第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性 3.5 随机变量的函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布 【内容提要】 1．二维随机变量的联合分布，边缘分布，条件分布的计算； 第三章 多维随机变量及其分布 【内容提要】 1．二维随机变量的联合分布，边缘分布，条件分布的计算； 2．二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数的性质 及它们的关系； 3．利用二维离散型随机变量的分布律求随机事件发生的概 率，利用二维连续型随机变量的概率密度函数求指定事 件发生的概率； 4．两个随机变量独立性的讨论； 5．二维随机变量的函数的分布：和分布、商分布和最大、 最小分布等函数分布。

【基本要求】 1．熟练掌握二维随机变量的联合分布，并能利用联合分布 求出边缘分布和条件分布，熟练运用联合分布律或者概 率密度函数求随机事件发生的概率； 2．掌握离散型随机变量的分布律的性质、二维连续型随机 变量的联合密度函数和分布函数的性质以及它们的关系； 3．熟悉二维均匀分布、指数分布，了解二维正态分布； 4．理解两个随机变量相互独立的概念，会判断两个随机变 量是否相互独立和根据独立性作有关计算； 5．了解求二维随机变量的函数的分布的一般方法，熟悉二 维随机变量的和分布、最大或最小分布。

教学难点： 1．条件分布； 2．求分布函数或计算概率时积分的应用； 3. 随机变量的函数的分布。 【重点难点】 重点： 1．二维随机变量的联合分布，边缘分布； 2．利用二维随机变量的联合分布计算随机事件的概率； 3．随机变量的独立性的判断和利用独立性进行有关计算； 难点： 1．求二维离散型随机变量的联合分布律； 2．求二维连续型随机变量的分布函数和利用联合概率密 度函数计算概率时二重积分的应用；

3.1 二维随机变量 3．条件分布的理解； 4．二维连续型随机变量的和等函数的分布。 【课件内容】 3.1.1 二维随机变量的定义和性质 3.1 二维随机变量 3.1.1 二维随机变量的定义和性质 在许多实际问题中，随机试验的结果需要同时用两个或两个 以上的随机变量来描述，例如： 考察某城市某年7月的气候，需要用到平均气温和降雨量； 考察学生的身体素质，包括身高和体重等； 描述飞机飞行的位置要用三个坐标。

定义3-1 设 是定义在样本空间 上的两个随机变量，称 向量 为二维随机变量或二维随机向量。 对于二维随机变量 ，需要对其整体作研究，又需要对 其中的单个向量进行研究。 定义3-2 对于任意的实数 ，称函数 为 的联合分布函数或者称其为 的分布函数。 如果将随机变量 的每一对取值看成是平面上的点，

表示落在平面上以 为顶点的左下方无穷区域 内的概率（图3-1）。 分布函数的性质 （1） （2） 是关于 的单调不减的函数； （3）

（4） 是关于 的右连续函数，即 （5）

3.1.2 二维离散型随机变量 定义3-3 如果二维随机变量 的可能取值 只有有 限对或无限可列时，则称 是二维离散型随机变量。称 为 的联合分布律或者称其为 的分布律。 显然有下面两式成立（构成分布律的充要条件） (1) (2)

二维随机变量的联合分布律还可以用下面的二维表格 （表3-1）直观表示 表3-1 离散型联合分布律表 的联合分布函数 ，就是对一切满 足 的i和满足 的j 对应的 来求和。

离散型随机变量的分布用分布律要方便，特别是多维随机 变量，其分布函数相当复杂，一般来说不要求掌握，只要会求 某个点处的分布函数值即可（一切满足 的i和满足 的j对应的 的和，可以从表格上直观地划出此范围）。 如果 和 都是离散型的随机变量，那么 也为离散 型随机变量。 例3-1 箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里 任取一件产品，共取两次。如下定义随机变量 和 ：

分别就放回抽样和不放回抽样两种情况求出的分布律 解 1）放回抽样 2）不放回抽样

列表如下 表3-2 放回抽样的联合分布律 表3-3 不放回抽样的联合分布律

3.1.2 二维连续型随机变量 定义3-4 如果二维随机变量 的分布函数为 ， 若存在非负函数 使得 则称 为二维连续型随机变量，称 为 的联合 概率密度函数。 (1)

(2) (3) 其中G是xoy面上的区域 (4) 当 在 点连续时， 定义3-5 设G是xoy面上的有界区域，面积为A，如果 的概率密度为 称 服从G上的（二维）均匀分布。

