第三章 刚体和流体的运动 §3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 第三章 刚体和流体的运动 §3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌

§3-1 刚体模型及其运动 一、刚体 既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。 刚体（rigid body）： 刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。

二、平动和转动 1. 平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动（translation）。 平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。

2. 转动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做转动（rotation），这一直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动（fixed-axis rotation） 。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加 。 如：车轮的滚动。

3. 刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的质点具有不同的线量，包括位移、速度和加速度。

角量： 线量与角量的关系： 角位移 角速度 角加速度 匀加速直线运动： 对于匀角加速转动，则有

物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。 三、自由度 所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。 质点： (x, y, z) i = 3 C(x,y,z) 做直线运动的质点： 1个自由度 做平面运动的质点： 2个自由度 做空间运动的质点： 3个自由度 物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。

运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自由度 (， ) 确定定轴转动角位置 1个转动自由度 ( ) 刚性细棒： i = 3个平动自由度 + 2个转动自由度= 5个自由度

§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩 对O点的力矩： 大小： 说明 1. 只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被轴承上支承力的力矩所抵消。

2. 是转轴到力作用线的距离，称为力臂。 3. 在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩：

二、角速度矢量 角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。 在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因此，计算中可用正负表示角速度的方向。 线速度和角速度之间的矢量关系 ：

三、定轴转动定律 对刚体中任一质量元 受外力 和内力 应用牛顿第二定律，可得 采用自然坐标系，上式切向分量式为

对刚体内各个质点的相应式子，相加得 对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则 称为刚体对转轴的转动惯量。

刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 刚体定轴转动定律： 与平动定律比较：

四、转动惯量 定义： 单位( SI )： 刚体为质量连续体时： （ r 为质元dm到转轴的距离） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置。

例3-1 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心C与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端O与棒垂直。 C x 解： (1) dx dm O x dx dm (2) 可见，转动惯量因转轴位置不同而变，故必须指明是关于某轴的转动惯量。

平行轴定理（parallel axis theorem） 刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴间距离 h 的平方。 C x dx dm A h 通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）

例3-2 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 解： (1) 圆环： dm

(2) 圆盘： O  dm 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。

例3-3 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。 解： 由于考虑滑轮的质量和所受的摩擦阻力矩， 问题中包括平动和转动。 轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， 。 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g

把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量 dm=reddr，e是盘的厚度，质元所受到的阻力矩为 rdmg 。 例3-4 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为，令圆盘最初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr  d e 解： 把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量 dm=reddr，e是盘的厚度，质元所受到的阻力矩为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为

m=eR2 由定轴转动定律：

§3-3 定轴转动中的功能关系 一、力矩的功 说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做功之和为零。

设作用在质元Dmi上的外力 位于转动平面内。 合外力对刚体做的元功： 力矩的功：

二、刚体的转动动能 刚体的转动动能

三、定轴转动的动能定理 由定轴转动定律，若J 不变， 则物体在 dt 时间内转过角位移 d 时，外力矩所做元功为 刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能： 四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能： z O i

例3-5 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点，距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：(1)水平位置的角速度和角加速度；(2)垂直位置时的角速度和角加速度。 C O B A 解： (1)水平位置 方向： 

(2)垂直位置 C O B A 

§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律 一、刚体的角动量 质元 对O 点的角动量为 因 ，所以 的大小为 刚体关于O 的角动量：

对于定轴转动， 对沿定轴的分量 为 称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量： 刚体绕定轴的角动量：

二、定轴转动刚体的角动量定理 由定轴转动定律，若J 不变， 称为角动量定理的微分形式。 角动量定理的积分形式： 为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。

角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 ， ， 系统对该轴的角动量为 且系统满足角动量定理

三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 定轴转动角动量定理： 当 时， 有 即 (常量) 定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保持不变。 适用于刚体、非刚体和物体系。

1. 刚体( J 不变)的角动量守恒 若 M=0，则 J =常量，而刚体的 J 不变，故  的大小，方向保持不变。 如：直立旋转陀螺不倒。 o 此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将做定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。

2. 非刚体( J 可变)的角动量守恒 当 J 增大，w 就减小，当 J 减小，w 就增大。 如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动， 恒星塌缩 (R0，0)  (R，) 中子星的形成等。

3. 物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒： 如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。

例3-6 摩擦离合器 飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2、 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角速度。 解： 两轮对共同转轴的角动量守恒 2 1 2 1 在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热能。

例3-7 匀质细棒：l 、m，可绕通过端点O的水平轴转动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦因数为 ，撞后物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解： 分三个阶段进行分析。 第一阶段：棒自由摆落的过程，机械能守恒。

第二阶段：碰撞过程。系统的对O轴的角动量守恒。 第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。物体做匀减速直线运动。 联合求解，即得碰撞后棒的角速度：

'取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。 棒向左摆的条件为 棒向右摆的条件为 棒的质心C上升的最大高度，也可由机械能守恒定律求得：

例3-8 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径R02107 m，塌缩成半径R6103 m的中子星。试求中子星的角速度。塌缩前后的星体内核均看作是均质圆球。 解： 内核在塌缩前后的角动量守恒。

例3-9 如图的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J = 2103 kgm2 ，它以 =0 例3-9 如图的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J = 2103 kgm2 ，它以 =0.2 rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的位置与轴线距离都是r =1.5 m。两喷管的喷气流量恒定，共是 =2 kg/s 。废气的喷射速率（相对于飞船周边）u =50 m/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。 解： 把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量，

