导热 Heat Conduction

总体要求： 　　 定性—导热基本概念，傅立叶定律 　　 定量—温度场求解，导热量计算 导热特点: 1)物体之间不发生宏观相对位移 　 2)依靠微观粒子（分子、原子、 电子等）的无规则热运动 　 3)是物质的固有本质

内容提要 导热的基本概念及定律 导热微分方程式及定解条件 通过典型几何形状物体的导热 通过肋片的导热 导 稳态导热的其他形式 非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热问题 多维非稳态导热的乘积解 半无限大物体的非稳态导热 导热问题的数值解法

重点难点 对傅立叶定律的理解及其应用 导热问题的数学描写（控制方程及定解条件），及求解思路 几种典型情况下（平壁、圆筒壁、球壁及肋壁）一维稳态导 热问题的分析解 非稳态导热的基本概念及其典型问题 用集总参数法求解非稳态问题的思路 用Heisler图求解一维非稳态导热问题的思路 多维非稳态导热问题的乘积解法及其适用条件 用数值解法求解导热问题的一般思路 用能量平衡法获得节点离散方程的原理

应用背景介绍 墙壁的散热 空心砖可以更有效的保持室温 冷饮在冰箱中的降温过程 核反应堆——内热源导热问题 集成电路 激光加工过程

Basic Law and Steady State Conduction 第二章 导热基本定律及稳态导热 Basic Law and Steady State Conduction

§2-1 导热基本定律 1. Fourier’s law 热力学第二定律体现

2.导热系数 Thermal Conductivity 单位时间，单位面积，单位负温度梯度下的导热量。（或在单位温度梯度作用下通过物体的热流密度。）

导热机理 气体：分子热运动 t     固体：自由电子和晶格振动 金属  非金属  t  晶格振动 阻碍自由电子运动 金属  非金属  t  晶格振动 阻碍自由电子运动 液体: 机理不清  固体> 液体 > 气体 取决于物质的种类和温度 热绝缘（保温）材料 insulation material： <0.2W/(mK)(50年代） <0.14W/(mK)（GB84） <0.12W/(mK)（GB84）

是随温度变化的物性 工程处理： 〈1〉取平均 值 2〉采用线性关系近似

3 温度场 temperature field 定义 系统中某一时刻的温度分布 稳态温度场 Steady Temperature Field 非稳态温度场 Transient Temperature Field 按时间 分类 一维温度场 One Dimensional Temperature Field 二维温度场 Two Dimensional Temperature Field 三维温度场 Three Dimensional Temperature Field 按空间

等温面（isothermal surface)，等温线 (isotherm) 等温面—在同一时刻，同温度各点连成的面 二维时则成为等温线 问题—球坐标 t=f (r,)=const.

§ 2-2 导热微分方程式及定解条件 对于简单问题可以直接应用 Fourier’s law, 而对于复杂一些的问题就需要更一般的方法, 而这一方法的基础就是导热微分方程 (Conduction differential equation) 。 一、物理（模型）问题 任一物体，由于某种原因使温度场分布不均匀，则就有导热发生。

二、微分方程的推导 热平衡（热力学第一定律） 导入微元体的总热量+微元微元体内产生的热量== 体内的热量增加+导出微元体的总热量

X方向导入热量 导出热量 用Taylor级数展开 X方向导出导入热量之差 同理在y,z方向热量差

dxdydz 如单位体积内热源生成的热量为 ，则微元体内产生的热量： 微元体内热量的增加（内能的增加）为： 代入能量平衡方程： 化简： 如单位体积内热源生成的热量为 ，则微元体内产生的热量： dxdydz 微元体内热量的增加（内能的增加）为： 代入能量平衡方程： dxdydz t c z q y x ¶ = + - r ] [ t c z q y x ¶ - = + r 化简：

以热流密度表示的导热微分方程在推导过程中没有做任何假设，它是通用的，即可以认为： Fourier 定律 代入上式：

三、导热微分方程的简化 1. 如  =constant 则 (称为热扩散率,导温系数 thermal diffusivity) 令

四、其它正交坐标 2. , 则 3. 稳态: 4. 稳态且 , 则 柱坐标: (cylinder coordinate) , 则 3. 稳态: 4. 稳态且 , 则 四、其它正交坐标 柱坐标: (cylinder coordinate) 球坐标: (sphere coordinate)

五、导热问题的完整数学描述 无内热源、常物性、稳态一维问题的导热微分方程： 问题不能确定，需有定解条件： 〈1〉 初始条件（ initial condition）： = 0 时的温度分布 t  = 0 =f (x,y,z) 〈2〉 边界条件（boundary condition）：边界上的温度分布或换热条件。

边界条件的分类： 第一类边界条件： 规定了边界上的温度值（变量值） 第二类边界条件： 规定了边界上的热流密度（变量梯度） 第三类边界条件： 规定了温度与温度梯度在边界上的线性组合

