在  则称 函数 y = f ( x ) 在点 处可导  并称这个极限为函数 y = f ( x ) 在点 处的导数  即

也可记为 :, ， 或

 如果极限不存在  就说函数 y = f ( x ) 在点 处不可导  如果函数 y = f ( x ) 在开区间（ a, b ）内的每点处都可导  就称函数 f ( x ) 在开区间（ a, b ）内可导  这时  对于任 一 x  （ a, b ）  都对应着 f ( x ) 的一个确定的导数值  这 样就构成了一个新的函数  这个函数叫做原来函数 函数 f ( x ) 在点 处可导有时也说成 f ( x ) 在点 具有 导数或导数存在 

y = f ( x ) 的导函数  简称导数。 记作   ， ， 或 其中 

例 1 求函数 f ( x )= C （ C 为常数）的导数  解： 即 （2）（2） 例 2 已知函数 ， 求 解 （ 1 ）

（3）（3） 例 3 求函数 的导数. 解 给 一个增量, 对应的函数增量

函数 y = f ( x ) 在点 处的导数 f ( ) 在几何上表 示曲线 y= ( x ) 在点 处的切线的斜率  由直线 的点斜式方程  可知曲线 y = f ( x ) 在点 处的切 线方程为 于是，得

如果 y ＝ f ( x ) 在点 处的导数为无穷大  这时 曲线 y = f ( x ) 的割线以垂直于 x 轴的直线 为 极限位置  即曲线 y = f ( x ) 在点 处具有垂直 于 x 轴的切线 过切点 且与切线垂直的直线叫做曲线 y = f ( x ) 在点 P 处的法线。如果  0  法线的斜率为 从而法线方程为

因为法线的斜率为 -4  故法线方程为 例 4 求曲线 的通过点 (4  2) 处的切 线方程和法线方程。 即 即 x  4 y +4  0  解 由例 2 可知， ，即切线的斜率为 于是所求切线的方程为

法线方程为 例 5 求曲线 的通过点 (2  8) 处的切线 方程和法线方程。 即 解 根据导数的几何意义, 在点 (2  8) 处的切线 斜率为 则切线方程为 即

例如 函数 在区间 (- , +  ) 内连续  但在 点 x =0 处不可导  这是因为函数在点 x =0 处导数为无 穷大 二、 可导与连续的关系 函数 处可导，则函数在该点必连 续  另一方面  一个函数在某点连续却不一定在该点处 可导 

图 x

解 例 6 讨论函数 在 x=0 处不可导 在 x=0 处的连续性和可导性 不存在

(1) ( C )  0  （ C 为常数） 三、 基本初等函数的导数 公式与法则 1. 基本初等函数的导数 (3) (2) (9) (10) (4) (5) (6) (7) (8)

(11) (12) (13) (14) (15) (16)

2. 求导法则 如果函数 u  u ( x ) 及 v  v ( x ) 在点 x 具有导数  可以得到下列求导法则： 法则 1 ( u  v )  u  v  法则 2 ( uv )  uv  uv  法则 3

例 7 求 y 解： 例 8  求 f ( x ) 及 

例 9 y  (sin x  cos x )  求 y   ( sin x  cos x )  [ (sin x )+ （ cos x ) ] 解： y  ( )(sin x  cos x )  (sin x  cos x ) ＝ ( sin x  cos x )  ( cosx-sinx)  2 cos x  例 10 求 y  解：

项目二 函数的求导方法 一、 复合函数的导数 二、 隐函数的导数 三、 对数求导法

如果 u  g ( x ) 在点 x 可导  函数 y  f ( u ) 在点 u  g ( x ) 可导  则复合函数 y  f [ g ( x )] 在点 x 可导  且其导数为 解 : 函数 由 复合而成. 一、 复合函数的导数 或 例1例1 因此

对复合函数的导数比较熟练后  就不必再写出中 间变量． 例 2 y =lncos x ， 求 解 例 3 求 解

解 例 4 ，求 例 5 解

如果在方程 F ( x  y )  0 中  当 x 取某区间内的任一 值时  相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在  那 例如  方程 确定的隐函数为 二、 隐函数的导数 显函数  形如 y  f ( x ) 的函数称为显函数  例如 y =sin x  y  ln x  cosx  隐函数  由方程 F ( x  y )  0 所确定的函数称为隐函数 

么就说方程 F ( x  y )  0 在该区间内确定了一个隐函数  把一个隐函数化成显函数  叫做隐函数的显化  隐 函数的显化有时是有困难的  甚至是不可能的，例如 等等，但在实际问题中  有时需要计算隐函数的导数  因此  我们希望有一种方法  不管隐函数能否显化  都 能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 

引例 1 求由方程 所确定的隐 函数的导数 解 设由方程所确定的函数为 对上式两端求导，得 则原方程化为 解得

得 所以 为了简便起见，将解题过程改为： 解出 ，得隐函数的导数为： 解 方程 两端对 x 求导（记住 y 是 x 的函数），得 当 时，由原方程得

例 6. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解 : 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即

例 7 求由方程 所确定的隐函数的导数 解： 首先，方程两边同时对 求导，注意到 是 的 函数，于是有 所以得

例 8 求由方程 所确定的隐函数的二阶导 数. 解： 首先，方程两边同时对 求导，注意到 是 的 函数，得 所以得 上式两边继续对 求导，得

三、 对数求导法 这种方法是先在 y  f ( x ) 的两边取对数  然后再求出 y 的导数  设 y  f ( x )  两边取对数  得 ln y  ln f ( x )  两边对 x 求导  得 对数求导法适用于求幂指函数 的 导数及多因子之积和商的导数 

