? 第二篇 实物的运动规律 第六章 能量 能量守恒定律 第六章第一讲 本章共1讲

提出自学要求，学生自学并完成作业和自学报告， 总结、习题课（2学时） 第六章 能量 能量守恒定律 在牛顿以前很久，已经有一些有胆识的思想家认为，从简单的物理假说出发，通过纯逻辑的演绎，应当有可能对感官所能知觉的现象作出令人信服的解释。但是，是牛顿才第一个成功地找到一个用公式清楚表述的基础，从这个基础出发，他能用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象，并且能同经验相符合。 －－－爱因斯坦（1879－1955） 提出自学要求，学生自学并完成作业和自学报告， 总结、习题课（2学时） 第六章 自学 作业 总结讨论

难点：转动动能，变力的功，一对力的功，势能曲线， 结构框图 动能 动能定理 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 动 能 变化率 功 势 能 保守力 重点: 概念：动能，功，保守力，势能， 规律：动能定理，功能原理，机械能守恒定律 难点：转动动能，变力的功，一对力的功，势能曲线， 复杂问题的分阶段求解，三个守恒定律的综合应用

一 . 功 力对空间累积 中学：恒力作功 扩展：1.功的概念；2.变力的功；3.保守力的功 1.功的概念 1）功是标量 （代数量） A总=A1+A2+……. A>0 力对物体做功 A<0 物体反抗阻力做功 A=0 力作用点无位移 力与位移相互垂直

v 2） 功是过程量 与作用点的位移相关 h 一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。 例如图中 地面系：AG≠0；电梯系：AG=0 mg 与作用点的位移相关 一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。 3） 一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零 力作用点的位移不一定相同 *质点系内力做功的代数和不一定为零 *一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系 的选择无关。(证明见教材118页)

举例说明质点系内力做功的代数和不一定为零 N c v m s M 什么条件下,一对内力做功为零? 作用点无相对位移 相互作用力与相对位移垂直 注意：

注意 2.变力的功 微元分析法： 取微元过程 以直代曲 以恒代变 再求和 a b o

元功： a b o 直角坐标系： 总功：

不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度， 缓慢下拉,则 AF=? 练习： 如图 M=2kg , k =200N.m-1 , S=0.2m , g≈ 10m.s -2 不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度， 缓慢下拉,则 AF=? 解: 用 F 将绳端下拉0. 2 m , 物体 M将上升多高? M F k S 弹簧伸长 0.1 m 物体上升 0.1 m 得

缓慢下拉:每时刻物体处于平衡态 k x (0<x≤0.1m) 前0.1m为变力 F= k x0 =Mg (0.1<x≤0.2m) 后0.1m为恒力 M F k S

3. 计算重力、弹力、引力的功 h h2 h1 o x k m o x1 x2

1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关。 o M m 共同特点： 1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关。 2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数在始末位置的值之差。

二、保守力 势能 1. 保守力 做功与路径无关，只与起点、终点位置有关 （路径L1） （路径L2） a m b L1 L2 对沿闭合路径运动一周的物体做功为零 否则为非保守力（耗散力）

凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。 2. 势能 凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。 x E p 保守力 重力 弹力 引力 势能（E p ） 势能零点 势能曲线 mgh h = 0 x = 0 r = ∞ h r

3. 保守力与相关势能的关系： 1）凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系, 保守力为该势能系统的内力。 2）保守力的功等于其相关势能增量的负值。 物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中保守力做的功。

3） 保守力为其相关势能梯度的负值: 保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向空间变化率 m l θ 指向势能降低最快的方向

m r 练习2： 一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动， （v ＜＜ c）离开地面的高度等于地球半径的二倍 （即2R）。试以 m、R、引力恒量 G、地球质量M 表示出： O r 2R R M m （1）卫星的动能； （2）卫星在地球引力场中 的引力势能； （3）卫星的总机械能。

O r 2R R M m 解： 非相对论问题 ① ② ③ 约束于引力场中，未摆脱地球影响

思考:卫星对接问题 设飞船 a 、b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追 上 b并与之对接，能否直接加速？ 加速，发动机做功，ΔE＞0, 轨道半径R增大,不能对接; 对接方法: a 减速 ΔE<0 R减小 RC轨道 加速 R b轨道

对接方法: a 减速 ΔE<0 R减小 RC轨道 加速 R b轨道

练习： 均匀链 m , 长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长 0.2 l ,施力将其缓慢拉回桌面. 用两种方法求出此过程中外力所做的功. x 1.用变力做功计算 2. 用保守力做功与势能变化的关系计算

