量 及 变 其 机 分 随 布 第 章 二

为更好地揭示随机现象的规律性并利 随机变量概念的产生 上一章中，随机试验的结果用基本事件 的集合表示。 局限性 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 全面性 为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.

1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份济南的最高温度； 电脑的使用寿命……

例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是说，把试验结果数值化. 例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述 这种对应关系 随 机 变 量

§2.1 随机变量及其分布函数 一.随机变量 ( random variable ) 定义 设  是试验E的样本空间, 若 §2.1 随机变量及其分布函数 一.随机变量 ( random variable ) 定义 设  是试验E的样本空间, 若 按一定法则 则称 X ( ) 为  上的 随机变量 ω. X(ω) R

随机变量 是 上的映射, 此映射具有如下特点 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 定义域 事件域  随机变量 是 上的映射, 此映射具有如下特点 定义域 事件域  随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性 X 以一定的概率取某个值

随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母 , , 等表示 而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.

有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来. 引入随机变量的意义 (1) 任何随机现象可被 r.v.描述 有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} { X 1} {没有收到呼叫} {X= 0} (2) 借助微积分方法研究规律

可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究. 随机变量及其 取值规律 事件及 事件概率

随机变量的分类 所有取值可以 逐个一一列举 随机变量 离散型 非离散型 -----连续型 有无穷多取值 不能一一列举 充满一个区间

为了对离散型的和连续型的 r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念. 0.1 0.3 0.6 k PK 1 2 f (x) x o

———|——> 二.随机变量的分布函数 定义 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数 为 X 的分布函数. x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率.

用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率： 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.

分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.

分布函数的性质 (1) F ( x ) 单调不减，即 (3) F ( x ) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.

三.离散型随机变量及分布律 定义 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 即 X 或 P

或 X ~ 分布律的性质 非负性 归一性 用性质可以判断 是否为分布律

离散型随机变量的分布函数 其中 . 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 其中 . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .

例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示 例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数. 解 出发地 甲地

k pk 0 1 2 3 4 代入 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 ] • ] ] • x ] • 1 2 3 4 x

x F( x) 1 • • o • o • o • o o • 1 2 3 4

用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算 解 或 此式应理解为极限

例3. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 解: 依据概率函数的性质: P(X =k)≥0, a≥0 欲使上述函数为概率函数 应有 a≥0 从中解得 这里用到了常见的 幂级数展开式

四. 常见离散型随机变量的分布 超几何分布 1.超几何分布 例 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，现从中任取 n 件，用 X 表示其中的次品数，求其分布律。 超几何公式 超几何分布

例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中率是 p，求所需射击发数X 的分布律. 2.几何分布 例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中率是 p，求所需射击发数X 的分布律. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， P(X=1)=P(A1)=p,

若随机变量X的概率分布如上式，则称X具有几何分布. 不难验证:

X 0 1 Pk 1 - p p 0 < p < 1 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 应用 场合 3. 两点分布（0 – 1 分布） X 0 1 Pk 1 - p p 0 < p < 1 或 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 应用 场合 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.

4. 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布

二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 由图表可见 , 当 时， x P • 1 2 3 4 5 6 7 8 分布取得最大值 0.273• 此时的 称为最可能成功次数

设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 • x P 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 20 由图表可见 , 当 时， 0.22 • 分布取得最大值

二项分布中最可能出现次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p  整数时, 在 k = [( n + 1) p ]处的概率取得最大值 [x] 表示不超过 x 的最大整数

令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) 例 独立射击400次, 命中率为0.01, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； 例 独立射击400次, 命中率为0.01, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于3次的概率. 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) (1) k = [( n + 1)p ] = [( 400+ 1)0.01] =4 问题 如何计算 泊松近似

若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松(Poisson)分布. 或 记作 在某个时段内： 5. 泊松分布 应用场合 市级医院急诊病人数； 某地区拨错号的电话呼唤次数； 某地区发生的交通事故的次数. 一本书一页中的印刷错误数.

泊松分布的图形特点： 泊松分布中最可能出现次数 当λ= 整数时,在λ与λ– 1 处的概率取得最大值 当λ 整数时, 在 [λ]处的概率取得最大值

例 一家商店由过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数服从参数λ=5 的泊松分布，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少件？ 设该商品每月的销售数为X ，月底应进m件商品 P(X≤m)>0.95 P(X>m) ≤ 0.05 查泊松分布表得 m+1=10, m=9件

二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，必须寻求近似方法. 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们将介绍二项分布的正态近似.

Possion定理 设 , 则对固定的 k 结论 二项分布的极限分布是 Poisson 分布 若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 则 n > 10, p < 0.1时近似效果较好

利用Poisson定理再求前例 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) (2) 命中次数不少于3次的概率. (2) 命中次数不少于3次的概率. 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) 泊松近似 查附表3泊松分布表

例 保险公司里有2500人参加某种事故保险，每人每年付120元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0 例 保险公司里有2500人参加某种事故保险，每人每年付120元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0. 002，发生事故时家人可向保险公司领得20000元. 问： (1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？ (2) 该项保险的利润不少于10万元的概率有多大？ 令X 表示出事故人数,则 X ~ B(2500,0.002) 亏本 泊松近似 几乎不亏本 利润不少于10万 可能性极大

思考 设同类型设备100台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 一台设 备发生故障可由一个人维修. 问至少要配备 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 一台设 备发生故障可由一个人维修. 问至少要配备 多少维修工人，才能保证当设备发生故障时 不能及时维修的概率小于0.01? （教材 P50-10） 思考 解 设需要配备 N 个维修工人, 设 X 为同时发生故障的设备台数， 则 X ~ B( 100, 0.01) 泊松近似

查附表3得 N+1=5 N = 4 至少要配备4名维修工人