如果 的概率密度为 其中 为常数，且 ， 则称 服从二维正态分布。 例3-2 设 的分布函数为

试求 1）常系数 ； 2） 的概率密度 解：1）由分布函数的性质可知 联立上面三式可得 即

2）（X，Y）的概率密度为 例3-3 设 的概率密度为 1) 求常数C； 2) 求分布函数 3) 求 落在 概率（* ） 例3-3图

解：1）根据性质 2） 3）

利用二维随机变量的密度求概率时，关键要确定积分区域。 积分区域应由密度函数和给定的平面区域G共同确定。 特别是密度为分段函数时候，每一个积分式子的积分域是 该式中被积函数对应范围与G的公共部分。本例中，被积函数 为　　时，积分域为：　　　与 　　　　公共部分。　

自测题 3.1.1 1. 10个产品中含有2件次品，从中依次随机抽取2件作不放回 抽样。定义随机变量： 求 的联合分布律。 求 的联合分布律。 然后再从中任取一个。用 分别表示第一第二次取得球 2. 袋子中有标号为1，2，2的三个球，从中任取一个不放回， 的号码，求 的联合分布律。

3. 设二维连续型随机变量 的概率密度为： 求： 4. 已知二维连续型随机变量 的概率密度为 求：

自测题 3.1.2 1. 盒子中有10个球，其中红球2个，白球5个，黄球3个，从中 依次取球两次作不放回抽样。定义随机变量： 求　　 的联合分布律。 2. 设二维随机变量 的概率密度为 求： (1) 常数A； (2)

3. 设二维随机变量 的概率密度为 求： (1) 常数A； (2) 联合分布函数 ； (3)

3.2 边缘分布 二维随机变量 的两个分量 和 都是随机变量， 自然有它们自身的概率分布。 二维随机变量 的两个分量 和 都是随机变量， 自然有它们自身的概率分布。 定义3-6 二维随机变量 关于两个分量 或 的概率分 布分别称为 关于 或关于 的边缘分布。 记作 ， 。由于事件 就是事件 ， 设 的联合分布函数为 ，将 和 的边缘分布函数 已知 的联合分布时，可以确定它的两个边缘分布。 所以有 同理

3.2.1 离散型随机变量的边缘分布 设二维离散型随机变量　　　的联合分布律为 那么关于　和 的边缘分布律为 记 根据联合分布律的二维表格（表3-1）， 实际上是对行求和， 而 就是对列求和。 关于 和 的边缘分布函数为

例3-4 将两封信随机投入编号分别为1，2，3的3个信箱，用和 例3-4 将两封信随机投入编号分别为1，2，3的3个信箱，用和 分别表示投入1，2号信箱的信件数目，求 和 的联合 分布律及边缘分布律。 解： 和 的可能取值都是0，1，2，根古典概型计算 表3-4 联合分布与边缘分布(例3-4)

3.2.2 连续型随机变量的边缘分布 设　　　的概率密度为 ，那么 和 的边缘分布函数为 可见， 和 是连续型随机变量。由分布函数可得 和 边缘概 率密度

例3-5 设 在区域 内服从均匀分布， 求 和 边缘密度函数。 例3-5图 解 ：由于 ，联合密度为 关于 的边缘密度为

关于　的边缘密度为 虽然 在区域D内服从均匀分布，但它的两个分量 和 都不服从均匀分布。 无论是联合分布还是边缘分布，都要注意积分变量的范围， 特别是分段函数中不同表达式作为被积函数时要正确选取积分 变量的范围。

自测题 3.2.1 1. 已知二维离散型随机变量 的联合分布律 求 边缘分布律及概率 。 1. 已知二维离散型随机变量 的联合分布律 求 边缘分布律及概率 。 2. 袋子中有标号为1，2，3的三个球，从中任取一个不放回， 然后再从中任取一个。用 分别表示第一第二次取得球 的号码，求 的联合分布律及边缘分布律。

3. 设二维随机变量 服从矩形区域 上的均匀分布， ，求： (1) 的联合密度函数； (2) 的边缘密度函数。 4. 设二维随机变量 的概率密度为 其中： 由 ， ， 围成，求 的边缘密度。

自测题 3.2.2 1. 完成下面的表格： 2. 如果随机变量在1，2，3，4这4个整数中随机取值，另一随 机变量在 中随机取值，试求 的联合分布律和边 缘分布律。

