1 第 3 章 函数逼近与曲线拟合

2 3.1 函数逼近的基本概念 函数逼近与函数空间 ： 1 、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数； 2 、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式. 问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂 函数的问题， 这就是函数逼近问题.

3 记作 ， 本章讨论的函数逼近，是指 “ 对函数类 中给定的函数 中求函数 ， 使 与 的误差在某种度量 插值法就是函数逼近问题的一种. 要在另一类简单的便于计算的函数类 意义下最小 ”. 函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ， 称为连续函数空间.

4 与数的乘法构成实数域上的线性空间， 函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项 式等. 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 例如将所有实 维向量组成的集合，按向量加法及向量 称为 维 记作 ， 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间. 向量空间.

5 按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间. 类似地, 记 为具有 阶连续导数的函数空间. 所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 记作. 数与函数乘法构成数域 上的线性空间， 用 表示， 上一个线性空间， 对次数不超过 ( 为正整数 ) 的实系数多项式全体，

6 定义 1 设集合 是数域 上的线性空间，元素 如果存在不全为零的数 ， （ 1.1 ） 则称 线性相关. 否则，若等式 (1.1) 只对 成立， 则称 线性无关. 使得

7 如果 中有无限个线性无关元素 则称 系数 称为 在基 并称空间 为 维空间， 若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的， 即对  都有 则 称为空间 的一组基， 记为 下的坐标，记作 为无限维线性空间.

8 （ 1.2 ） 它由 个系数 唯一确定. 考察次数不超过 次的多项式集合 ， 它是 的一组基， 是线性无关的， 且 是 的坐标向量， 是 维的. 表示为 其元素 故

9 使误差 对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 均可用有限维的 逼近， ( 为任给的小正数 ) ， 这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.

10 总存在一 使 定理 1 设 ， 则对任何 ， 个代数多项式 ， 在 上一致成立. 伯恩斯坦 1912 年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式 （ 1.3 ）

11 为二项式展开系数，并证明了 在 上一致成立； 若 在 上 阶导数连续，则 其中 这个结果不但证明了定理 1 ，而且由 (1.3) 给出了 的一个逼近多项式.

12 与拉格朗日插值多项式 相似， 对 ， 当 时也有关系式 （ 1.4 ） 这只要在恒等式 中令 就可得到.

13 但这里当 时, 是有界的， 因而只要 对任意 成立， 有界， 故 是稳定的. 虽然多项式 有良好的逼近性质，但它收敛太慢， 还有 于是 则 比三次样条逼近效果差得多，所以实际中很少被使用.

14 更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 ， 可表示为 （ 1.5 ） 函数逼近问题就是对任何 ， 找一个元素 ， 使 在某种意义下最小. 此时元素 在子空间 Φ 中

范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广.

16 定义 2 设 为线性空间， ， （ 1 ） 当且仅当 时， （正定性） （ 2 ） ( 齐次性 ) （ 3 ） ( 三角不等式 ) 则称‖ · ‖为线性空间 上的范数， 与‖ · ‖一起称为赋范 线性空间，记为 ‖·‖，‖·‖， 满足条件： 若存在唯一实数

17 例如，在 上的向量 三种常 用范数为 称为 范数或最大范数， 称为 1- 范数， 称为 2- 范数.

18 而满足‖ · ‖ 1 =1 的向量 则为对角线长 度为 1 的菱形. 实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件， 就可以定义成一种向量范数. 在 中，满足‖ · ‖ 2 =1 ，即 的向量 为单位圆， 满足‖ · ‖ ∞ =1 ，即 的向量为单位正 方形，

19 所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同， 结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.

20 类似地，对连续函数空间 ，若 称为 范数， 称为 1- 范数， 称为 2- 范数. 可以验证这样定义的范数均满足定义 2 中的三个条件. 可定义三种常用范数如下：

内积与内积空间 在线性代数中， 中两个向量 及 的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义.

22 定义 3 有 K 中一个数与之对应，记为 ，它满足 则称 为 X 上 与 的内积. X 是数域 K ( R 或 C ) 上的线性空间，对 以下条件：

23 定义中（ 1 ）的右端 称为 的共轭， 当 K 为实数域 R 时. 如果 ，则称 与 正交，这是向量相互垂 直概念的推广. 定义了内积的线性空间称为内积空间.

24 定理 2 对 有 （ 1.6 ） 称为柯西 - 施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式. 证明 当 时（ 1.6 ）式显然成立. 现设 ， 则 ， 且对任何数 有 取 ， 设 X 为一个内积空间， 代入上式右端，得

25 即得 时

26 定理 3 （ 1.7 ） 称为格拉姆 (Gram) 矩阵， 则 非奇异的充分必要条件是 线性无关. 设 X 为一个内积空间， 矩阵

27 证明 G 非奇异等价于 ，其充要条件是齐次 只有零解； （ 1.9 ） 方程组 （ 1.8 ） 而

28 从以上等价关系知， 而后者等价于从（ 1.9 ）推出 即 线性无关. 在内积空间 X 上，可以由内积导出一种范数，即对于 （ 1.10 ） 等价于从（ 1.8 ）推出 记

29 两端开方即得三角不等式 （ 1.11 ） 利用

30 例 1 与 的内积. 设 （ 1.12 ） 向量 2- 范数为

31 相应的范数为 （ 1.13 ） 若给定实数 称 为权系数， 当 时， 上的加权内积为 （ 1.13 ）就是前面定义的内积.

