空间直角坐标系 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校

多元微积分初步 此前研究了一元微积分，它是一元函数的微积分 多元微积分研究多元函数，更普遍可用 多元函数更适合于描述变量之间的关系 例如：

一元微积分（单变量微积分） 一元微积分中讨论过的概念、内容 （一元）函数， 极限， 连续， 导数， 微分，微分应用：近似计算， 导数应用：求极值， 积分，

多元微积分与二元、一元微积分 上面讨论过的一元微积分中的概念也是多元微积分中的基本概念 多元微积分中很多新的现象 多元微积分中，通常一个定理只要对于两个变量的函数可以证明，那么在证明中不需作任何本质的修改，就容易推广到多个变量的函数中。 因此，我们下面主要讨论二元微积分。

一元、二元微积分 一元函数 （二元函数） 极限 连续 导数（偏导数） 微分 导数应用：求极值， 积分 (重积分)

函数与解析几何 几何直观对于学习是很有益处的 一元函数：平面直角坐标系，曲线 二元函数：空间直角坐标系，曲面

解析几何的出现 十六世纪以后,由于生产和科学技术的发展,天文,力学,航海等方面都对几何学提出了新的需要. 比如,德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上; 意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的. 这些发现都涉及到圆锥曲线,要研究这些比较复杂的曲线,原先的一套方法显然已经不适应了,这就导致了解析几何的出现.

解析几何产生的背景 16世纪,欧洲文艺复兴掀起了以复兴古希腊,古罗马文化为旗帜的思想革命,带来了欧洲古典文化和学术的繁荣.崇尚数学的思想在当时的科学家心中再度复苏. 17世纪中叶,枷利略,开普勒等科学家不仅在天文学和经典物理学上做出了奠基性的贡献,而且开创了近代自然科学的研究方法,即把实验方法和数学方法成功地结合起来. 在这种背景下,用运动的观点来研究圆锥曲线和其他曲线问题,以及解决这些问题所必须采取的一般方法得以提出.

费尔玛（Fermat, 法国，1601－1665）

笛卡尔(René Descartes，法国，1596—1650)

解析几何：数形结合 希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。 代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。 解析几何结合了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。

解析几何：数形怎样结合 对平面来说(空间中可类推),就是在平面上的点与有序实数对(或向量)之间的对应关系, 因而可以在平面上的曲线和两个变量的方程之间建立对应关系,使得对于平面上的每一条曲线,都存在一个确定的方程 f(x,y)=0与之对应; 反之,对于每一个这样的方程,都存在平面上的一条确定的曲线,即一个点的集合.

解析几何的基本观点 从平面解析几何出发 点 曲线

坐标系 这里讨论平面坐标系，可以建立其它的坐标系，如极坐标系

平面直角坐标系 y P(x,y) x y 平面内任取一点O——原点 Ⅱ Ⅰ 过O点做一直线——x轴（横轴） x o Ⅲ Ⅳ 过O点另作一垂线——y轴（纵轴） 两坐标轴分平面为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 象限 实数对（x，y）对应平面内的点P，记作P（x，y），分别 称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。

注 意:标轴上的点不属于任何象限。 y 纵轴 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 第二象限 第一象限 1 2 3 4 5 -4 -3 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 横轴 原点 第四象限 第三象限 注 意:标轴上的点不属于任何象限。

解析几何第一基本观念 建立坐标系后 数对↔平面上的点

· · B（1，- 4） 点到数对 记作：A（3，2） A B y 纵轴 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 X轴上的坐标 写在前面 A点在x 轴上的坐标为3 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 A点在y 轴上的坐标为2 A点在平面直角坐标系中的坐标为(3, 2) 记作：A（3，2） X轴上的坐标 写在前面 B（1，- 4） · A · B 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 横轴 点到数对

· · 数对到点 在直角坐标第中，描出：A（4，3），B（-4，-1）。 A B y 纵轴 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 · B x 横轴 数对到点

解析几何第二基本观念 建立坐标系 数对↔平面上的点 曲线由许多点组成, 也就是由许多数对组成， 数对  二元方程 F(x,y)=0 的解 方程↔曲线

曲线与方程

（平面）解析几何思想 数对↔平面上的点 方程↔曲线 下面将这中想法扩充到空间 空间直角坐标系 空间中的点 空间中的面、曲线

空间直角坐标系

一、空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向符合右手原则. 竖轴 定点 纵轴 横轴 空间直角坐标系

空间直角坐标系 O 空间直角坐标系（三维直角坐标系） 右 手 原 则 （竖轴） O O （纵轴） （横轴） O

Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

1. 空间直角坐标系 z y 八个卦限 x

1. 空间直角坐标系 z y 八个卦限 . x

1. 空间直角坐标系 Ⅲ Ⅱ 八个卦限 Ⅳ Ⅰ 点的坐标 Ⅵ Ⅷ Ⅴ z z M  (x,y,z) (x,y,z) y y x x M N 1. 空间直角坐标系 Ⅲ Ⅱ z y 八个卦限 z Ⅳ Ⅰ M  (x,y,z) 点的坐标 (x,y,z) M y . x x N Ⅵ Ⅷ Ⅴ

1. 空间直角坐标系 z y (x,y,z)  M 坐标和点 z (x,y,z) M y x x N .

空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点

1. 空间直角坐标系 M点到原点的距离 M点到坐标面的距离 z M点到坐标轴的距离 d1 (x,y,z) d3 d2 y x 到z轴: 1. 空间直角坐标系 M点到原点的距离 M点到坐标面的距离 z y M点到坐标轴的距离 到z轴: 到x轴: d1 (x,y,z) 到y轴: M d3 d2 Q x P N . . . .

M点的对称点 1. 空间直角坐标系 (x,y,z) (x,y,-z) (x,y,z) (x,-y,-z) (-x,-y,-z) 1. 空间直角坐标系 M点的对称点 关于xoy面: z y (x,y,z) (x,y,-z) 关于x轴: (x,y,z) (x,-y,-z) M(x,y,z) x R (-x,-y,-z) 关于原点: (x,y,z) (-x,-y,-z) Q x P (x,-y,-z) (x,y,-z) .

空间两点间的距离 先考察连线平行于坐标轴的两点间的距离

二、空间两点间的距离

空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为

练习 P210 1