故原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即 在喷气过程中，以dm 表示dt 时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为 dm  r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因 u=50 m/s 远大于飞船的速率v (=r) ，所以此角动量近似地等于dm  ru。在整个喷气过程中喷出废气的总角动量Lg应为 当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为

在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1 ，由此得 于是所需的时间为

§3-5 进动 进动（precession）：物体绕自转轴高速旋转的同时，其自转轴还绕另一个轴转动的现象。又称回转效应。 如：倾倒陀螺的进动

陀螺的进动 设陀螺质量为m，以角速度自转。 重力对固定点O的力矩：  mg O 绕自身轴转动的角动量： 由角动量定理的微分式： 显然， 时刻改变方向而大小不变——进动。

由图可知  d O 由角动量定理： 进动角速度： 陀螺

陀螺的进动角速度：  d O 说明 1. ωp 与ω 有关，与θ无关。 2. 进动轴通过定点且与外力平行。 3. 进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。 4.  较小时， 有周期性变化，称为章动。 回转效应的应用：炮筒内的旋转式来复线等。

改变方向，情况如何？  mg O

§3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 一、理想流体模型 液体和气体都具有流动性，统称为流体（fluid）。 还具有另外两种性质： 一是可压缩性， 二是黏性。 理想流体(ideal fluid)：绝对不可压缩且完全没有黏性的流体。也叫无黏流体。 流体在流动时内部的压强，称为流体动压强。 理想流体动压强的特性与静水压强的特性完全一样，即压力总是垂直于作用面的。

二、定常流动 定常流动（steady flow）： 即流场中速度与压力只是空间点的位置的函数，而与时间无关，则称流场中的流动为定常流动。 在流体中作一系列曲线，使曲线上任一点的切线方向与该点处流体质元的流速方向一致， 这类曲线称为流线 。 由流线围成的管状区域，称为流管。

在定常流动中， 任何两条流线都不能相交。 流管内的流体不能流出管外，管外的流体也不能流入管内， 流管的作用与形状相同的管道一样，流管就是一种无形的管道。 在定常流动中，空间各点的流速虽然不同， 但它们都不随时间变化， 所以流体中流线和流管的形状也不随时间变化。

三、伯努利方程 伯努利（D. Bernoulli）方程是流体动力学的基本定律，它说明了理想流体在管道中做稳定流动时，流体中某点的压强 p 、流速 v 和高度 h 三个量之间的关系。 在流体中取一流管，研究流管中一段流体的运动。设在某一时刻，这段流体在a1a2位置，经过极短时间t后，这段流体达到b1b2位置。 假设为理想流体，流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体对它做功。

后面的流体推它前进，做正功；前面的流体阻碍它前进，做负功。 设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是a1b1与a2b2处流体的压强、截面积和流速。 后面流体的作用力是p1S1，位移是v1 t，所做的正功是 p1S1v1 t ，前面流体作用力做的负功是 -p2S2v2 t ， 外力的总功是

流体不可压缩： 由功能原理： 这就是伯努利方程（Bernoulli equation），它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。

§3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌 一、线性科学和非线性科学 线性是指量与量之间成正比关系。在线性系统中，部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵守叠加原理，即方程的不同解相加仍然是个解。非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性方程两个解之和不再是方程的解。 自然界大量存在的相互作用是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。 牛顿的经典力学属于线性科学范畴。 混沌是非线性科学中最引人注目的一类现象。

线性和非线性物理现象的区分一般有三个特征： 第一，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数表示；而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变。 第二，线性系统往往表现为对外界的影响成比例地变化；而非线性系统中参量的极微小变化，在一些关节点上，可引起系统运动形式的决定性改变。 第三，反映在连续介质中的波动上，线性行为表现为色散引起波包的弥散，导致结构的消失，而非线性作用却可促使空间规整性结构的形成和维持。

二、混沌和牛顿力学的内在随机性 对于同一个自然界，物理科学中有决定性和概率性两种描述。 牛顿力学的机械决定论的观点，因海王星的发现而登峰造极。但是，19世纪末，已经知道描述三个以上天体运动的方程组不能解析地求解。 由确定性方程描述的简单系统可以出现极为复杂的貌似随机的无规运动，这就是混沌（chaos）。 “确定性”是指描述动力学系统的微分方程中的系数都是确定的，没有概率性因素。对确定的初始值，确定性方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为。

但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的扰动而产生很大变化。由于系统的这种初值敏感性，从物理上看，这过程似乎是随机的，但这种随机性是确定性系统内部所固有的，叫做内秉随机性。 具有内秉随机性的动力学系统，通常兼有规则运动和随机运动的两种不同区域。随着某种参量变化，随机区域可能逐渐扩大，甚至吞掉规则运动的区域。 湍流现象是种混沌，普遍存在于行星和地球大气、海洋与江河、火箭尾流乃至血液流动等自然现象之中。 流体的运动一般用确定性的流体力学方程描述。

雷诺数Re当流体绕过圆柱体流动时，表征流体中外力与黏性力竞争的雷诺数不断增大，当雷诺数达到某个临界值时，流动中就出现湍流。 (a) 雷诺数Re<1。 (b) 雷诺数Re≈20时，可看到圆柱体后面出现两个对称的涡旋。 (c)雷诺数Re≈40，又发生另一次突变：一个涡旋被拉长后摆脱柱体，漂向下游；柱后另一侧的流体转了一个弯，形成新的涡旋。这些涡旋交替产生、脱落，向下游移去。 (d) 雷诺数Re≈104，由边界层里产生的小涡旋中充满着一条条细带，其流动是紊乱无规的，这就是湍流状态。