国家精品课 线性代数与空间解析几何 王宝玲 哈工大数学系代数与几何教研室 2007.9

《线性代数与解析几何》序言 学时 60学时, 4 学分,共15 周课 成绩 平时: 20%,期中: 30 %，期末: 50 %.

一、教学内容 线性代数 ( 抽象) —为了解决多变量问题 形成的学科. （代数为几何提供了便利 的研究工具, 几何为代数 提供了直观想象的空间) . 解析几何 ( 直观) 相互支撑 相互促进

二、课程特点 内容抽象 概念多，符号多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 应用广泛

三、学习方法 掌握三基——基本概念 ( 定义、符号) 基本理论 ( 定理、公式) 基本方法 ( 计算、证明) 提前预习——体会思路 多动手，勤思考——深入体会思想方法 培养——自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力

四、教学参考书 1.《线性代数与空间解析几何》习题解答哈工大数学系编（偏工）教材科有. 2.《线性代数与空间解析几何学习指导》 俞正光 ( 清华) 等编，科学出版社. 3.《线性代数复习指导》恩波组编，胡金德 ( 清华) 国家行政学院出版社. 4.《代数与几何考研辅导》答疑室BX215 .

五、教学要求 (每章结束后一周内以班为单位上交） 使用作业本, 写上学号!!! 1.上课关手机，不迟到 !!! 2.答疑时间: 每周二、四 11:50 —— 13:30. 答疑地点: BX215. 3.交作业时间: 周一至周五 9:00 —— 16:00. 交作业地点: BX215( 程老师). (每章结束后一周内以班为单位上交） 使用作业本, 写上学号!!!

《线性代数与空间解析几何》 第一章 n 阶行列式 王宝玲 哈工大数学系代数与几何教研室 2007.9

本章主要内容 行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 Cramer法则

1.1 n阶行列式 行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式. 1.1.1 二阶和三阶行列式 设二元线性方程组为 其中

对方程组用加减消元法求出解: 此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解． 如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：

当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:

例1 求解方程组 解 由于 则方程组的解为

如果定义三阶行列式如下(对角线法则） ： 那么对三元一次方程组 在系数行列式 D 0 时, 方程组有唯一解,其解可表示为:

其中 例2

问题1：怎样定义n阶行列式? 1.1.2 全排列的逆序数、对换 定义 由1,2, …, n 组成的有序数组称 阶排列共有 种 n 例如 自然数1 ,2 ,3 的排列共有六种. 例如 12 … n 是一个n阶排列,叫自然排列.

定义 在一个排列 中,如果一个大 数排在小数的前面,则称这两个数构 成一个逆序.一个排列的逆序总数称 为逆序数,表示为 如果 为偶数,则称为偶排列. 如果 为奇数,则称为奇排列.

例3 因为 所以 23541 是一个奇排列. 例4

证 对换: 在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动). 定理1 对换改变排列的奇偶性. (1)相邻对换 (2)不相邻对换 对换: 在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动). 定理1 对换改变排列的奇偶性. 证 (1)相邻对换 (2)不相邻对换 需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.

证 定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 设 个 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列 n 偶排列 奇排列 t s 个 个 (1,2)对换 (1,2)对换

1.1.3 n 阶行列式的定义 用排列观点总结三阶行列式:

n阶行列式定义: 定义 此行列式可简记 或 记一阶行列式

归纳如下： 由 个元素组成; 为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 由 个元素组成; 为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.

证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积, 即 例5

证 以下三角行列式为例来证明. 先决定所有可能的非零项 其次决定非零项的符号

例6 其中 * 表示此处元素可以是任意的数.

注意 这个行列式的值一般并不等于 当 n=4,5 时: 当 n=6,7 时: 问题 2: 如何决定下面一般项的符号?

根据这个结论,也可以把行列式表示为: 行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值 注

1.2 n 阶行列式的性质 定义 ，称 设 为D的转置行列式． 性质1 (转置)行列互换值不变,即 例如 性质1表明关于行的性质对列也成立.

