§ 4.1 二次曲线的射影定义 一、二次曲线的代数定义 定义4.1 坐标满足 § 4.1 二次曲线的射影定义 一、二次曲线的代数定义 定义4.1 坐标满足 的所有点(x1, x2, x3)的集合称为一条二阶曲线. 其中(aij)为三阶实对称阵, 秩(aij)≧1. 定义4.1' 坐标满足 的所有直线[u1, u2, u3]的集合称为一条二级曲线. 其中(bij)为三阶实对称阵, 秩(bij)≧1. 代数：S=0, T=0实三元二次型全体零点的集合. 几何：S=0, 点的集合(轨迹), 二阶曲线; T=0, 直线的集合(包络), 二级曲线. 对同一几何对象的不同表达. 统称：二次曲线.

§ 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线. 即：O(p) O'(p') 若A+B↔A'+'B'： 则的方程为

§ 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点的地位平等,任意取定上相异二点为束心与上的点连线则得到两个也生成此的射影线束.

§ 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 证明. 设由O(P) O'(P)生成. 只要证 设 设 分别以AM, BM截, 得 注意到 从而对应点的连线共点, 即AA', BB', KK'共点于S. 但是 为定点, 故当M变动时, KK'经过定点S. 即

§ 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P')生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 推论4.1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线. 推论4.1' 平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线. 推论4.2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成. 推论4.2' 任一二级曲线可由两个射影点列生成. 推论4.3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值. 推论4.3' 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值. 注：推论4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用.

§ 4.1 二次曲线的射影定义 三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论, 我们有 § 4.1 二次曲线的射影定义 三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论, 我们有 定义4.3 在射影平面上, 称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线. 定义4.3' 在射影平面上, 称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线. 思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的. 提示：考虑透视对应、射影变换的情况. 注 请自学教材例4.2, 并与§2.3(P.67)习题6, 7比较.

§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 本部分总假定：所论二次曲线为非退化的. 1. 定义 § 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 本部分总假定：所论二次曲线为非退化的. 1. 定义 定义4.4 与二阶曲线交于两个重合的点的直线称为的切线.

§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 问题：已知二阶曲线 求过定点P(pi)的的切线方程. § 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 问题：已知二阶曲线 求过定点P(pi)的的切线方程. 设Q(qi)为平面上任一点. 则直线PQ上任一点可表为xi=pi+qi. PQ为的切线Q为的过P的切线上的点 PQ交于两个重合的点将xi=pi+qi代入 ：S=0后只有一个解. 代入得 即 即

§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 为简便计, 引入记号 以上述记号代入，(2)式可写为

§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 从而, Q(qi)在过P(pi)的切线上(3)对有二重根=0 § 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 从而, Q(qi)在过P(pi)的切线上(3)对有二重根=0 (4)式即为Q(qi)是过P(pi)的切线上的点的充要条件. 习惯地, 将其中的流动坐标qi换为xi , 得到二阶曲线过点P(pi)的切线方程为 (5)式为一个二次方程, 故经过平面上一点P一般有两条切线. 如果P在上, 则Spp=0, 从而, 二阶曲线上一点P处的切线方程为

§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 § 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 注：教材P.104, (4.10)－(4.12)关于Sp=0常用的等价写法中 在S中, 将xj(ji)视为常数, 对xi求导数, 称为S对xi的偏导数. S对xi的偏导函数在点P(p1,p2,p3)处的取值, 即把P的坐标代入.

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