· · §6-5 麦克斯韦速率分布律 一. 分布的概念 问题的提出 年龄 §6-5 麦克斯韦速率分布律 一. 分布的概念 · 问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述。 · 分布的概念 例如学生人数按年龄的分布 年龄 15 ~16 17 ~18 19 ~20 21~22 人数按年龄的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按年龄的分布 20% 30% 40% 10%

例如气体分子按速率的分布 速率 … 分子数比率按速的分布 ｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布 v1 ～ v2 v2 ～ v3 vi ～ vi +Δv 分子数按速率的分布 ΔN1 ΔN2 ΔNi 分子数比率按速的分布 ΔN1/N ΔN2/N ΔNi/N ｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布

二. 气体速率分布的实验测定 1. 实验装置 2. 测量原理 (1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件 通过改变角速度 w 的大小， 选择速率v (2) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间

三. 速率分布函数 f(v) (3) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数 (3) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数 三. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区间内分子数的比率为 f(v) 称为速率分布函数 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总 分子数的比率。 意义：

四. 麦克斯韦速率分布定律 1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数 k = 1.38×10-23 J / K ( 麦克斯韦速率分布函数 ) k = 1.38×10-23 J / K 式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量 理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为 这一规律称为麦克斯韦速率分布定律

说明 (1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。 任一速率间隔v1到v2 中分子数与总分子数的比率可表示为 速率分布函数满足归一化条件

· · · f(v) 2. 麦克斯韦速率分布曲线 T 由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。 在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布 在v～v+ dv 中的分子 数与总分子数的比率 · · v O v1 v v2 v＋dv ( 速率分布曲线 ) · 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间 的分子数与总分子数的比率

· · · f(v) 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速 T 率范围内所有各个 速率间隔中的分子 数与总分子数的比 率的总和 O v ( 速率分布曲线 ) (归一化条件) · 最概然速率v p f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 · 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系

由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动 f(v) f(v) μ2(> μ1) T1 μ1 T2(> T1) v O v O

五. 分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率 式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量 思考： 是否表示在v1 ~v2 区间内的平均速率 ？

2. 方均根速率 3. 最概然速率

· · · 说明 f(v) (1) 一般三种速率用途各 不相同 T 讨论速率分布一般用 讨论分子的碰撞次数用 讨论分子的平均平动动 O v 能用 v O (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:

(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， 氦气的速率分布曲线如图所示. 例 求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 解 (2) O

例 有N 个粒子，其速率分布函数为 (1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数 求 解 (1) 由归一化条件得 O

(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以 的分子数与总分子数的比率为 因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) 同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )

例 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。 解 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为

例 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 成反比( 设Δv 很小) 证 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有

金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在v~v+dv 之间的几率为 式中A 为常数 例 求 该电子气的平均速率 解 因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以

 ~ + 区间内的分子数与总分子数的比率。 意义： 气体分子按平动动能的分布规律 麦克斯韦速率分布定律 两边微分 代入上式得 上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在  ~ + 区间内的分子数与总分子数的比率。 意义： 思考 最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?

· §6-6 分子的平均自由程和平均碰撞次数 一. 分子的平均碰撞频率 一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为分子的 §6-6 分子的平均自由程和平均碰撞次数 一. 分子的平均碰撞频率 一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为分子的 平均碰撞频率。 · 假设 每个分子都可以看成直径为d 的弹性小球，分子间的碰撞为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A 以平均速率 运动，其它分子都看作静止不动。

· · · 单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 考虑到所有分子实际上都在运动，则有 用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为

二. 分子的平均自由程 分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程 。 用宏观量 p 、T 表示的分子平均自由程为 说明 在标准状态下，各种气体分子的平均碰撞频率的数量级 约为 109 s-1，平均自由程的数量级约为10-7 ~ 10-8 m 。

例 估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率 解 在标准状态下，有 对氢气分子取 ，则 常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！

真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为 1.33× 10-3 Pa 。 例 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 求 解 由气体的状态方程, 有

在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应该是容器的线度。 即