数学归纳法及其应用举例

数学归纳法及其应用举例 教学内容 地位作用 重点难点 数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册 ( 选修 II) 第二章第一节的内容， 根据教学大纲，本节共 3 课时，这是第 1 课时, 主要内容是数学归纳法理解与 简单应用． 数学归纳法学习是数列知识的深入与 扩展, 也是一种重要的数学方法, 可以使 学生学会一种研究数学的科学方法． 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法 产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．

数学归纳法及其应用举例 知识准备 能力储备 学生情况 学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的． 学生经过中学五年的数学学习，已具 有一定的推理能力，数学思维也逐步 向理性层次跃进，并逐步形成了辨证 思维体系．但学生自主探究问题的能 力普遍还不够理想． 我所在的学校是省属重点中学，所教 的班级是平行班，学生基础还不错.

数学归纳法及其应用举例 知识与技能 过程与方法 情感态度价值观 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自然 数有关的命题．培养学生观察, 分析, 论证 的能力, 发展抽象思维能力和创新能 力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识 和数学交流的能力． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思 考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣 和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想． 让学生领悟数学思想和辩证唯物主 义观点；体会研究数学问题的一 种方法, 激发学生的学习热情，使 学生初步形成做数学的意识和科 学精神．

数学归纳法及其应用举例 教学方法 学法指导 教学手段 类比启发探究式教学方法进行教学 在教学过程中，我不仅要传授学生课 本知识，还要培养学生主动观察、主 动思考、亲自动手、自我发现等学习 能力，增强学生的综合素质，从而达 到较为理想的教学终极目标． 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 材, 真正辅助课堂教学.

数学归纳法及其应用举例 第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 创设问题情境，启动学生思维 ; 回顾数学旧知，追溯归纳意识 ; 借助数学史料, 促使学生思辨. 搜索生活实例，激发学习兴趣 ; 类比数学问题, 激起思维浪花 ; 引导学生概括, 形成科学方法. 蕴含猜想证明, 培养研究意识 ; 基础反馈练习, 巩固方法应用 ; 师生共同小结, 完成概括提升 ; 布置课后作业, 巩固延伸铺垫. 教学设计三条线 : 1. 知识线 ; 2. 思想方法线 ; 3. 逻辑思维线.

第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段创设问题情境，启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出 “ 四就是四横、五就是五横 ……” 的结论，用的就是 “ 归纳法 ” ，不过，这个归纳推出的结论显然是 错误的． (2) 完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人 筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先 给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了 几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁 的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大 徒弟聪明．

第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段回顾数学旧知，追溯归纳意识 (1) 不完全归纳法实例 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例 证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况．

第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段 借助数学史料, 促使学生思辨 问题 1 已知 = (n ∈ N * ), (1) 分别求,,,. (2) 由此你能得到一个什么结论 ? 这个结论正确吗 ? 问题 2 费马（ Fermat ）是 17 世纪法国著名的数学家，他曾认为， 当 n ∈ N 时， 一定都是质数，这是他对 n ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 作 了验证后得到的．后来， 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（ Euler ） 却证明了 ＝ ＝ ×641 ，从而否定了 费马的推测．没想到当 n ＝ 5 这一结论便不成立． 问题 3, 当 n ∈ N 时，是否都为质数？ 验证： f （ 0 ）＝ 41 ， f （ 1 ）＝ 43 ， f （ 2 ）＝ 47 ， f （ 3 ）＝ 53 ， f （ 4 ） ＝ 61 ， f （ 5 ）＝ 71 ， f （ 6 ）＝ 83 ， f （ 7 ）＝ 97 ， f （ 8 ）＝ 113 ， f （ 9 ）＝ 131 ， f （ 10 ）＝ 151 ， … ， f （ 39 ）＝ ． 但是 f （ 40 ）＝ ＝ ，是合数．

第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段搜索生活实例，激发学习兴趣 多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．

第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 类比数学问题, 激起思维浪花 (1) 当 n ＝ 1 时等式成立； (2) 假设当 n ＝ k 时等式成立, 即 a k =a 1 +(k － 1)d, 则 a k+1 =a k +d=a 1 +[(k+1)-1]d, 即 n ＝ k ＋ 1 时等式也 成立． 于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式 a n =a 1 +(n － 1)d 对任何 n ∈ N* 都成立． 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式.

第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 引导学生概括, 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (2) 假设当 n ＝ k (k ∈ N*, k≥n 0 ) 时结论正确, 证明当 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开 始的所有正整数 n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． (1) 证明当 n 取第一个值 n = n 0 时结论正确 ;

第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 蕴含猜想证明, 培养研究意识 例题 在数列 {}中,}中, ＝ 1, (n ∈ ), 先计算 ，， 的值，再推测通项 的公式, 最后证明你的结论．

第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 基础反馈练习, 巩固方法应用 （ 1 ）（第 63 页例 1 ）用数学归纳法证明： 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋（ 2n － 1 ）＝ n 2. （ 2 ）（第 64 页练习 3 ）首项是 a 1, 公比是 q 的 等比数列的通项公式是 a n =a 1 q n － 1.

第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归 纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而 不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完 全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推 ( 递归 ) 思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可 少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．

第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 布置课后作业, 巩固延伸铺垫 (1) 课本第 64 页练习第 1, 2 题；第 67 页习题 2.1 第 2 题． (2) ( 辨析与思考 ) 用数学归纳法证明 … +2 n －１ = 2 n － 1 (n ∈ N*) 时, 其中第二步采用下面的证法： 设 n ＝ k 时等式成立, 即 …+2 k － 1 =2 k － 1, 则 当 n ＝ k ＋ 1 时,, 即 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立．

数学归纳法及其应用举例 2.1 数学归纳法及其应用举例 2.1 数学归纳法及其应用举例 问题 1 例题 ( 猜想, 证明过程的板书 ) 问题 2 问题 3 练习 1 练习 2 数学归纳法定义 ( 练习请两位同学上黑板板演 ) 证明步骤 :(1) (2)