第一章 静电场
主要内容 1. 静电的基本现象和基本规律 2. 电场 电场强度 3. 高斯定理 4. 电位及其梯度 5. 静电场的应用举例
基本要求 明确电荷是物质的一种属性 理解点电荷模型 理解电场概念 掌握电通量的概念及其计算方法 理解电力线的概念 理解和掌握静电场环路定理 理解掌握电位电位差概念 理解等位面概念
§1.1静电场的基本现象和基本规律 1.1.1 两种电荷 物体有吸引轻小物体的性质，就说它带了电，或有了电荷。带电的物体叫带电体。 使物体带电叫起电。用摩擦方法使物体带电叫做摩擦起电。 自然界只存在两种电荷：正电荷和负电荷，且同种电荷相排斥异种电荷相吸引。
1.1.2 静电感应和电荷守恒定律 另一种重要的起电方法是静电感应。摩擦起电和静电感应的实验表明，起电过程是电荷从一个物体（或物体的一部分）转移到另一物体（或同一物体的另一部分）的过程。 从以上一些事实可以总结出如下定律：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。这个定律叫电荷守恒定律。
1.1.3 物体的分类 （1）导体：电荷能从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的那种物体叫做导体。 1.1.3 物体的分类 （1）导体：电荷能从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的那种物体叫做导体。 （2）绝缘体：电荷几乎只停留在产生的地方的那种物体叫绝缘体。 （3）半导体：半导体是介于导体与绝缘体之间的物体，而且对温度，光照，杂质，压力，电磁场等外加条件极为敏感。
金属，石墨，电解液（酸，碱，盐类的水溶液），人体，地，电离的气体等都是导体；玻璃，橡胶，丝绸，琥珀，松香，硫磺，瓷器，油类，未电离的气体等都是绝缘体。
1.1.4 物质的结构 物质是由分子，原子组成的，而原子又由带正电的原子核和带负电的电子组成。原子核中有质子和中子，中子不带电，质子带正电。一个质子所带电荷和一个电子所带电量数值相等。如果用e代表一个质子的电量，则一个电子的电量就是-e。它的近似值为 e=1.60210-19库仑
1.1.5 库仑定律 库仑定律表述如下： 在真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的相互作用力的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离r的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
如图所示 令F12代表q1给q2的力，r12代表由q1到q2方向的单位矢量，则
§1.2 电场 电场强度 1.2.1 电场 近代物理学的发展告诉我们：凡是有电荷的地方，四周就存在电场，即任何电荷都在自己周围的空间激发电场；而电场的基本性质是，它对于处在其中的任何其他电荷都有力的作用，成为电场力。因此电荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的。
具体的讲，图中的物体1带电时，1上的电荷就在周围的空间激发一个电场；物体2带电时，2上的电荷也在周围的空间激发一个电场。带电体2所受的力F12是1的场施加给它的，带电体1所受的力F21是2的场施加给它的。用一个图式来概括，则为 电荷 电场 电荷
1.2.2电场强度矢量E 电场的一个重要性质是它对电荷施加作用力，下面以这个性质定量描述电场。首先在电场中引如一电荷以测量电场对它的作用力。为使测量精确，这电荷必须满足以下一些要求： (1)这电荷的电量q0充分小。 (2)电荷q0的几何线度也要充分小，即可以把它看作是点电荷。 满足以上条件的电荷q0叫做试探电荷。 下图为用试探电荷测场强的演示实验。
现在研究电场中任一固定点的性质。按照库仑定律，在电场中任一固定点p，试探电荷所受的电力是和试探电荷的电量q0成正比的。如果把试探电荷的电量增大到2，3，4......n倍（但仍需满足试探电荷的条件），将看到同一地点的F也增大到2，3，4....n倍，而力的方向不变（如图）。
如果把q0换成等量异号的电荷，则力的大小不变，方向反转。因此对于电场中的固定点来说，比值F/q0是一个无论大小和方向都与试探电荷无关的量，它是反映电场本身性质的。我们把它定义为电场强度，简称场强，用E表示： E=F/q0