3. 设二维随机变量 ，其中 ， 求 联合分布和边缘分布。 4. 设二维随机变量 的概率密度为 试求： (1) 随机变量 的边缘密度 ； (2) 概率 。

3.3 条件分布 3.3.1 离散型随机变量的条件分布 定义3-7设二维离散型随机变量 的联合分布律为 ，且 ， 那么分 别称 3.3 条件分布 3.3.1 离散型随机变量的条件分布 定义3-7设二维离散型随机变量 的联合分布律为 ，且 ， 那么分 别称 为在 的条件下 的分布和在 的条件下 的分布。

例3-6 设 是例题3-4中的二维随机变量，求在 条件 例3-6 设 是例题3-4中的二维随机变量，求在 条件 下的分布律。 解：由于 表3-4 联合分布与边缘分布(例3-4) 所以所求分布律为

3.3.2 连续型随机变量的条件分布 定义3-8 设二维连续型随机变量 的联合概率密度为 ，边缘密度分别为 与 ，定义 为在 的条件下的 条件分布函数，记作 ，其密 度函数为 类似地定义在 的条件下的 条件分布函数及其密度函数

求：1） 2） 例3-7 已知 的密度函数为 解：先求 的边缘密度 再求条件密度 1)

2) 例3-8 设 在 上取值，当观察到 时， 在 上随机取值，求 的概率密度。 解：根据题意， 的密度为

在 条件下的密度 因此 的密度为

自测题3.3.1 1. 设 的联合分布律为： 求：在 的条件下 的分布律。 2. 二维随机变量 的概率密度为 求条件概率密度 和 。

3. 二维随机变量 的概率密度为 求条件概率密度 。

自测题3.3.2 1. 二维离散型随机变量 的联合分布律 且有 。求常数 和 。 2. 设随机变量 ， 当观察到 时，随机变量 。求：

(3) 概率 。 (1) 联合密度函数 ； (2) 边缘密度 ； (3) 条件概率密度 。 3. 二维随机变量 的概率密度为 求： (1) 确定常数 ； (2) 求出随机变量 的边缘密度；

3.4 随机变量的独立性 如果事件相互独立，概率的计算就会更简单。 定义3-9 设 的分布函数为 ，其边缘分布函数为 和 ，如果 ，有 即 定义3-9 设 的分布函数为 ，其边缘分布函数为 和 ，如果 ，有 即 则称 与 是相互独立的。 定理 离散型随机变量 与 相互独立的充要条件是 连续型随机变量 与 相互独立的充要条件是

例3-9 设二维离散型随机变量 的联合分布律如表3-5所 示，问当 和 取何值时， 与 相互独立？ 解： 与 相互独立 容易验证 ， 时， 都有 成立， 即 与 相互独立。

例3-10 经理到达办公室的时间均匀分布在上午 ， 其秘书到达办公室的时间均匀分布在上午 。 假设他们到达的时间相互独立，求他们到达时刻相差 不超过5分钟的概率。 解:设 与 分别表示经理和秘书到 达的时刻，则 即有

到达时刻相差不超过5分钟的概率为 例3-11 设 在圆域 上服均匀分布， 证明 与 不独立。 证明： 由于 ，即

从而 同理 因此 即 与 不独立。

个随机变量是独立的。 在实际应用中，判断 与 是否独立，通常会根据问题的 实际意义来分析。如果一个随机变量的取值和另一个随机变量 的取值互不影响，或者影响很小，可以忽略不计，就认为这两 如果 与 是独立， 是连续函数，那么 与 独立。 ，其边缘分布函数为 ， 定义3-10 设n维随机变量 的联合分布函数为， 如果对于任意的实数，有 则称 是相互独立的。

定理 离散随机变量 相互独立的充分必要条件是 对于任意的一组可能值 都有 连续随机变量 相互独立的充分必要条件是对于任 意的实数都有

自测题 3.4.1 1. 有两个盒子，甲盒装有2个白球3个红球，乙盒装有3个白球 2个红球，现随机地从两个盒子中各取球一个，用 分别表示从甲、乙两个盒子中取到红球，用 分 别表示从甲、乙两个盒子中取到白球， 求 的联合分布律。 2. 甲乙二人各自独立地进行射击，每人射击2次。假设甲每次 射击的命中率为0.2，乙每次射击的命中率为0.5，用 分别表示甲乙命中的次数，试求 的联合分布律。 3. 设随机变量 相互独立且都服从区间 上的均匀分布， 求 的联合分布。

4. 设 的概率密度为 (1) 求 和 ； (2) 问是否独立？

自测题 3.4.2 1. 已知离散型随机变量 的分布律为： 且 ， 试求： 的联合分布，并判断 与 是否独立？ 2. 设 的联合密度为 1. 已知离散型随机变量 的分布律为： 且 ， 试求： 的联合分布，并判断 与 是否独立？ 2. 设 的联合密度为 求： 的边缘密度，并判断 与 是否独立？

