1 第 3 章 函数逼近与曲线拟合. 2 3.1 函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 : 1 、数值计算中经常要计算函数值,如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数; 2 、当函数只在有限点集上给定函数值,要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式. 问题 这些都涉及到在区间.

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1 第 3 章 函数逼近与曲线拟合

2 3.1 函数逼近的基本概念 函数逼近与函数空间 : 1 、数值计算中经常要计算函数值,如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数; 2 、当函数只在有限点集上给定函数值,要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式. 问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂 函数的问题, 这就是函数逼近问题.

3 记作 , 本章讨论的函数逼近,是指 “ 对函数类 中给定的函数 中求函数 , 使 与 的误差在某种度量 插值法就是函数逼近问题的一种. 要在另一类简单的便于计算的函数类 意义下最小 ”. 函数类 通常是区间 上的连续函数,记作 , 称为连续函数空间.

4 与数的乘法构成实数域上的线性空间, 函数类 通常为 次多项式,有理函数或分段低次多项 式等. 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 例如将所有实 维向量组成的集合,按向量加法及向量 称为 维 记作 , 赋予集合以某种空间结构,并将这样的集合称为空间. 向量空间.

5 按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间. 类似地, 记 为具有 阶连续导数的函数空间. 所有定义在 上的连续函数集合,按函数加法和 记作. 数与函数乘法构成数域 上的线性空间, 用 表示, 上一个线性空间, 对次数不超过 ( 为正整数 ) 的实系数多项式全体,

6 定义 1 设集合 是数域 上的线性空间,元素 如果存在不全为零的数 , ( 1.1 ) 则称 线性相关. 否则,若等式 (1.1) 只对 成立, 则称 线性无关. 使得

7 如果 中有无限个线性无关元素 则称 系数 称为 在基 并称空间 为 维空间, 若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的, 即对  都有 则 称为空间 的一组基, 记为 下的坐标,记作 为无限维线性空间.

8 ( 1.2 ) 它由 个系数 唯一确定. 考察次数不超过 次的多项式集合 , 它是 的一组基, 是线性无关的, 且 是 的坐标向量, 是 维的. 表示为 其元素 故

9 使误差 对连续函数 ,它不能用有限个线性无关的 函数表示,故 是无限维的,但它的任一元素 均可用有限维的 逼近, ( 为任给的小正数 ) , 这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.

10 总存在一 使 定理 1 设 , 则对任何 , 个代数多项式 , 在 上一致成立. 伯恩斯坦 1912 年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式 ( 1.3 )

11 为二项式展开系数,并证明了 在 上一致成立; 若 在 上 阶导数连续,则 其中 这个结果不但证明了定理 1 ,而且由 (1.3) 给出了 的一个逼近多项式.

12 与拉格朗日插值多项式 相似, 对 , 当 时也有关系式 ( 1.4 ) 这只要在恒等式 中令 就可得到.

13 但这里当 时, 是有界的, 因而只要 对任意 成立, 有界, 故 是稳定的. 虽然多项式 有良好的逼近性质,但它收敛太慢, 还有 于是 则 比三次样条逼近效果差得多,所以实际中很少被使用.

14 更一般地,可用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 , 可表示为 ( 1.5 ) 函数逼近问题就是对任何 , 找一个元素 , 使 在某种意义下最小. 此时元素 在子空间 Φ 中

范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量,需要引进范数 定义,它是 空间中向量长度概念的直接推广.

16 定义 2 设 为线性空间, , ( 1 ) 当且仅当 时, (正定性) ( 2 ) ( 齐次性 ) ( 3 ) ( 三角不等式 ) 则称‖ · ‖为线性空间 上的范数, 与‖ · ‖一起称为赋范 线性空间,记为 ‖·‖,‖·‖, 满足条件: 若存在唯一实数

17 例如,在 上的向量 三种常 用范数为 称为 范数或最大范数, 称为 1- 范数, 称为 2- 范数.

18 而满足‖ · ‖ 1 =1 的向量 则为对角线长 度为 1 的菱形. 实际上任何向量的实值函数,只要满足上述三个条件, 就可以定义成一种向量范数. 在 中,满足‖ · ‖ 2 =1 ,即 的向量 为单位圆, 满足‖ · ‖ ∞ =1 ,即 的向量为单位正 方形,

19 所以说,范数是对向量长度的度量,度量方式不同, 结果也不一样,但不同范数之间是存在等价关系的.

20 类似地,对连续函数空间 ,若 称为 范数, 称为 1- 范数, 称为 2- 范数. 可以验证这样定义的范数均满足定义 2 中的三个条件. 可定义三种常用范数如下:

内积与内积空间 在线性代数中, 中两个向量 及 的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ,则有下面的定义.

22 定义 3 有 K 中一个数与之对应,记为 ,它满足 则称 为 X 上 与 的内积. X 是数域 K ( R 或 C ) 上的线性空间,对 以下条件:

23 定义中( 1 )的右端 称为 的共轭, 当 K 为实数域 R 时. 如果 ,则称 与 正交,这是向量相互垂 直概念的推广. 定义了内积的线性空间称为内积空间.

