1．4　 一元二次不等式 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．二次函数性质、图象． 2．解一元二次不等式． 3．有约束条件二次函数的最值． 4．二次函数、二次方程与一元二次不等式解间的关系，一元二次不等式的应用． (二)能力训练点 1．理解一元二次函数，一元二次方程与一元二次不等式间的关系． 2．掌握解一元二次不等式的方法． 3．掌握求有约束条件二次函数最值． 4．能灵活应用解不等式知识求区间根的问题． (三)德育渗透点 通过理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式间的关系，不仅提高学生解综合问题的能力，也使学生初步树立辩证观．

二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：掌握解一元二次不等式的方法，会求有约束条件的二次函数最值，应用一元二次不等式知识解区间根问题． 2．教学难点：理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系，讨论区间根问题． 3．教学疑点：正确区分绝对不等式f(x)＞0与f(x)＜0条件的差异． 三、课时安排 本课题安排2课时． 四、教与学过程设计 第一课时 初中我们学过一元一次不等式，前面进一步学习|ax+b|＜c与|ax-b|＞c型的不等式，这里虽有绝对值符号，但是一次的．现在，我们将提高一步学习一元二次不等式(宣布课题)． 1．二次函数及图象 师：设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，试问什么时候二次函数图象与x轴有二交点？一交点？无交点？

生：判别式Δ=b2-Δac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点． 师：当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．试作，当a＞0时，y=f(x)图象，当a＜0时，y=f(x)的图象． 师指出，一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根． 观察图象不难知道．

师提问：当△=0，y=f(x)图象与x轴交点几个？其图象？ 师指出，观察图象不难知道 △=0，a＞0　 △=0，a＜0 师问：当△＜0时，y=f(x)图象与x轴有公共点吗？其图象？ 生：当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为

师指出：观察图象不难知道． a＞0时 绝对不等式f(x)＞0解为x∈R． 绝对不等式f(x)＜0解为x∈R． 2．例举(师生共同活动) 例1　 解不等式(x+4)(x-1)＜0． 解：令(x+4)(x-1)=0得 x1=-4，x2=1，△＞0，又a＞0． ∴　 不等式解为 -4＜x＜1．

例2　 解不等式2x2-3x-2＞0． 解：令2x2-3x-2=0，得 ∴不等式解为 例3　 解不等式-3x2+6x＞2． 解：原不等式为-3x2+6x-2＞0． 令-3x2+6x-2＝0，得

例4　 解不等式4x2-6x+1＞0． 解：令9x2-6x+1=0，得 例5　 解不等式x2-x+2＜0． 解：令x2-x+2=0 ∵△＜0，a＞0， ∴不等式解为x∈ ． 例6　 解不等式x2+mx-6m2＜0． 解：令x2+mx-6m2=0有 △=m2+24m2≥0，x1=2m，x2=-3m． 又a＞0 当x＞0时，x1＞x2． ∴不等式解为

-3m＜x＜2m． 当m＝0时，x1=x2． ∴不等式解为 x∈ 当m＜0时，x1＜x2． 2m＜x＜-3m． 3、练习(略) 五、作业(略) 六、板书设计

第二课时 一、教与孝过程设计 师：上节课学习了一元二次函数图象，解一元二次不等式．本节课将进一步学习一元二次函数性质、解一元二次不等式在求最值与解区间根问题的应用(宣布课题)． 1．一元二次函数性质 师：设有一元二次函数y＝2x2-8x+1试问，它的标准式是什么？顶点坐标？对称轴？单调区间？

生：y＝2(x-2)2-7 其顶点坐标为(2，-7) 对称轴x＝2， 从图象不难看到当x＞2时，随x变大，y的值也变大，当x＜2时随x值变大，y的值反而变小． 师：进一步，考虑一般情况，设有二次函数y＝ax2+bx+c(不设妨a＞0)，试问，它的标准式是什么？顶点坐标？对称轴？单调区间？ 生：经配方有

2．有约束条件最值 师提问：设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问， 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？ 由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？ 生：经配方有y＝2(x-2)2-7 ∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边， ∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此 ymax=f(4)＝1． ymin＝f(3)＝-5． 师提问：设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问， 此函数对称轴是什么？

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？ 由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值． 生：经配方有y＝2(x-a)2+3． 对称轴为x=a． 当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大． 当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大． 当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．

根据上述分析，可知． 当a≤3时， ymax=f(4)=2a2-16a+35． ymin=f(3)＝2a2-12a+21． 当3＜a＜4时， ymin＝f(a)＝3． 其中，a≤3.5时， yamx＝f(4)＝2a2-16a+35． a≥3.5时， ymax＝f(3)＝2a2-12a+21． 当≥4时， ymin＝f(4)＝2a2-16a+35．

3．区间根问题。 师：在初中学习一元二次方程时，我们已学过方程无实根，有相等实根，有两不等实根的条件，此时，没有考虑根在什么范围内，在高中，将进一步学习根在指定区间内应满足的条件，下面将通过具体的例题说明之． 设有一元二次方程 x2+2(m-1)x+(m+2)＝0． 试问： (1)m为何值时，有一正根、一负根． (2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m为何值时，有两正根． (4)m为何值时，有两负根． (5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？ 生：(在教师帮助下回答问题)

(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0． 师问：此时为什么设考虑△＞0呢？ 生：因为，x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0． (2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0． 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1＜0．

依韦达定理有 师问：若缺少条件△＞0行吗？ 存在如图1-12所示的二次函数，开口向上，与x轴无交点． 因此，方程f(x)＝0无实根，不合题设．

(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即 [9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0． ∴(7m+1)(9m+10)＜0．

二、作业(略) 三、板书设计