1.2.3 场强迭加原理 电场力是矢量，它服从矢量迭加原理。如果以F1、F2 Fk分别表示点电荷q1、q2 qk单独存在时电场施于空间同一点上试探电荷q0的力，则它们同时存在时，电场施加于该点试探电荷的力F将为F1、F2 Fk的矢量和，即 F=F1+ F2 + + Fk
将上式除以q0，得到 E=E1+E2+ +Ek E1=F1/q0，E2=F2/q0 ， Ek=Fk/q0 分别代表q1、q2 qk单独存在时在空间同一点的场强，而E=F/q0代表它们同时存在时该点的总场强。
由此可见，点电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场在该点场强的迭加。这叫做电场强度的迭加原理（简称场强迭加原理）。
电偶极子:由一对等量异号点电荷组成的带电体系,它们之间的距离L远比场点到它们的距离r小得多.这种带电体系叫做电偶极子. 电偶极子的场强公式: 延长线上 中垂面上
1.2.4电荷的连续分布 电荷的体密度:单位体积内的 电荷。 电荷的面密度:单位面积内的电荷。 或 电荷的线密度:单位长度内的电荷。
1.2.5带电体在电场中所受的力及其运动 电荷与电场之间的相互关系有两个方面：电荷产生电场和电场对电荷施加作用力。 作用力的公式：F=qE 电偶极距：电偶极距P是个矢量，它等于q和矢量l的乘积，即P=ql； 电偶极子所受力矩的公式为L=PE
§1.3 高斯定理 1.3.1电力线及其数密度 电力线:如果在电场中作出许多曲线,使这些曲线上每一点的切线方向和该点场强方向一致,那所有这样作出的曲线,叫做电场的电力线。 电力线数密度在电场中任意点取一小面元 与该点场强方向垂直,设穿过 的电力线有 根,则比值 叫做该点电力线数密度。
电力线可以借助于一些实验方法显示出来..在作电力线图时,总使电场中任一点的电力线数密度与点场强大小呈正比,即 电力线稀疏的地方表示场强小,电力线稠密的地方表示场强大;就是说,用电力线的疏密分布把电场中场强大小的分布情况反映出来。
（1）电力线起至正电荷(或来自无穷远处),止于负电荷(或伸向无穷远),但不会在没有电荷的地方中断. 从这些电力线图可以看出,除E=0的点外,电力线有如下一些普遍性质: （1）电力线起至正电荷(或来自无穷远处),止于负电荷(或伸向无穷远),但不会在没有电荷的地方中断. （2）若带电体系中正负电荷一样多,则由正电荷出发的全部电力线都集中到负电荷上去. （3）两条电力线不相交. （4）静电场中的电力线不形成闭合线.
1.3.2 电通量 电通量的定义:通过一面元 的电通量为该点场强的大小E与 在垂直于场强方向的投影面积 的乘积. 1.3.2 电通量 电通量的定义:通过一面元 的电通量为该点场强的大小E与 在垂直于场强方向的投影面积 的乘积. 我们以 表示通过 的电通量,即 面元 的法线矢量 n与场强 E的夹角 可以是锐角,也可以是钝角,所以电通量可正可负.当 为锐角时, 为正;当 为钝角时, 为负.当 时， =0。
对于非无限小的曲面来说，曲面上场强的大小和方向是组点变化的，计算电通量就需把曲面分割成许多小面元，计算通过每个小面元的电通量后再迭加起来，得到通过整个曲面的总电通量。用公式表示为
一个曲面有正有负，与次对应，它的法向矢量也有正负。指向曲面外部空间的叫外法向矢量，指向曲面内部空间的叫内法向矢量。规定：对于闭合曲面，取外法向矢量为正。 通过任意一个闭合曲面S的电通量 等于该面所包围的所有电荷电量的代数和 除以 ，与闭合面外的电量无关．用公式来表示高斯定理，
1.3.3高斯定理的表述和证明 高斯定理的表述： 通过任意一个闭合曲面S的电通量 等于该面所包围的所有电荷电量的代数和 除以 ，与闭合面外的电量无关．用公式来表示高斯定理， 表示沿一个闭合曲面的的积分,这闭合曲面 习惯上叫高斯面.
高斯定理是可以由库仑定律和场强迭加原理导出的. (1)通过包围点电荷 q的同心球面的电通量都等于 。见下图所示. 。见下图所示.
(3)通过不包围点电荷的任意闭合面 S的电通量恒为0。见下图所示。 (4)多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和.见下图所示。
1.3.4 电力线的性质 (1)电力线的起点与终点: 如果做小闭合面分别将电力线的起点和终点包围起来,则必然有电通亮从前者通过,从后者穿入.因而从高斯定理可得,在前者之内必有正电荷,后者之内必有负电荷.这就是说电力线不会在没有电荷的地方中断.