性质2 (换法)换行(列)换号,即

推论 两行(列)同值为零,即

性质3 (倍法)把行列式的某一行(列)的所 有元素同乘以数k, 等于用数k乘以 这个行列式,即

如果行列式某一行(列)有公因子k时, 则该公因子k可以提到行列式符号的 外面． 推论1 例如 推论2 如果行列式有两行(列)成比例， 则该行列式为零．

(分拆)如果行列式某行(列)的所有 元素都是两数之和，则该行列式为 两个行列式之和,即 性质4

例如

性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即

总结行列式性质 性质1 性质2 换行(列)变号. 推论 两行(列)同，值为零. 性质3 某行(列)乘数 k=kD. 推论 (转置) (换法) 性质2 换行(列)变号. 推论 两行(列)同，值为零. 性质3 (倍法) 某行(列)乘数 k=kD. 推论 两行(列)成比例,值为零. 性质4 D可按某行(列)分拆成两行列式之和. 性质5 (消法) D某行(列)乘数 k 加至另行(列), 行列式值不变.

例7 计算 解 通过行变换将D化为上三角行列式

例8 设有四阶行列式: 则展开式中x4的系数是( ). (A) 2; (B) 2; (C) 1; (D) 1. 解 含x4的项只有一项 (1)(4321) a14a23a32a41=2x4

例9 已知 计算

解 由性质4

1.3 行列式展开定理 下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行 列式计算的问题, 即 定义 在给定的n阶行列式 中,把元素 1.3 行列式展开定理 定义 在给定的n阶行列式 中,把元素 所在的i 行和j 列的元素划去,剩余元素 构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式, 记作 ; 而元素 的代数余子式记作

例10 在行列式 中

引理 若 D 的第 i 行元素除 外都是零， 则 定理3 n阶行列式 等于它的任意一 行(列)的所有元素与其对应的代数 余子式的乘积之和, 即

定理4 n阶行列式 ,则

第 i 行 证 由 第 j 行 及降阶法将 G 按 j 行展开有

总结 n行列式的计算方法 1.定义法—利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算； 4. 加边法(升阶法); 5. 递推公式法； 6.归纳法.

例1 计算 n 阶行列式(行和相同)

解

例2 计算 n 阶行列式（两道一点） 解

例3 计算n+1阶行列式(爪形) 其中

解

当 全不为零时

例4 证明n阶(三对角)行列式 其中

证 对行列式阶数n用数学归纳法证明 n=1 时， 结论成立. n=2 时， 结论成立.

设n-1, n-2时结论成立, 则对于n阶行列式 按第一行展开有

例5 证明范德蒙(Vandermonde)行列式

证 用数学归纳法证明 n=2 时， 结论成立. 假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立 从第 n 行开始, 每一行减去前一行的 x1倍, 目的是把第一列除1以外的元素都 化为零.然后按第一列展开, 并提取各列的公因子, 可以得到:

或者利用递推公式 由上述递推结果即可得到结论.

1.4 克莱姆（Cramer)法则 下面给出利用n阶行列式求解方程个 数与未知量个数都是n而且系数行列式不 为零的线性方程组的求解公式. 定理5 (Cramer法则)如果n元线性方程组 (1) 的系数行列式不等于零，

即 则方程组(1)只有唯一解,且其解为

其中 是把的 的第j 列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即

推论1 如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即 则此方程组只有唯一零解,即

推论2 如果n元齐次线性方程组 有非零解,则系数行列式等于零,即

例1 求解线性方程组 解 线性方程组的系数行列式 所以方程组有唯一解.

所以方程组的唯一解为

典型例题

练 习 若行列式D的某一行元素的代数余子式 全是零,则这个行列式D = . 1. 练 习 若行列式D的某一行元素的代数余子式 全是零,则这个行列式D = . 1. 2.若4阶行列式D的某一行的所有元素及其 余子式都相等,则D = . 3.在一个n阶行列式D中,如果等于零的元素多于 个,则D = .

4. 不计算行列式值，利用性质证明 证 令

由于 是 的三次多项式,且

因此有 注 的系数为1.

5． 计算行列式的值

解

6. 计算行列式:

解 此行列式用加边法计算,即

7. 已知 计算（1） （2）

解 =–3 =–25

8. 设有四阶行列式 设a=4A41+8A42+5A43+6A44, 则a的值为: (A) -2; (B) -1; (C) 0; (D) 2. 分析: a相当于第2行的元素乘上的第4 行的代数余子式,根据行列式的性 质,应该为0,答案为(C).

9. 计算行列式

解

10. 设 是一个次数不大于n-1的一元 多项式,如果存在 n 个互不相同的数 使 证明: 证 设 其中 待定 由已知

得 这是关于 的n元一次 线性方程组,其系数行列式

所以方程组只有唯一零解,即 故

预 习 第 二 章 (^-^) Bye!