关于高中数学的一些想法 东北师范大学 史宁中 2014年10月

目录 （一）义务教育数学课程标准理念 （二）高中数学课程标准体例 （三）高中数学课程核心素养

一、义务教育数学课程标准理念 教育理念：以人为本（传统理念以知识为本） 工作方针：育人为本（纲要）；立德树人（十八大） 以人为本：以学生的发展为本；站在学生的立场思考问题 转换 尊重的教育：教育规律；认知规律；受教育者的人格人性 以学习为本：实现从“如何教”到“如何学”的转变 了解学生如何接受（青蛙跳水） 如何启发学生思考（几何作图）

课程理念：每个人都能获得良好的数学教育； 不同的人在数学上得到不同的发展。 人成功的基础：知识技能 + 把握机遇 + 思维方法 学习数学，除了获取必要的数学知识和掌握必要的数学技能之外，还要获得基本的数学素养。会想问题、会做事情。 课程目标包括三条 提出四基：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 提出四能：发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题 科学精神：敢于质疑，善于思考，实事求是，一丝不苟

什么是数学的基本思想？数形结合、等量替换、消元法、递归法？ 数学的产生与发展必须依赖的思想； 学习数学与没学习数学的思维差异。 抽象：现实 → 数学。数量与数量关系；图形与图形关系。 数学具有一般性。学习过数学的人抽象能力强。 推理：数学 → 数学。得到并且验证数学的结果：命题。 数学具有严谨性。学习过数学的人推理能力强。 模型：数学 → 现实。用数学的语言讲述现实世界的故事。 数学具有应用的广泛性。学习过数学的人会一般性思考。

关于抽象 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些 感性的东西（颜色、温度）。对于数学而言，线、角、 或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。 数学抽象包括：数量与数量关系、图形与图形关系。 通过抽象得到：研究对象的概念、研究对象的关系； 运算方法和运算法则、度量方法。 抽象分两个层次：对应起名（外延）；本质描述（内涵）。

关于数的抽象（对应、去掉物理属性） 什么是数：数量 → 数（估算与近似计算的区别） 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 3个苹果比2个苹果多 → 3比2大 什么是加法：□□□←□，所以 3 + 1 = 4 ？ □□□ □□□□ 哪边的小方块多？ □□□←□ □□□□ 哪边的小方块多？ 所以 3 + 1 = 4。等号是指两边的量相等。 方程的意义：讲两个故事，两个故事量相等。

自然数（加法） → 整数（减法：加法的逆运算） → 有理数（除法：乘法的逆运算）；有理数 = 分数 → 无理数（不能写成分数的形式） → 实数 = 有理数 + 无理数（小数形式的表达） 为了解释微积分、为了解释极限运算 需要实数的连续性：可以理解 1/n → 0，如何理解 x → 0 ? 需要无理数的运算：√2 +√3 = ? √2·√3 = √2·3 ?

极限运算：柯西(1821) 从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化 1872 年，康托用柯西基本序列的方法定义了实数 解决了实数的运算问题 √a·√b = √a·b ？ 柯西有理数列： an → √a, bn → √b , 极限运算法则： an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 有理数列：{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 } 确定实数 a·b 柯西有理数列：an·bn 确定实数 √a·b，所以 √a·√b = √a·b

1872 年，戴德金用有理数分割的方法重新定义了实数 有理数分割三种可能；实数分割两种可能 解决了实数的连续性问题 1889 年，皮亚诺用公理体系重新定义了自然数（九个公理） 后续数方法：从1开始，后续为2=1+1；加法1+1=2。 后来（10年）从0开始。 1908 年，策梅罗构建了集合公理化体系（九个公理） 抽象的存在 郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。

关于数学的推理 推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。 命题：可以进行是否判断的陈述句。 数学命题可供判断：这个三角形是红的（不是数学命题） 数学命题仅供判断：三角形内角和 180 度 三角形内角和 120 度（都是命题） 数学命题两种形式： 性质命题（系词结构：… 是 …） 关系命题（条件结论：如果 … ，那么 …）

数学推理是有逻辑的推理：命题内涵之间具有传递性。 演绎推理：命题内涵由大到小，得到结果是必然的。验证结论。 A → P，x ∈ A，x → P。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 归纳推理：命题内涵由小到大，得到结果是或然的。发现结论。 x → P，x ∈ A，A → P。 苏格拉底是人，苏格拉底有死，所以凡人都有死。 无逻辑的推理：命题之间没有传递性。 苹果是酸的，酸是一种味道，所以苹果是一种味道。