32 如果 ， （ 1.14 ） 这里 仍为正实数序列， 为 的共轭. 在 上也可以类似定义带权内积. 带权内积定义为

33 定义 4 设 是有限或无限区间，在 上的非负 函数 满足条件： （ 1 ） 存在且为有限值 （ 2 ） 对 上的非负连续函数 ，如果 则称 为 上的一个权函数. 则

34 例 2 设 是 上给定的权函数 （ 1.15 ） 由此内积导出的范数为 称（ 1.15 ）和（ 1.16 ）为带权 的内积和范数. 上的内积. 则可定义内积 （ 1.16 ）

35 常用的是 的情形，即

36 若 是 中的线性无关函数族， （ 1.17 ） 根据定理 3 可知 线性无关的充要条件是 它的格拉姆矩阵为 记

正交多项式 正交函数族与正交多项式 定义 5 若 （ 2.1 ） 则称 与 在 上带权 正交. 上的权函数且满足 为

38 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族. 若 ，则称之为标准正交函数族. （ 2.2 ）

39 满足关系式 (2.2) ， 三角函数族 就是在区间 上的正交函数族. 定义 6 设 是 上首项系数 的 次多 项式， 为 上权函数， 则称多项式序列 为在 上 带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式. 如果多项式序列

40 （ 2.3 ） 只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性 无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造 出正交多项式序列 ：

41 （ 1 ） 是具有最高次项系数为 1 的 次多项式. （ 2 ） 任何 次多项式 均可表示为 （ 3 ） 当 时， 与任一次数小于 的多项式正交. 得到的正交多项式序列有以下性质： 的线性组合. 且

42 其中 这里 （ 2.4 ） （ 4 ） 成立递推关系

43 （ 5 ） 设 是在 上带权 的正交多项式 序列，则 的 个根都是在区间 内的单重 实根.

勒让德多项式 当区间为 ，权函数 时， 并用 表示. 罗德利克 (Rodrigul ）给出了简单的表达式 （ 2.5 ） 正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre) 多项式， 由

45 由于 是 次多项式， 所以对其求 阶导数后得 最高项系数为 1 的勒让德多项式为 （ 2.6 ） 于是得首项 的系数

46 勒让德多项式重要性质： 性质 1 （ 2.7 ） 证明 令 ， 设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部 积分知 正交性 则

47 下面分两种情况讨论 : （ 1 ） 若 是次数小于 的多项式， 则 故得

48 则 （ 2 ） 若 于是

49 由于 故

50 性质 2 （ 2.8 ） 由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为 偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数， 为奇数时 为奇函数，于是（ 2.8 ）成 立. 奇偶性

51 性质 3 考虑 次多项式 两边乘 并从 -1 到 1 积分， 当 时， 次数小于等于 ， 递推关系 它可表示为 得 故得 为0，为0， 上式左端积分

52 当 时， 其中 左端积分仍为 0 ， 故 于是 为奇函数，

53 由 从而得到以下的递推公式 （ 2.9 ） 利用上述递推公式就可推出

54 图3-1图3-1 图 3-1 给出了 的图形.

55 在区间 内有 个不同的实零点. 性质 4

切比雪夫多项式 当权函数 ，区间为 时，由序 列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev) 多项式. 它可表示为 （ 2.10 ） 若令 ， 则

57 性质 5 切比雪夫多项式有很多重要性质： 这只要在三角恒等式 中， 令 即得. 递推关系 （ 2.11 ）

58 由（ 2.11 ）可推出 的函数图形见图 3-2.

59 图 3-2 由递推关系（ 2.11 ）还可得到 的最高次项系数是

60 性质 6 切比雪夫多项式 在区间 上带权 （ 2.12 ） 令 ， 则 ， 正交，且 于是

61 可以用 的线性组合表示 ， 性质 8 在区间 上有 个零点 性质 7 只含 的偶次幂， 只含 的奇次幂. 这个性质由递推关系直接得到. 其公式为

62 时的结果如下： （ 2.13 ） 这里规定

63

其他常用的正交多项式 区间 及权函数 不同，则得到的正交多项式也 不同. 除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常 用的正交多项式. 1. 第二类切比雪夫多项式 在区间 上带权 的正交多项式 称为第二类切比雪夫多项式.

65 表达式为 （ 2.14 ） 令 ， 即 是 上带权 的正交多项式族. 可得

66 递推关系

67 2. 拉盖尔多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为拉 盖尔 (Laguerre) 多项式. 其表达式为 （ 2.15 ） 正交性质

68 递推关系

69 表达式 （ 2.16 ） 正交关系 在区间 上带权 的正交多项式称 为埃尔米特多项式. 3. 埃尔米特多项式

70 递推关系