第十一章 电磁场与电磁波 §11-1 位移电流 麦克斯韦方程组 §11-2 加速运动电荷的电磁场 §11-3 电磁场的能量和动量

§11-1 位移电流 麦克斯韦方程组

一、位移电流 1、电磁场实验规律的总结 电场中的高斯定理 磁场中的高斯定理 法拉第电磁感应定律 安培环路定理

麦克斯韦用对称性原理对电磁场的实验规律进行总结， 发现有两种不对称： 　第一种不对称是两个高斯定理， 　这很好解释，因为自然界不存在磁单极。 第二种不对称是两个环流定理：

+qi -qi D K 2、位移电流的引入： 由电流强度的定义及电场的有关知识有 考察如右充电电路；充分注意电路中电流i与极板间D的关系，

　这就是说，电路中的传导电流i与穿过两极板间的电位移通量的变化率dD／dt间存在着一一对应的关系，同样的方法，我们还可以建立起极板上的电流密度J与极板间的电位移的变化率dD／dt之间的一一对应的关系，即 这说明，在两极板间虽然没有自由电荷移动形成的传导电流，但 却存在着一种变化的电场 dt dD d D 和 f ，且这个变化的电场对时间的变化 率与电路中的充电电流及电流密度间存在着严格的对应关系，并且 是同步的。 因此麦克斯韦提出了一个大胆的假设：如果把极板间变化的电场看成电流的话，那么电路中的传导电流，借助于极板中变化的电场这种电流 （即位移电流）就连续起来了…，为此麦克斯韦作出定义：

等于该点的电位移矢量 ① 电场中某一点的位移电流的密度 对时间的变化率，即 ②电场中某一截面处的位移电流 等于通过该截面处的电位 移通量 3、全电流的概念 所谓全电流：通过某一截面的传导电流和位移电流之代数和称作为通过该截面的全电流，即

+qi -qi S2 S1 I传 ID  K 4、全电流的安培环路定理及引入位移电流的物理意义 ※全电流的安培环路定理 式中S是以l为周界所围面积。 1)这说明位移电流和传导电流一样，可在其周围空间激发起涡旋 磁场，这一点已在实验中得到了证实。 2）这时H的环流与E（2）的环流不仅形式上而且在物理上也对称了

积分对称关系 3)变化的电场激发的涡旋磁场间的关系遵从右手螺旋法则， E2 而变化的磁场激发的涡旋电场间的关系遵从左手螺旋法则。

5、位移电流与传导电流之异同 ①相同处： 都可以激发涡旋磁场。 不过在一般情况下，位移电流产生的磁场很弱不易被人们所觉察，但在超高频情况下，位移电流激发的磁场也是很强的。 ②不同处： 　传导电流是自由电荷的定向移动，只能存在于导体或溶液中 位移电流不存在电荷的移动，而是电场对时间的变化率，即使在真空中也可有位移电流。 传导电流在导体中产生焦耳热，真空中的位移电流不产生焦耳热。

但是，介质中的位移电流是要产生热能的，只不过这种热不称为焦耳热，这种热是微波炉中对食物加热的基本原理。 即电场变化引起单位体积中电偶极矩的变化。食物中的分子电矩在外电场力矩的作用下不断地改变方向。在变向旋转的过程中，分子间不断地的碰撞、摩擦，将电能转变成物质的内能。

二、麦克斯韦统一电磁场理论的基本思想 1、随时间变化的电场产生涡旋磁场，随时间变化的磁场产生涡 旋电场，并形成统一的电磁场。 静电场，稳恒电场，稳恒磁场只是统一电磁场的特殊情况。 2、若变化的电场在其周围空间激发起变化的涡旋磁场，则变化 的磁场又在其周围空间激发起变化的涡旋电场，如无介质的 吸收，电与磁的相互转化就会永远重复下去，并由近及远地 传播开去，这就是电磁波。 3、电磁波在真空中的传 播速度等于光在真空 中的传播速度，可见 光波就是电磁波。

三、麦克斯韦方程组 1. 通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面所包围的自由 电荷的代数和。 1. 通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面所包围的自由 电荷的代数和。 2.电场强度沿任意闭合曲线的线积分等于以该曲线为边界的 任意曲面的磁通量的变化率的负值。 3.通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。 4.磁场强度沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以该曲线为边 界的曲面的全电流。