24 定理 2 对 有 ( 1.6 ) 称为柯西 - 施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式. 证明 当 时( 1.6 )式显然成立. 现设 , 则 , 且对任何数 有 取 , 设 X 为一个内积空间, 代入上式右端,得

25 即得 时

26 定理 3 ( 1.7 ) 称为格拉姆 (Gram) 矩阵, 则 非奇异的充分必要条件是 线性无关. 设 X 为一个内积空间, 矩阵

27 证明 G 非奇异等价于 ,其充要条件是齐次 只有零解; ( 1.9 ) 方程组 ( 1.8 ) 而

28 从以上等价关系知, 而后者等价于从( 1.9 )推出 即 线性无关. 在内积空间 X 上,可以由内积导出一种范数,即对于 ( 1.10 ) 等价于从( 1.8 )推出 记

29 两端开方即得三角不等式 ( 1.11 ) 利用

30 例 1 与 的内积. 设 ( 1.12 ) 向量 2- 范数为

31 相应的范数为 ( 1.13 ) 若给定实数 称 为权系数, 当 时, 上的加权内积为 ( 1.13 )就是前面定义的内积.

32 如果 , ( 1.14 ) 这里 仍为正实数序列, 为 的共轭. 在 上也可以类似定义带权内积. 带权内积定义为

33 定义 4 设 是有限或无限区间,在 上的非负 函数 满足条件: ( 1 ) 存在且为有限值 ( 2 ) 对 上的非负连续函数 ,如果 则称 为 上的一个权函数. 则

34 例 2 设 是 上给定的权函数 ( 1.15 ) 由此内积导出的范数为 称( 1.15 )和( 1.16 )为带权 的内积和范数. 上的内积. 则可定义内积 ( 1.16 )

35 常用的是 的情形,即

36 若 是 中的线性无关函数族, ( 1.17 ) 根据定理 3 可知 线性无关的充要条件是 它的格拉姆矩阵为 记

正交多项式 正交函数族与正交多项式 定义 5 若 ( 2.1 ) 则称 与 在 上带权 正交. 上的权函数且满足 为

38 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族. 若 ,则称之为标准正交函数族. ( 2.2 )

39 满足关系式 (2.2) , 三角函数族 就是在区间 上的正交函数族. 定义 6 设 是 上首项系数 的 次多 项式, 为 上权函数, 则称多项式序列 为在 上 带权 正交,称 为 上带权 的 次正交多项式. 如果多项式序列

40 ( 2.3 ) 只要给定区间 及权函数 ,均可由一族线性 无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造 出正交多项式序列 :

41 ( 1 ) 是具有最高次项系数为 1 的 次多项式. ( 2 ) 任何 次多项式 均可表示为 ( 3 ) 当 时, 与任一次数小于 的多项式正交. 得到的正交多项式序列有以下性质: 的线性组合. 且

42 其中 这里 ( 2.4 ) ( 4 ) 成立递推关系

43 ( 5 ) 设 是在 上带权 的正交多项式 序列,则 的 个根都是在区间 内的单重 实根.

勒让德多项式 当区间为 ,权函数 时, 并用 表示. 罗德利克 (Rodrigul )给出了简单的表达式 ( 2.5 ) 正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre) 多项式, 由

45 由于 是 次多项式, 所以对其求 阶导数后得 最高项系数为 1 的勒让德多项式为 ( 2.6 ) 于是得首项 的系数

46 勒让德多项式重要性质: 性质 1 ( 2.7 ) 证明 令 , 设 是在区间 上 阶连续可微的函数,由分部 积分知 正交性 则

47 下面分两种情况讨论 : ( 1 ) 若 是次数小于 的多项式, 则 故得

48 则 ( 2 ) 若 于是

49 由于 故

50 性质 2 ( 2.8 ) 由于 是偶次多项式,经过偶次求导仍为 偶次多项式,经过奇次求导则为奇次多项式,故 为偶数时 为偶函数, 为奇数时 为奇函数,于是( 2.8 )成 立. 奇偶性

51 性质 3 考虑 次多项式 两边乘 并从 -1 到 1 积分, 当 时, 次数小于等于 , 递推关系 它可表示为 得 故得 为0,为0, 上式左端积分

52 当 时, 其中 左端积分仍为 0 , 故 于是 为奇函数,

53 由 从而得到以下的递推公式 ( 2.9 ) 利用上述递推公式就可推出

54 图3-1图3-1 图 3-1 给出了 的图形.

55 在区间 内有 个不同的实零点. 性质 4

切比雪夫多项式 当权函数 ,区间为 时,由序 列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev) 多项式. 它可表示为 ( 2.10 ) 若令 , 则

57 性质 5 切比雪夫多项式有很多重要性质: 这只要在三角恒等式 中, 令 即得. 递推关系 ( 2.11 )

58 由( 2.11 )可推出 的函数图形见图 3-2.

59 图 3-2 由递推关系( 2.11 )还可得到 的最高次项系数是

60 性质 6 切比雪夫多项式 在区间 上带权 ( 2.12 ) 令 , 则 , 正交,且 于是

61 可以用 的线性组合表示 , 性质 8 在区间 上有 个零点 性质 7 只含 的偶次幂, 只含 的奇次幂. 这个性质由递推关系直接得到. 其公式为

62 时的结果如下: ( 2.13 ) 这里规定

63

其他常用的正交多项式 区间 及权函数 不同,则得到的正交多项式也 不同. 除上述两种最重要的正交多项式外,下面是三种较常 用的正交多项式. 1. 第二类切比雪夫多项式 在区间 上带权 的正交多项式 称为第二类切比雪夫多项式.

65 表达式为 ( 2.14 ) 令 , 即 是 上带权 的正交多项式族. 可得

66 递推关系

67 2. 拉盖尔多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为拉 盖尔 (Laguerre) 多项式. 其表达式为 ( 2.15 ) 正交性质

68 递推关系

69 表达式 ( 2.16 ) 正交关系 在区间 上带权 的正交多项式称 为埃尔米特多项式. 3. 埃尔米特多项式

70 递推关系