演绎推理 基础：同一律、矛盾律、排中律、公理（定理）、假设 包括：三段论、假言三段论、反证法、完全归纳法、数学归纳法、 数字与符号运算（算法逻辑） 形式：已知 A 求证 B。 A 和 B 都是确定性命题。 功能：可以验证结论。 不能用于发现真理，但可以发现谬误。

归纳推理 通过经验过的东西推断没有经验的东西 从小范围的结论推断大范围的结论。 包括：归纳法、类比、实验数据、试验数据、调查数据 归纳法：代数（哥德巴赫猜想、平方和公式） 类比法：几何（庞加莱猜想、爱因斯坦时空) 归纳推理就是“看出”结果，这是创新的根本。在我国，过去的数学教育缺少这种能力的培养。因此，这种能力的培养将是我国未来教育教学改革的难点和重点。

针对现代数学符号化、形式化、公理化的特点，应当采取有相应的教学方法： 表达是符号的，教学应当是现实的； 证明是形式的，教学应当是直观的； 体系是公理的，教学应当是归纳的。 即：教学需要反其道而行之 抽象到具体：举例说明、直观描述。 一般到特殊：高维空间到低维空间。 是教学改革的一个难点，也是为广大教师提供了一个舞台。

关于数学模型 什么是数学模型？2x、y = 5x2 是不是模型？ 数学模型：用数学的语言讲述现实世界中的故事。 语言：概念、符号、公式； 故事：与数量（数字化）有关、与图形有关。 力的模型（第二定律）：F = ma 重力加速度模型：s = gt2/2 伯努利模型：B(1,p) → B(n,p)

凯恩斯学派强调政府对于市场的干预 凯恩斯静态模型两个方程 第一个方程：收入 = 消费 + 投资 第二个方程：消费 = 基本 + 收入比例 其中 Y：国民收入；C：国民消费；I：国民投资；a0为基本消费；a为消费倾向：a ≦1。通过计算可以得到 a 越接近 1，消费倾向越强，国民收入越高。

二、高中课程标准体例 高中阶段教育：基础性、选择性、时代性 必修 （8学分、一学年）：学业水平考试；分等级 必修 （8学分、一学年）：学业水平考试；分等级 选修Ⅰ （6学分、二学年）：专科可以不学；作为高考成绩 选修Ⅱ （6学分、三学年）：自主招生院校 必修：强调基础性与时代性 函数与数列：集合、函数、基本初等函数、数列、不等式 向量与几何：向量、立体几何初步、平面解析几何初步 统计与概率：随机抽样、误差模型、估计、古典概型

选修Ⅰ（6学分）：选择性与基础性 导数、函数的性质、优化、算法、伯努利模型、列联表 选修Ⅱ （6学分）：选择性与时代性 理工方向：变换、基于模型的统计与概率 社会方向：经济模型、运筹优化 人文方向：概念命题、逻辑推理 艺术方向：基于数学的美，对称、周期、和谐 自主招生考试：学校指定、学生选择、分类录取

三、高中数学核心素养 两个层次：通识、数学 通识素养：会学学习，应用能力（应用意识），创新意识。 数学素养：抽象概括（数感、符号意识），运算能力，推理能力， 数学建模（模型思想），几何直观（ + 空间观念）， 数据分析观念。 表述：数学理解，审美能力，数学表达交流合作能力。 考试：以核心素养为准则。

谢谢！

什么是：除法是乘法的逆运算？ 关联问题：为什么除分数等于乘分数的倒数？ 有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12 ? 分数：等分关系；比例关系。 除法是乘法的逆运算：？= 4 ÷ 1/3 → ？ × 1/3 = 4 ？ × 1/3 × 3 = 4 × 3 ？= 4 × 3 ？= 4 ÷ 1/3 = 4 × 3

平方和 12 + 22 + … + n2 = ？ 立方和13 + 23 + … + n3 = ？ 归纳的方法： n 1 2 3 4 5 和 1 3 6 10 15 平方和 1 5 14 30 55 立方和 1 9 36 100 225 → 立方和 = 和×和 = n2(n+1)2/4 平方和 = 和×A n = 2，和 = 5 = 3×5/3； n = 3，和 = 14 = 6×7/3； n = 4，和 = 30 = 10×9/3； n = 5，和 = 55 = 15×11/3。 → A = (2n+1)/3 → 平方和 = n(n+1)(2n+1)/6