四、麦克斯韦方程组的微分形式 　麦克斯韦方程组的积分形式只能适用于一定范围内（例如一个闭合回路或一个闭合曲面内）的电磁场，而不能适用于某一点的电磁场。为此目的我们引入其微分形式 用算符表示为 式中div――表示对某矢量求散度， 在直角坐标系中为 rot――表示对某矢量求旋度 grad――表示对标量求梯度，

在有介质存在时，E和B都与介质的特性有关，因此上述麦克斯韦方程组是不完备的，还需要再补充描述介质性质的下述方程 式中的ε、μ、σ分别是介质的介电常数、磁导率和电导率。 　如果利用边界条件，初始条件及介质的影响，原则上可以解决宏观电动力学中的一切问题。这一理论已广泛地应用于现代电工学，电子技术，光纤通迅中。其理论上的一个重要成果是预见了电磁波的存在，并预言了电磁波的传播速度就是光速 。即 在真空中 若将0＝4－7T·m·A－1、0＝8.8542－12C2N－1代入上式中，可算得 与实验吻合

赫兹在1888年用实验首先证实了电磁波的存在 ▲平面电磁波的性质： x E z c y 1、E、H是同频率简谐振动且位相相同； 5、电磁波的传播速度由介质决定： 。 是介质的介电 常数、 是介质的磁导率。

▲电磁波谱 电磁波按波长或频率的顺序排列成谱，称为电磁波谱。 可见光的波长范围 能引起人的视觉的是电磁波中的E矢量。 x 射 线 电 磁 波 谱 无线电波 微波 红外线 可见光 紫外线 r射线 x 射 线 HZ 102 10 10 -2 10 -4 10 –6 10 –8 10 –10 m 104 可见光的波长范围 能引起人的视觉的是电磁波中的E矢量。

电磁波的应用 1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在。 1895年俄国科学家波波夫发明了第一个无线电报系统。 1914年语音通信成为可能。 1920年商业无线电广播开始使用。。 20世纪30年代发明了雷达。 40年代雷达和通讯得到飞速发展， 自50年代第一颗人造卫星上天，卫星通讯事业得到迅猛发展。 如今电磁波已在通讯、遥感、空间探测、军事应用、科学研究等诸多方面得到广泛的应用。

例11－１ 试证：平行板电容器中的位移电流可写为 式中Ｃ是电容器的电容，U是极板间的电势差 解 而在平行板电容器两极板之间 而由电容器的定义有

例7－2半径为R的两块圆板，构成平行板电容器放在真空中，今对电容器匀速充电，使两板间电场的变化率为dE/dt ，求两板间的位移电流，并计算电容器内离两板中心连线r < R处的磁感应强度B。 解： 由于磁场对称分布，即在环周上各点H值相等，所以：

例11-3 图示为一充电后的平行板电容器，A板带正电，B板带负电，将开关K合上时，A、B之间的电场方为 , 位移电流方向为 （按图上所标X轴正方向回答）。 答： X轴正向; X轴负向（全电流连续）。

（B）库仑／秒 例11－4电位移矢量的时间变化率　　的单位是： （A）库仑／米2 （C）安培／米2 （D）安培·米2 故应选 C

I P B E 例11－5 圆形平行板电容器，开始充电，试画出充电过程中，极板间某点处电场强度的方向和磁场强度的方向。 例11－5　圆形平行板电容器，开始充电，试画出充电过程中，极板间某点处电场强度的方向和磁场强度的方向。 I 　图中上极板充电时带正电，所以 　竖直向下； B P E Id 　又电容器内位移电流与导线上充电电流方向相同。 　所以， 位置在极板中间对称面上左侧一点P的 、方向垂直向里。

例11－6　如图，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环 路L1、L2磁场强度H的环流中，必有 答：选（C）

例11－7 加在平行板电容器极板上的电压变化率为1. 06V/s，在电容器内产生1 　例11－7　 加在平行板电容器极板上的电压变化率为1.06V/s，在电容器内产生1.0A的位移电流，则该电容器的电容量为＿＿＿＿＿＿＿F。 解：位移电流公式： 又由例11－1可得： 代入数值可算得：

※五、磁单极 磁单极就是磁荷。 在经典的电磁场理论中，麦克斯韦方程组中有 　这意味着和电荷相对应的磁荷（磁单极）不存在，因而，电和磁并不处于完全对称的地位，人们对此不很满意。 近代对磁单极的讨论始于1931年狄拉克的一篇文章。狄拉克指出：磁单极的存在与电动力学不矛盾，而且由此可以导出电荷的量子化。他指出，如果磁单极存在，则单位磁荷g0与电子电荷e应有下述关系：g0 = 68．5e 　　　　　　　　 在现今的关于电磁、弱、强相互作用的大统一理论中，认为磁单极的质量约为质子质量的1020倍。

