等比数列前 n 项和 等比数列前 n 项和 数列
国际象棋的棋盘上共有 8 行 8 列, 构成 64 个 格子. 国际象棋起源于古代印度, 关于国际象 棋有这样一个传说 ……传说 问题引入 :
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者 —— 宰相西萨 · 班 · 达依尔。于是，这位宰相跪在国王 面前说： 陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有 64 格的麦粒，都赏给您的仆 人吧！ 数学小故事
国王说： “ 简单！来人, 快办。 ” 然而, 过几天, 手下急匆匆跑 来, 不好啦, 不好啦 ! 你猜怎么了 ? 第 1 格： 第 2 格： 第 4 格： 第 3 格： 第 63 格： 第 64 格： 1 2 ……
问题 1 ：你知道西萨要多少粒小麦吗？ 问题 2 ：你能求出上式的结果吗？你将使 用什么样的方法？ 问题探究
由于每个格子里的麦粒数都是前一 个格子里的麦粒数的 2 倍, 且共有 64 个格 子, 各个格子里的麦粒数依次是 于是西萨要求的麦粒总数就是 问题探究
法 1 ：观察类比 S 1 =1 ＝ S 2 =1+2=3 ＝ S 3 = =7 ＝ S 4 = =15 ＝ 依此类推， S 64 =2 64 － 1
法 2: 错位相减法 这实际上是求 1 为首项， 2 为公比的等比数列的前 64 项的和。 ＝ 18,446,744,073,709,551,615 这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小 麦的总和！这么多小麦沿地球表面可铺 3 厘米厚，能从 地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全 世界一年粮食产量的 459 倍，古印度国王显然无法满足 西萨的要求。 ?
法 1 ：类比归纳 S 1 =a 1 S 2 =a 1 +a 2 =a 1 +a 1 q=a 1 (1+q) S 3 =a 1 +a 2 +a 3 =a 1 +a 1 q+a 1 q 2 =a 1 (1+q+q 2 ) …… S n =a 1 +a 2 +…+a n =a 1 (1+q+q 2 +…+q n-1 ) 当 q≠1 时, 当 q=1 时, S n =na 1
一般地，设有等比数列： 它的前 n 项和是： (1) 的两边乘以 q 由定义 (1)-(2) 整理 错位相减法
等比数列的前 n 项和公式 练习：根据下列各题中的条件，求相应的等比数列的前 n 项和。 (1) 和 各已知三个可求第四个。 注意选择适 当的公式， 简化运算。
例 1 ： (1) 已知等比数列 中, 求 。 (2) 求等比数列 的前 10 项的和。 解题思路 : (1) 小题中直接用公式 (2) 小题先求出公比 q, 再用公式求
例 2 、某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨，如果平均每年的产量比上 一年增加 10% ，那么从第 1 年起，约几年可以使总产量达到 30 万吨？（保留到个位， ） 分析：由题意，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从 第 1 年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列 的前 n 项和。 解：设每年的产量组成一个等比数列，其中 答：约 5 年内可以使总产量达到 30 万吨。 两边取对数，得 ……
课堂检测 : 3 ．等比数列 { a n } 的公比 q = ， a 8 =1 ，求它的前 8 项和 S 8 。 1. 在正项等比数列 { a n } 中，若 S 2 =7, S 6 =91, 则 S 4 的值为（ ） （ A ） 28 （ B ） 32 （ C ） 35 （ D ） 49 2 ．一个等比数列共有 3 n 项，其前 n 项之积为 A ，次 n 项之积为 B ，末 n 项之积为 C ， 则一定有（ ） （ A ） A + B = C （ B ） A + C =2 B （ C ） AB = C （ D ） AC = B 2 4 ．等比数列 {a n } 中， a 1 = 2 ， S 3 =26, 则 q = 5 ． 1 － 2 ＋ 4 ＋ … ＋ ( － 2) n-1 =
小 结 本节课你学习 到了新知道识， 要努力哦！ 错位相减 2. 一个方法： 3. 一个数学思想： 分类讨论 1. 一个公式：
作业 : 习题 1—3 A 组 10 ， B 组 2 作 业作 业