第二节 古典概型 （等可能概型)

我们首先引入一种计算概率的数学模型，它是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为 古典概型

试验E的所有结果 e1, e2, …，en 常常把这样的试验结果称为“等可能的”. 一、古典随机试验 试验E的所有结果 e1, e2, …，en 你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 常常把这样的试验结果称为“等可能的”.

定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为古典随机试验(古典概型).

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 每个 号码(或者说样本点)出现的可能性相同 . 8 5 该随机试验为古典概型. 9 6 1 4 2 3 10 7

1. 定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为： P(A)＝k/n＝ Ω中的样本点总数 称此概率为古典概率. 这样就把求概率问题转化为计数问题 . 2. 性质(P14): 非负性；(2)规范性； (3)有限可加性。

二、古典概率的计算 1、基本计数原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 则完成这件事总共 第二种方式有n2种方法, (1) 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 . 第二种方式有n2种方法, …； 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，

(2) 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有 种不同的方法 . …； 第m个步骤有nm种方法, 必须通过每一步骤,才算完成这件事，

排列组合是计算古典概率的重要工具 . 排列、组合的几个简单公式 1、非重复排列: 从n个不同元素取 k个 不同元素（1 k n)的排列总数为： k = n时称全排列

n=4,k =3 例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张 共有4.4.4=43种可能取法 2. 可重复排列：从n个不同元素可重复取出 k个元素(1 k n)的排列总数为： 3 2 4 1 n=4,k =3 例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张 1 2 3 第1张 4 1 2 3 第2张 4 1 2 3 第3张 4 共有4.4.4=43种可能取法

3、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：

3、古典概率计算举例 例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词： S C I E N C E

解：设A表示事件: “拼成英文单词SCIENCE ” 则七个字母的排列样本点总数为： 7！ 事件A的样本点数为： 这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .

例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 从10个不同数字中 取5个的排列 解： p= =0.3024 允许重复的排列 问： 错在何处？

例3. 将n个人随机分配到N个房间,每个房间 容纳的人数不限.试求下列事件的概率: 解: 样本点总数为: n!

例4 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 解：令B={恰有k件次品} 次品 样本点总数为： 正品 事件B的样本点数为： N-M件 正品 M件次品

例5 一房间有4人，问至少有2人同月 出生的概率？ 解 设A表示事件：“至少有2人同月出生”.

需要注意的是： 1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件. “等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.

2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏. 例6：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？ 9 7 3 2 1 4 5 6 8 10 下面的算法错在哪里？

把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.

第三节 几何概率 几何方法的要点是： 1、设样本空间Ω是平面上某个区域，它的面积记为μ(Ω); 第三节 几何概率 几何方法的要点是： 1、设样本空间Ω是平面上某个区域，它的面积记为μ(Ω); 2、向区域Ω上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入Ω内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.

3、设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域A的概率(几何概率)定义为 （*） 4、假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向Ω上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.

解：设x, y 分别表示两人到达约定地点时刻。 例1（约会问题） 两人约定于0到T时刻在 某地会面，先到者等t (t小于等于T)时 后可离去，问两人能相见的概率？ 解：设x, y 分别表示两人到达约定地点时刻。 y T t x t T

例2 （蒲丰的针问题）在平面上有等距离为 的一些平行线，向平面上随意投掷一长为 的针，试求针与平行线之一相交的概率？ 解 设 是针的中点 到平行线的最短距离， 是针与平行线的夹角，（如图示）

a/2 π Ω

几何概率的性质（P17—P18） （1）非负性； （2）规范性； （3）有限可加性；（4）可列可加性。