电力管:由一束电力线围成的管状区域,叫电力管. 由于电力线总是平行于电力管的侧壁,因而没有电通量穿过侧壁. (2)电力线的疏密与场强的大小: 电力管:由一束电力线围成的管状区域,叫电力管. 由于电力线总是平行于电力管的侧壁,因而没有电通量穿过侧壁. 亦即沿电力管场强的变化反比于它的垂直面积．
1.3.5 高斯定理的应用举例 在使用高斯定理时一定要注意:公式中E是带电体系中所有电荷(无论在高斯面内还是在高斯面外)产生的总场强,而 只是对高斯面内的电荷求和.这是因为高斯面外的电荷对总通量没有贡献,但不是对总场强没有贡献. 能够直接运用高斯定理求出场强的情形,都必须具有一定的对称性.
例题.求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带电总量为q,半径为R. 解: 如果用场强迭加法来解这个题,就需要把带电 球壳分割成许多小面元dS,将各个小面元上电荷所产生的元电场dE进行矢量迭加.这样做是很复杂的,现在让我们用高斯定理来处理就可使问题简化.首先分析电场分布的对称性.由于电荷均匀分布在球壳上,这个带电体系具有球对称性,因而电场分布也具有求对称性.
例题.求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带电总量为q,半径为R. 如图. 根据电场的求对称性的特点,取高斯面为通过p点的同心球面,通过此高斯面的电通量为 这里r是高斯面的半径,即op的距离.
例题.求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带电总量为q,半径为R. 上述对称性的分析对球壳内外均适用,所以上式适用于无论比球壳大或小的高斯面.如果p点在球壳外(r>R),则高斯面包围了球壳上的电荷q.根据高斯定理, 由此p点的场强为 如果p点在球壳内(r<R),则高斯面内无电荷.
§1.4 电位及其梯度 静电场力所做的功与路径无关 电位差与电位 电位迭加原理
例 求距电偶极子相当远的 地方任意点的 电位。已知电偶极子中两电荷-q、+q的距离为L。 解：设场点p到+q、-q的距离分别为r+和r-如图，则+q、-q单独存在时点p的电位分别为 根据电位迭加原理
例 求距电偶极子相当远的 地方任意点的 电位。已知电偶极子中两电荷-q、+q的距离为L。 设P点到电偶极子中点O的距离为r，PO连线与偶极距方向的夹角为 ，以P为中心做两圆弧分别过+q、-q，弧与PO连线分别交于C、D，则PC=r+,PD=r-,由于r ＞＞l，两弧线可近似看成是PO的垂线，所以 于是 代入Ｕ的表达式后，得 忽略l的平方项，即得
1.4.1 等位面 等位面：电位相等的点所组成的面。 等位面的性质： （1）等位面与电力线处处正交。 （2）等位面较密集的地方场强大。 1.4.1 等位面 等位面：电位相等的点所组成的面。 等位面的性质： （1）等位面与电力线处处正交。 （2）等位面较密集的地方场强大。 任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电位U是个标量。
1.4.2电位的梯度 梯度通常指一个物理量的空间变化率。用数学语言来说，就是物理量对空间坐标的微商。 叫做沿的 方向的微商，这是一种偏微商。 叫做沿的 方向的微商，这是一种偏微商。 梯度定义：一个矢量，它沿着 的方向，大小等于 。这个矢量叫做梯度，用gradU或 来表示．沿其余方向的微商 是梯度矢量在该方向上的投影．
1.4.3 电位与电场的关系 电位： 场强： 或
§1.5 静电场的应用举例 1.5.1 在军事上的应用 1.5.2 在其他方面的应用
１.5.1在军事上的应用 隔墙探人技术 隔墙探人技术的应用，犹如士兵长了第三只眼，能较早的发现隐蔽在墙后的敌人，极大地提高了城市巷战人员的侦察与生存能力。美国目前已开发出利用静电场、超低频电磁能、雷达生命特征信号监测、超宽带雷达原理的隔墙探测技术。