如何理解集合？ 集合的定义由描述走向符号化 研究对象的全体 → 可分辨的、研究对象的全体 → 具有某种特性的、研究对象的全体 1918年罗素给出悖论： 一个乡村理发师说，他不给村里自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。 后来他遇到了尴尬，他是否应当给自己刮脸呢？ 如果他给自己刮脸，那么按照他说的前一半，就不应当给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么按照他说的后一半，就应当给自己刮脸。理发师陷入了逻辑两难的困境。

符号化定义（Z-F公理体系） 用大写字母A表示集合；用小写字母a表示元素；用∈表示属于关系。如果元素a属于集合A，则表示为a∈A。 集合由元素唯一确定： 1.外延公理。对于两个集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，则这两个集合是同一集合，记为：A≡B。 集合的性质与分类。 集合的不重复性是什么意思？集合的无序性是什么意思？

函数：初中变量说、高中对应说，为什么？ f1(x) = sin2x + cos2x， f2(x) = 1。 这两个函数是一样的吗？ 对应说：定义域、值域、对应（映射）；集合、对应关系。 三角函数： 初中在直角三角形中讲、高中在单位圆中讲，为什么？ 对数函数与指数函数的关系？

如何定义几何的点线面？ 欧几里得 概念：点没有部分。线只有长度没有宽度。面只有长度和宽度。 平行公理：过直线外一点能且只能做一条平行线。 带来很多的问题 点线：两条直线相交一定交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？

希尔伯特：基本概念符号化（点、线、面；桌子、椅子、啤酒杯） 设想有三组不同的对象： 第一组的对象叫做点，用A，B，C，… 表示； 第二组的对象叫做直线，用a，b，c，… 表示； 第三组的对象叫做平面，用α，β，γ，… 表示。 关联公理：两点唯一决定一条直线、三点唯一决定一个平面 顺序公理：直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边 合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等 平行公理：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行 连续公理：阿基米德公理、完备性公理（庞加莱）

过直线外一点有一条平行线：欧几里得几何 无数平行线：罗巴切夫斯基几何 没有平行线：黎曼几何 三角形内角和 高斯曲率在三角形上的积分 = 三个角的和 – π 曲率：欧式几何 = 0；内角和等于 180 度。 罗氏几何 ﹤0；内角和小于 180 度。 黎曼几何 ﹥0；内角和大于 180 度。 这些几何都有鲜明的物理背景。 公理 → 假设

罗巴切夫斯基几何 从无穷远点出发，可以在地球上得到无数多条平行直线。 北极出地 = 北纬：北半球所有点到北极星的射线都平行。 北极星到地球：434 光年；地球半径：6369 公里。 A a b 赤道 O N

黎曼几何：球面上的几何 两点间直线段最短？两点间所有连线中直线段最短。 北京和纽约都在北纬40度 沿纬度：14311公里 沿大圆：11005公里 缩短：3306公里 球面上最短线为直线：大圆。 所有直线都相交，因此没有平行线。

随机误差模型 x = μ+ε 其中：x 为观测值，μ为真值，ε为随机误差。 统计学工作：估计 μ，检验 μ = a ？估计方差，计算取值分布。 基本方法： 得到样本：x1 = μ + ε1，…， xn = μ + εn 各项相加：x1 + … + xn = nμ + ε1 + … +εn 随机误差满足：ε1 + … + εn = 0 用样本平均估计真值： μ* = (x1+…+xn)/n

用反证法证明√2是无理数。 假设√2不是无理数。（为证明A→P，先假定A→Pc） 因为√2 有理数，可以表示为两个整数的比：√2 = a/b， 其中 a 和 b 没有公因数。则 a2 = 2b2，a2 必为偶数（只有 偶数的平方才能为偶数），所以 a 为偶数。因为 a 和 b 没有公因数，b 必为奇数。 设a = 2c，则a2 = 4c2，于是4c2 = 2b2 或者 2c2=b2，则 b2为偶数、即 b 为偶数。B 不可能又是奇数又是偶数，假设不成立。（根据矛盾律的原则）。 所以√2是无理数。（根据排中律）。