3. 设随机变量 与 独立，且 ， 的概率密度 求： (1) 的联合密度； (2) 关于 的二次方程 有实根的概率。

3.5 随机变量的函数的分布 在上一章里，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，其 基本方法可以用来讨论两个随机变量 与 的函数 基本方法可以用来讨论两个随机变量 与 的函数 在上一章里，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，其 的分布。 下面我们分二维离散型和连续型随机变量两种情形 来讨论。 3.5.1 离散型 设 是一个二元函数， 是二维离散型随机变量， 那么 是一维离散型随机变量，根据 的联合分 布律

可以求出 的分布律 即：使 取同一个值 的 对应的概率之和为 的概率。 例3-12 已知 的分布律为 表3-6 (例3-12) 试求：（1） （2） （3） 的分布律。

解：先将 的分布律用下表列出，并且列出 ， 和 的可能取值

再求使 取相同值的 对应的概率相加得到 的分布律 同理可得 和 的分布律

例3-13 设随机变量 与 相互独立，它们的分布律为 试求 的分布律。 解： 一般地，离散型随机变量的问题用分布律，而连续型随机 变量的问题多半用概率密度.

3.5.2 连续型 设 是连续函数， 是二维连续型随机变量， 那么 是一维连续型随机变量，根据 的联合概 率密度 可以求出 的分布函数 将分布函数 对自变量 求导得到概率密度 下面具体讨论两种函数的分布。

3.5.2.1 和分布 根据 的联合概率密度 求 的概率密度。 先求 的分布函数 积分区域是一个半平面（如图3-6），把上面的积分化为 二次积分

计算得到的函数是 的分布函数，将分布函数 对自 变量 求导得到 的概率密度 。这样求出概率密度称为分 布函数法。 如果对上式中的积分作变量替换 得到 再将上式对自变量求导得到的概率密度表达式 由于 与 对称，概率密度也可以写成表达式

如果 与 独立， ，概率密度的表达式是 这两个式子称为卷积公式。 例3-14 设随机变量 与 独立，且 与 的概率密度分别为 求： 的概率密度。 解：当 时， ，此时 ，可用分布 函数法或卷积公式求其密度，而当 时， 。

下面用两种方法求 时的概率密度。 方法一 卷积公式 分 和 讨论（图3-7）。 当 时， 当 时，

因此， 方法二 分布函数法 当时 ，直线 位于直线 下方

当时 ，直线 位于直线 上方 将分布函数　 　对 求导得到概率密度

例3-15 设随机变量 与 独立，且 与 都服从正态分布。 其中 试证明 证明 ： 由卷积公式

这表明两个独立的正态随机变量之和仍是正态随机变量， 这一结论可以推广到一般情形。设 是n个相互独立 的随机变量，且 ，那么它们的线性 组合 也服从正态分布 ，其中： 二项分布和泊松分布也具有类似的可加性： 设随机变量 与 独立。如果 ， 那么 如果 ， 那么

3.5.2.2 最大分布和最小分布 设 是n个相互独立的随机变量，分布函数 为 ，根据它们的分布函数可以求出函数 和 的分布函 数 和 。 由于事件 等价于事件 ， 所以分布函数 而事件 等价于事件 ，所以 分布函数

特别地，当随机变量 相互独立并且具有相同的 分布，也就是 具有相同的分布函数表达式 时， 和 的分布函数为

例3-16 设随机变量 相互独立并且具有相同的 分布，其分布函数为 求： (1) (2) 解：（1） （2）

例3-17 系统由3个同种元件串联而成，每个元件无故障工作时 间都服从参数为 的指数分布。求系统正常工作（无 故障）的时间 的分布。 解：设 分别是第 个元件的无故障时间，则 相互独立且具有相同的分布函数： 每个元件无故障才能使系统无故障，事件 等价于事件 ，因此 的分布函数为

自测题3.5.1 1. 已知随机变量 的联合分布律为： 求： (1) 的分布律； (2) 的分布律； (2) 的分布律；

2. 设随机变量 相互独立，且都服从区间 上的均匀分 布，求 的概率密度。 3. 设随机变量 相互独立，且都服从区间 上的均匀分 布，求 的概率密度。 4. 设随机变量　 的联合密度为 求 的概率密度。