利用静电场技术实现隔墙探人的“探人器”，是利用人体能产生静电场以及两个极性相反的静电场之间存在着吸引力的原理进行工作。自身仅重0 利用静电场技术实现隔墙探人的“探人器”，是利用人体能产生静电场以及两个极性相反的静电场之间存在着吸引力的原理进行工作。自身仅重0.45千克，用9伏电池供电，可使用3-4天，能探测到120-140米距离内的位于墙壁后的人员。使用时，操作手用“探人器”对四周进行扫描。当前方有人时，“探人器”的静电场与人体静电场产生引力，将“探人器”天线拉向人所在的方向，使“探人器”对向人，识别出与人匹配的静电场。
1.5.2 在其他方面的应用 空气净化器： 静电吸附式空气（消毒）净化器的核心部件是静电吸附装置。目前，国内使用的大部分为蜂窝状静电吸附装 置(静电场)。蜂窝状静电场的缺点是不仅工艺繁杂而且清洗困难、产生较多的臭氧和集尘效果差。
国外最常用的静电吸附装置是两段式静电吸附装置，两段式静电吸附装置不其结构简明而且极其容易清洗和永久性使用。两段式静电吸附装置是由前部的PLASMA放电方式的牢固的放电丝和集尘板组成而后面是由正负极集尘板组成因此其除菌效果和集尘效果远远超过蜂窝状静电吸附装置。
在学习和总结国内外的各种静电吸附装的基础上，我国开发出了各种规格的两段式静电吸附装置。在实践中已证实此静电吸附装置的除菌和集尘效果明显而且在实际应用中可以随时调节前后静电场的电压和电流。为了用户清洗后按装时的方便，此静电吸附装置采用了“触点式”连接方式不 用任何电线来连接静电吸附装置与机器。为了减少产生臭氧，在设计和制作板与板之间的距离调节到最合适的位置。
两段式静电吸附装置的阻力非低不仅用于静电吸附式空气净化器而且用于中央空调的进风口或出风口以防止空气中的微生物通过风到传播到室内。 两段式静电吸附装置
阴极射线示波器： 静电场的最常见的一个应用就是带电粒子的偏转，这样可以控制电子或是质子的轨迹。很多装置，例如阴极射线示波器、回旋加速器、喷墨打印机以及速度选择器等都是基于这一原理的。阴极射线示波器中电子束的电量是恒定的，而喷墨打印机中微粒子的电量却随着打印的字符而变化。在所有的例子中带电粒子的偏转都是通过两个平行板之间的电位差来实现的。
阴极射线示波器（cathod-ray oscilloscope）的基本特征：管体由玻璃制成，并被抽成高度真空。阴极被灯丝加热后发射电子。阳极与阴极间有几百V的电压差，电子朝向阳极加速。阳极上有一个小孔允许极细的一束电子通过。这些被加速的电子将进入偏转区，在那里它们产生水平和垂直两个方向上的偏转。
这些电子轰击一个由能发射可见光的物质（磷）所覆盖的荧光屏的内表面。如果阳极和阴极间的电压差保持恒定，电子的偏转量与垂直偏转板间的电位差成正比。水平偏转板间的电位差，可以使电子在y方向上运动。因此，电子束撞击荧光屏的点的位置依赖于水平和垂直偏转电压。
本章小结 一、静电场性质的表现 1、静电场对于置于场内带电体有力的作用 2、带电体在电场力的作用下移动时，电场力对它作功。 二、表征电场性质的物理量 1、E 点电荷： 点电荷组： ：
分布电荷： 连续电荷体分布： 面分布： 线分布： 2、U 空间任意点： 点电荷：
点电荷组： ；分布电荷： 3、E与U的关系： ； 三、静电场基本定理 1、高斯定理： 2、环路定理：
解题方法： 一、求解电场分布的方法 1、利用迭加原理 2、利用高斯定理 3、利用E、U关系：已知E求U， ；已知U求E， ； 二、常用解题公式 1、电偶极子的场强： 延长线上： 中垂面上：
2、均匀带电无限长细棒场强： 3、均匀带电细环的场强： 轴上： 环心： 4、均匀带电无限大平面外场强： 两均匀带异号电荷无限大平面： 5、均匀带电球壳场强： r>R E=0 r<R
本章习题 1、半径为a的圆盘均匀带电，电荷面密度为 ，求圆盘在轴线上一点p处的场强和电位。 2、一电荷按体密度 球对称分布，求（1）电场分布的表达式；（2）当电荷为总电荷一半时，其半径为多少？
3、线电荷密度为 的无限长均匀带电线，分别弯成如图两种形状，若圆弧半径为R，试求图中O点的场强。