上式两边对 x 求导  得 例 9 求 ( x >0) 的导数  解 两边取对数  得 于是 ln y  sin x  ln x 

例 10 求函数 的导数  上式两边对 x 求导  得 解 先在两边取对数 ( 假定 x>4 ), 得 于是

 也就是说，物体运动的加速度 a 是路程 s 对时间 t 的 二阶导数. 即  项目三 高阶导数

高阶导数的定义 即 y  ( y )  f  ( x )  [ f ( x )]  类似地  二阶导数的导数  叫做三阶导数  三阶 相应地  把 y  f ( x ) 的导数 f ( x ) 叫做函数 y  f ( x ) 的一阶导数  一般地  函数 y  f ( x ) 的导数 y  f ( x ) 仍然是 x 的函 数  我们把 y  f ( x ) 的导数叫做函数 y  f ( x ) 的二阶导数  记作 y  、 f  ( x ) 或

函数 f ( x ) 具有 n 阶导数  也常说成函数 f ( x ) 为 n 阶 可导  y 称为一阶导数， 都称为高阶导数. 导数的导数叫做四阶导数     一般地  (n  1) 阶导数 的导数叫做 n 阶导数  分别记作 或 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 

例 1 求下列函数的二阶导数： （ 1 ） y = ax  b  （ 2 ） 解 （ 1 ） y  a  y  0  （2）（2） 例 2 设 解

例 3 验证函 满足关系式 证 因为 ， 所以 例 4 设函数 解方程两边关于 x 求导, 得

例 5 求幂函数 ( a 是任意常数 ) 的 n 阶导数公式  两边再关于 x 求导，得 将 y 代入上式，得 解

例 6 求对数函数 y=ln(1  x ) 的 n 阶导数 解 y  ln(1  x )   一般地  可得 即 当 a  n 时  得到 而

一般地  可得 即 例 7 已知物体的运动规律为 s=Asin （  t+φ ） (A 、  、 φ 是常数 ) ，求物体运动的速度和加速度. 解 速度为 加速度为

例 8. 设 求 解:解: 一般地, 类似可证 :

引例 2 一块正方形金属薄片受温度变化的影响  其 边长由  问此薄片的面积改变了多少？ 模块二 微分 图 金属薄片的面积改变量为 设此正方形的边长为 x  面积为 y  则 y 是 x 的函数 

这个结论对一般可导函数也是成立的。 数学意义  当 x  0 时  是比 高阶的无穷小  即 ， 是 的线性函数  是 的主要部分  可以近似地代替 

其中 由此又有 在 的条件下  由于  如果 f ( x ) 在点 可导  即 存在  根据极限与无穷小的关系  上式可写成

由此可知， 是与 同阶的无穷小，并 且是 的一次函数，  是比 较高阶的无穷 小，当 很小时可以忽略不计。所以，称 是 的线性主部，可以将它作为 的近似值, 即 微分的定义 设函数 y  f ( x ) 在点 处可导，则称 为函数 y  f ( x ) 在点 的微分，记作 dy, 即

记作 dy  f ( x ) 或 df(x)  f ( x ) 一般地，函数 y  f ( x ) 在点 x 处的微分称为函数的微分， 由定义可知，函数可微与可导是等价的。 对于特殊的函数 y  x 来说，它的导数为 1 ，从而 有 dx= 。因此，我们规定自变量的微分等于自变量 的增量。于是函数的微分可以写成

例 9 求函数 当 x  2   时的微分  例 10 求函数 的微分 解 先求函数在任意点 x 的微分 再求函数当 x  2   时的微分 =2  2  0.01=0.04  解 因为 所以

因此 ( C 为任意常数 )  解 (1) 因为 所以 一般地, 有 (C 为任意常数 )  (2) 因为  所以 例 11 在括号中填入适当的函数  使等式成立   即

微分的运算法则 1 函数的和、差、积、商的微分法则 2 复合函数的微分法则（一阶微分形式不变性） 的微分为

由于 所以复合函数 的微分公式也可写成 可见，不论 是自变量，还是中间变量， 的微分总可写成 的形式，这种性质称为一 阶微分形式不变性. 例 12 已知, 求 先对 求导，得 于是 解：（法 1 ）

法2法2 利用一阶微分的形式不变形 利用微分计算函数增量的近似值 由前面的讨论可知, 公式 （当 较小时）成立并很有实用价值.

例 13 有一批半径为 1cm 的球  为了提高球面的光洁 度  要镀上一层铜  厚度定为 0  01cm  估计每只球 需用铜多少 g ( 铜的密度是 8. 9g/cm 3)? 解 已知球体体积为   1cm    0. 01cm  镀层的体积为 于是镀每只球需用的铜约为  0.13  8. 9  1. 16(g)  =4   12   0.13(cm3) 

即 sin 30  30   例 14 利用微分计算 sin 30  30 的近似值  解 因为 30  30 所以 sin 30  30

(5)ln(1  x )  x  (1)  常用的近似公式（假定 | x | 是较小的数值）  ( 2)sin x  x ( x 用弧度作单位来表达 )  ( 3)tan x  x ( x 用弧度作单位来表达 )  (4)  ( 6) arctan x  x

例 15 计算 的近似值  解 已知  故 直接开方的结果是 :