自测题3.5.2 1. 设 服从参数为 的泊松分布， 服从参数为 的泊松分布， 证明 服从参数为 的泊松分布。 1. 设 服从参数为 的泊松分布， 服从参数为 的泊松分布， 证明 服从参数为 的泊松分布。 2. 设随机变量 相互独立， 的概率密度分别为 求 的概率密度。 3. 设随机变量 与 相互独立，且 ， 求 的概率密度。

4. 某电子元件的寿命(单位:小时)近似服从正态分布 ， 现任取4件，求取得的元件中没有一件寿命低于180小时的 概率。

测试题3.1 一．已知随机变量　 　独立，填写下面的联合分布律和边缘 分布律的表格：

二．计算题： １. 设随机变量　 　 独立， 求：概率 和 。 2. 设二维随机变量 的概率密度为 求：随机变量 的边缘密度 ， 。

3. 设 ，其中 ， 求 的联合密度和 的边缘密度。 4. 设二维随机变量 的概率密度为 求 的概率密度。 三、应用题 1. 质点由原点出发沿 轴向有移动，步长 服从区间 上 的均匀分布。假设各步步长相互独立，求质点恰好两步走 出区间 的概率。

2. 设系统由4个同种型号的元件串联而成。设每个元件的寿 命都服从参数为 的指数分布，求系统 的寿命 的概率密度。 四、设 的概率密度为： 证明：随机变量 ， 相互独立。

测试题3.2 1. 袋子中10个围棋子， 2个白棋子8个黑棋子，从中依次随机 抽取2个棋子作放回抽样。定义随机变量： 求 的联合分布律和边缘分布律，并判定 是否独立？ 1. 袋子中10个围棋子， 2个白棋子8个黑棋子，从中依次随机 抽取2个棋子作放回抽样。定义随机变量： (2) 的分布律。 分别用 表示第一、第二次取得的球的号码，求： 2. 从标号为1，2，2，3的4个球中依次取出两个作不放回试验， (1) 的分布律；

3. 100件中80件一等品，二三等品各10件，记： 求 的联合分布律。 4. 设 服从平面区域 上的均匀分布，其中 求概率 5. 设 服从平面区域 上的均匀分布，其中

求：(1) 联合概率密度 ； (2) 边缘概率密度 ， ； (3) 判断 是否独立？ 6. 设 与 独立，概率密度分别为 求概率 。 7. 某商品的一周需求量是一个随机变量，概率密度为 如果各周需求量相互独立，试求两周需求量的概率密度。

8. 设随机变量 相互独立,且服从同一分布,其密度函数为 求 的概率密度。 9. 设 服从平面区域 上的均匀分布，其中 求：以 为长和宽的矩形的面积 的分布。 10. 系统L由两个子系统 和 串联而成。设 的寿命 （指数分布）， 的寿命 ，求系统 的寿命 的概 率密度。

小 结 将一维随机变量的概念加以扩充，得到多维随机变量。 本章主要讨论了二维随机变量，除了将它作为一个整体研究其 小 结 将一维随机变量的概念加以扩充，得到多维随机变量。 本章主要讨论了二维随机变量，除了将它作为一个整体研究其 统计规律及性质外，也讨论了各个分量自身的性质及各分量之 间的联系。 一. 二维随机变量及其分布 二维随机变量　　　是定义在同一个样本空间上的两个随 机变量构成的一个整体，其分布函数为 当　　　为离散型时，其分布律为

当 为连续型时，其概率密度为　　　．（其中 且　　　　　　　　　满足 且 G为平面上某区域 二. 边缘分布 当　　　是离散型时，

当　　　是连续型时，其边缘概率分布为 无论　　　是离散的，还是连续的，其边缘分布函数分别　　 为： 的分布可唯一确定关于X与Y的边缘分布，反之，由关于 X和关于Y的边缘分布则不一定能确定　　　的分布，只有当　　 相互独立时才能由两边缘分布确定　　　的分布

三. 条件分布 在　　　中，一个变量取固定值的条件下，另一变量的 分布问题为条件分布，利用 联合分布及边缘分布，能很 简单地求出条件分布． 四. 随机变量的独立性 本章给出了随机变量独立性的三种形式变量的定义式，由 与独立性是一个十分重要的概念，我们必须理解其概念，并熟 练地判断两个随机变量是否相互独立．

五. 二维随机变量的函数的分布 本章分离散型、连续型两种情形介绍了由二维随机变量 的分布，求X与Y的函数　　　　　的分布的基本求法， 并讨论了　　及　　　　　　　　的分布．在这里除要求掌握 函数分布的方法外，还要能熟练运用已导出的公式求