六、 热扩散系数 thermal diffusivity 导热问题的完整描述 边界条件 六、 热扩散系数 thermal diffusivity 从导热方程看： 温度变化快 扯平能力强 a 故a 是评价温度变化速度的一个指标

导热基本理论总结 导热基本概念 温度场 等温线(面) 温度梯度 导热基本定律 导热问题的完整数学描写 导热微分方程式 温度场 等温线(面) 温度梯度 导热基本定律 导热问题的完整数学描写 导热微分方程式 定解条件: 初始条件和边界条件

§ 2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的的导热 一：通过平壁的导热（slab） 1．问题 ２．模型 即 边界条件：

数学描述 为单位面积导热热阻

更复杂一些的问题，见绪论中的例子： 由此及 得：

解出： 三个热阻的解释 请思考多层平壁的导热热流密度如何计算?

3 多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成 假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等

边界条件： 热阻：

t1 t2 t3 t4 三层平壁的稳态导热

由热阻分析法： 问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？ 第一层： 第二层： 第 i 层：

二、通过圆筒壁的导热 Cylinder 问题:无限长 稳态

故温度分布: 热量可以用Fourier 定律求解:

其中: 故: 注意:

有R的概念, 可以用热电比拟发求解多层圆筒

多层平壁 多层圆筒壁 三、通过球壳的导热 Sphere 见实验指导书

四、其他变截面或变导热系数问题 变导热系数

如果 则可知

§ 2-4 通过肋片的导热 一、 等截面直肋 横截面积Ac=const. 截面周长P=const.

数学描述 由于有对流传热,可以将其化为热源来处理:

单位体积热源为: 则微分方程为: 令 (为过余温度) 方程: 边界条件: 则 特征方程:

通解: 又:

肋端温度:

还有两种边界条件: 则: 处理采用假想高度:

讨论: 有肋时 求时仍用Ac, 强化加的面积哪去? 无肋: 有肋:

二、 其它肋片 用肋效率法求解 1. 肋效率 fin efficiency 所以肋的实际传热量为: 2. 等截面直肋: 其它情况的 可由图查得

影响肋效率的因素 h λ H 截面积等其他因素

一、接触热阻(contact resistance) 两固体互相接触时，由于表面粗糙度的影响，不可能是理想的组合，会成为如图所示的情况。 § 2-5 具有内热源的导热及多维导热 一、接触热阻(contact resistance) 两固体互相接触时，由于表面粗糙度的影响，不可能是理想的组合，会成为如图所示的情况。 此时的导热机制如下： 1. 接触处的热阻 2. 间隙中流体的导热热阻 3. 间隙中的辐射传热 流体 故接触热阻为上述几个热阻之并联,有:

说明: 1.这里没有考虑对流传热,这是因为空间很小, 对流难以展开。 2.接触(面)处的温度分布是三维的,热流密度 是三维的。 接触热阻的定义: <1> 确定方法: 靠实验(理论 上 确定很困难) <2> 减少措施-----加一层铜片或热的良导体,或涂料。

二、具有内热源的导热 1. 物理问题,如右图: 2. 数学描述: 引入过余温度 得:

得:

三、多维稳态导热问题简介 三个边界温度为t1，另一个边界为t2的物体，常物性，无内热源 求解得 定义

四、 形状因子（conduction shape factor） 平壁： 圆筒壁： 则：平壁 圆筒壁 推广:对如右图所示的任意物体： 则为

可见S是一个几何量,称为形状因子，按此定义则: 这样各种形式可以统一起来表示,计算机解题通用化很方便。

稳态导热部分小结 通过无限长平壁的导热 单层 多层 通过无限长圆筒壁的导热 多层 ?

其他变截面或变导热系数问题 通过肋片的导热 (1)等截面直肋的导热 (2)肋效率 (3)肋片换热量的计算 接触热阻 具有内热源的导热 多维稳态导热

第二章的重点与难点 付里叶定律与导热系数 导热微分方程及定解条件 导热微分方程的求解思路 一维稳态导热问题的解析解 (1)如何判断问题是否是一维的? (2)两种求解方法 (3)关于温度分布曲线的绘制

通过肋片的稳态导热 (1)等截面肋与变截面肋 (2)如何判断肋片的温度分布是一维的? (3)肋片导热问题的数学描写及其求解 (4)肋片散热量的计算步骤 (5)关于温度计套管测温误差

典型题分析 写出付里叶定律的一般表达式,并说明式中各量和符号的物理意义? 一维无内热源、平壁稳态导热的温度场如图所示。试说明它的导热系数是随温度增加而增加还是随温度增加而减小？ x t(x) t

如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示的导热体没有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材料并进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热体中的温度不一样。你认为对吗？ t1 绝热 答案： 该说法不对。

平壁与圆管壁材料相同，厚度相同，在两侧表面温度相同条件下，圆管内表面积等于平 壁表面积，试问哪种情况下导热量大？ 答案：圆管壁的导热量大。