光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力大小相等。 解一: 用变力做功计算 光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力大小相等。 设下垂部分长为 x ,质量为 ，以向下为正： 0.8 l 0.2 l x

解二: 用保守力做功与势能变 化的关系计算 0.8 l 0.2 l x 质心 c 令桌面 初态: 末态: 重力做功: 外力功:

三、动能定理 1. 动能（非相对论） 质点： 质点系： 定轴刚体： 2. 动能定理 质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系总动能的增量： 举出内力做功增加质点系总动能的实例。

3. 功能原理 质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系 总机械能的增量

四、机械能守恒 1. 当各微元过程都满足 时， ，系统机械能守恒. 2. 当过程满足 时， 系统初、末态机械能相等. 注意：动量、角动量、能量守恒定律彼此独立 E = c

o c 练习： 如图所示， 已知: M , l , m , , v0 ;击中 l 处 求: 击中时 ; (只列方程) 求: 击中时 ; (只列方程) 分两个阶段求解,各遵循什么规律? o M c 1）相撞: 质点 定轴刚体 对 O 轴角动量守恒 2）摆动: M + m + 地球系统 E 守恒

o M c 1）相撞: 质点 定轴刚体 撞前 撞后 对 O 轴角动量守恒

2）摆动: M + m + 地球系统 E 守恒 动能 Ek 势能增量ΔEp 初态 末态 m: M: o M c

o M c 由此可解出所求值

练习： p134 [例5] 如图所示： 已知：光滑桌面，m , M , k , l 0 , l ， 求： ， m M A B M+m 思考：分几个阶段处理？ 各阶段分别遵循什么规律？

由此可解出： 过程 研究对象 条件 原理 A m与M相撞 A B M + m mg与N平衡弹簧为原长 动量守恒 M + m + 弹簧 只有弹力作功 机械能守恒 M + m 各力力矩都为零 角动量守恒 由此可解出：

练习： 质量为 2kg 的质点位于一维势场中（如图） 已知： 求：1） m 运动范围 2）何处 F>0 3）何处 vmax=? x (m) 2 Ep(J) 4 -4 1 7 9

解：1） 初态 x (m) 2 Ep(J) 4 -4 1 7 9 E 守恒,当 Ek=0时 作曲线 知运动范围 2）要 势能曲线斜率为负:

3） x = 4m 处,势能最小 动能最大, v 最大 x (m) 2 Ep(J) 4 -4 1 7 9

五、碰撞 1.碰撞的两个特点: 1） 在碰撞的短暂时间内相互作用很强,可不考虑外界的影响. 2） 碰撞前后状态变化突然且明显,适合用守恒定律研究运动状态的变化. 2. 对心碰撞（正碰撞）： 指两球碰撞的速度在两球的中心连线上，碰后的速度仍在这一连线上。 以两球系统为例，用 分别表示两球的质量， 碰前的速度为 ；碰后的速度是

由动量守恒定律： 令x 轴与速度矢量平行，则： 恢复系数 碰后两球的分离速度 与碰前两球的接近速度 成正比，比值由两球材料的性质决定。 可得碰撞前后速度变换公式：

3. 完全弹性碰撞 指碰撞前后系统机械能完全没有损失的碰撞，也就是 的碰撞。 从e＝1： 相乘得： 动量守恒： 碰撞后的速度：

讨论： ● 即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是 最初处于静止的情况，即 去碰撞静止的 ，结果 会突然 停止， 接过 的速度前进。原子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。 这时可得： ● 这时可得： 气体分子与器壁的碰撞属于此类。

讨论： 这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球 这时可得： 这样的例子很多，请举之！ 4.完全非弹性碰撞 ● 这时可得： 4.完全非弹性碰撞 指两球碰撞后并不分开，以同一速度运动， 此过程中：

若 ，则机械能完全损失；反之，若 ，则机械能几乎不损失。 打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。 当 的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是： 令 若 ，则机械能完全损失；反之，若 ，则机械能几乎不损失。 打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。

指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。碰撞中机械能的损失是： 5. 非弹性碰撞 指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。碰撞中机械能的损失是： [例]如图所示的装置称为冲击摆, 可用它来测定子弹的速度。质量为M的木块被悬挂在长度为l的细绳下端, 一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中木块, 并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动, 当到达最高位置时, 木块的水平位移为s。试确定子弹的速度。 m

解：根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 由图知 m 解以上三方程的联立方程组得