第一节 二阶与三阶行列式 线性代数 扬州大学数学科学学院

一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组

方程组的解为 由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义 即

二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线 副对角线 对于二元线性方程组 若记 系数行列式

则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式.

例1 解

二、三阶行列式 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

.列标 行标 三阶行列式的计算 (1)沙路法

(2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组 的系数行列式

若记 或

记 即

得

得

则三元线性方程组的解为:

例２ 解 按对角线法则，有

例3 解 方程左端

例4 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式

同理可得 故方程组的解为:

三、小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算

思考题

思考题解答 解 设所求的二次多项式为 由题意得 得一个关于未知数 的线性方程组, 又 得

故所求多项式为

第二节 全排列、逆序数 线性代数 扬州大学数学科学学院

一、概念的引入 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 解 百位 1 2 3 3种放法 十位 1 2 1 3 2种放法 1种放法 个位 1 2 3 共有 种放法.

二、全排列及其逆序数 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理

排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 定义 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序

定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 1 逆序数为3 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.

计算排列逆序数的方法 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.

方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;

5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为

例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列.

解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列.

解 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列.

三、小结 1 个不同的元素的所有排列种数为 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.

思考题 分别用两种方法求排列16352487的逆序数.

思考题解答 解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7 用方法2 由前向后求每个数的逆序数.

第三节 n阶行列式定义 线性代数 扬州大学数学科学学院

一、概念的引入 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．

（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 偶排列 列标排列的逆序数为 奇排列

二、n阶行列式的定义 定义

说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为

例1　计算对角行列式 解 分析 展开式中项的一般形式是 所以 只能等于 , 从而这个项为零， 同理可得

即行列式中不为零的项为 例2 计算上三角行列式

解 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有

例3

同理可得下三角行列式

例4 证明对角行列式

证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕

例5 设 证明 证 由行列式定义有

由于 所以 故

三、小结 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的. 2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.

思考题 已知

思考题解答 解 含 的项有两项,即 对应于

第三节 n阶行列式定义 线性代数 扬州大学数学科学学院

一、概念的引入 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．

（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 偶排列 列标排列的逆序数为 奇排列

二、n阶行列式的定义 定义

说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为

例1　计算对角行列式 解 分析 展开式中项的一般形式是 所以 只能等于 , 从而这个项为零， 同理可得

即行列式中不为零的项为 例2 计算上三角行列式

解 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有

例3

同理可得下三角行列式

例4 证明对角行列式

证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕

例5 设 证明 证 由行列式定义有

由于 所以 故

三、小结 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的. 2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.

思考题 已知

思考题解答 解 含 的项有两项,即 对应于

第五节 行列式性质 线性代数 扬州大学数学科学学院

一、行列式的性质 记 行列式 称为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.

证明 按定义 又因为行列式D可表示为

故 证毕 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 是由行列式 变换 两行得到的,

即当 时, 当 时, 于是 则有

故 证毕 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明

性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 例如 则D等于下列两个行列式之和：

性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如

二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 例１

解

例2 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得

例3 证明

证明

三、小结 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 行列式的6个性质 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．

思考题

思考题解答 解

第六节 行列式按行(列)展开 线性代数 扬州大学数学科学学院

一、余子式与代数余子式 例如

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如

引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如

证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 在证一般情形, 此时

得

得

中的余子式

于是有 故得

二、行列式按行（列）展开法则 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证

例1

例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证 用数学归纳法

n-1阶范德蒙德行列式

推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证

相同 同理

关于代数余子式的重要性质

例３ 计算行列式 解 按第一行展开，得

例４ 计算行列式 解

三、小结 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

思考题 求第一行各元素的代数余子式之和

思考题解答 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

第七节 克莱姆法则 线性代数 扬州大学数学科学学院

非齐次与齐次线性方程组的概念 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组.

一、克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即

那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

证明 在把 个方程依次相加，得

由代数余子式的性质可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一个解

由于方程组 与方程组 等价, 故 也是方程组的 解.

二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理 定理　 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.

定理　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 系数行列式 有非零解.

例1 用克拉默则解方程组 解

例2 用克拉默法则解方程组 解

例3 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？

解 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解.

三、小结 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?

思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.

第一章 习题课 线性代数 扬州大学数学科学学院

１　全排列 　　把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）． 　　　个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且　　　．

２ 逆序数 在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序． 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． ２　逆序数 　　在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序． 　　一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． 　　逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列．

３ 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求 ３　计算排列逆序数的方法 方法1 　　分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这　 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数． 方法2 　　分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．

４ 对 换 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 定理 ４　对　换 定义 　　　在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 定理 　　　一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．

５　n阶行列式的定义

６　n阶行列式的性质

７　行列式按行（列）展开 １）余子式与代数余子式

２）关于代数余子式的重要性质

８　克拉默法则

克拉默法则的理论价值 定理 定理

定理 定理

典　型　例　题 一、计算排列的逆序数 二、计算（证明）行列式 三、克拉默法则

一、计算排列的逆序数 例１ 解 　　分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数．

于是排列的逆序数为 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列．

二、计算（证明）行列式 １　用定义计算（证明） 例２　用行列式定义计算

解

　　评注　本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法． 注意

例３　设

证明 由行列式的定义有

　　评注　本题证明两个行列式相等，即证明两 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法．

２　利用范德蒙行列式计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 例４　计算

解

　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知

　　评注　本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式．

３　用化三角形行列式计算 例５　计算

解

提取第一列的公因子，得

　　评注　本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的．

４　用降阶法计算 例６　计算 解

　　评注　本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．

５　用拆成行列式之和（积）计算 例７　证明 证

６　用递推法计算 例８　计算 解

由此递推，得 如此继续下去，可得

评注

７　用数学归纳法 例９　证明

证 对阶数n用数学归纳法

评注

小结 　　计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．

三、克拉默法则 当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为 　　当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为 了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适 当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解．

解 设所求的二次多项式为 由题意得

由克莱姆法则，得 于是，所求的多项式为

证

例12　有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千 克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含 氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮 70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要 求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化 肥各需多少千克？ 解

例13

解

第一章 　　测试题 一、填空题(每小题4分，共40分)

二、计算下列行列式(每小题9分，共18分)．

三、解答题(9分)． 有非零解？

四、证明(每小题8分，共24分)．

五、(9分) 设 行列式 求第一行各元素的代数余子式之和

测试题答案