有一种大爆炸理论指出：在宇宙大爆炸后的10-35秒内，宇宙的温度为1030K，此时可以产生能量极高的磁单极。但是由于大爆炸引起的膨胀，使宇宙物质的温度很快下降。这样，极性相反的磁单极就易于发生湮灭，使得宇宙中幸存的磁单极廖廖无几。在大爆炸后的百分之一秒，宇宙中磁单极的密度大约是4×1019cm空间中有一个。 几十年来，不少人千方百计地捕捉磁单极。 1975年夏，美国加利福尼亚大学和休斯顿大学组成的一个联合科研小组声称，他们在利用安放在高空气球上的探测仪器测量宇宙射线时发现了磁单极的痕迹。对他们的结果，许多人持怀疑态度。

1981年，美国斯坦福大学的Blas.Cabrera（卡勃莱拉）把一个直径5cm的铌线圈降温到9K,使之成为超导线圈,并把它放在一个超导的铅箔圆筒中。圆筒屏蔽掉一切带电粒子的磁通量，只有磁单极进入铌线圈后可以引起磁通量的变化。1982年2月14日下午1时53分，他的仪器测到磁通量突然增高。经过反复研究，Cabrera认为这是磁单极进入铌线圈引起的变化。 到1982年3月11日为止，这个实验共做了151天。在这151天内就只发生了这个事例，以后虽经扩大线圈面积再也没有发现第二个事例。当然要肯定这一结果，还必须能够重复做出这个实验。 果真能找到磁单极的话，电荷的量子化就能得到很好的解释，现在的物理学也会有一个较大的变化，电磁场理论和量子电动力学需要做必要的修改，对宇宙的认识也会更深入一步。

*§11-2 加速运动电荷的电磁场 一、加速运动电荷的电场 *§11-2 加速运动电荷的电磁场 一、加速运动电荷的电场 　设有一点电荷q原来静止在原点o，t = 0 → t＝的时间内、 以加速a运动、由0→P点，t =  时速度 v＝a  （v<<c）， t＝ 后任一时刻 t，作以速度v＝a  的匀速直线运动。 如图示，点电荷q原来静止在原点o，t=0 → t＝, 以加速a运动，而到达P点，这一段时间内由于电荷的加速运动，它周围的电场会发生扰动。这一扰动以光速c向外传播。在时刻 t 这一扰动的前沿到达以O为圆心，以r为半径的球面上。因为光速是最大的速度，此时刻没有任何变化的信息传到球面以外。因此，球面外仍是电荷静止在o点时的静电场，它的电力线是从o点引出的沿半径方向的直线。

t 时刻电荷周围空间的电力线分布图 ct P Q c(t-) x 在时刻t电荷q的电场

在 t＝ 时刻，电荷在p点停止加速。由电荷加速引起的电场变化（q在P点时引起的）的后沿已向四周传播了c(t－ )的距离。即到达以p为中心、 c(t－ )为半径的小球面。 由于从t＝开始电荷作匀速运动，所以在小球面内的电场是作匀速直线运动电荷的电场。根据 v <<c 的假设，这球面内的电场在任意时刻都近似为静电场，在时刻 t，这一电场的电力线是从此时刻q所在点（Q点）引出的沿半径方向的直线。 显然，在上述两个静电场之间的区域，有一个由电荷加速而引起的电场扰动而形成的过渡区。随着时间的推移，过渡区的半径（ct）不断扩大，电场的扰动将随时间以速度c由近及远传播出去。这一传播就是一种特殊形式的电磁波。

　由高斯定理知，在过渡区两侧的电力线总条数是相等的，而且通过过渡区时电力线也应该是连续的。 　因此用电力线描绘整个电场时，应该把过渡区两侧同一方向的电力线连起来。这样，在过渡区，电场电力线就要发生扭折，正象图中所画的那样。在v<<c的情况下，这段扭折可以当直线段看待。

c 过渡区域内的电场 ： 选用与x轴成角的那条电力线，由于 v<<c ，故把o和P看作一个点， vt Q r=ct x Q r=ct x vtsin Er  E E （O－P是初速度为零的匀变速运动，其平均速度为v/2） vtsin c 　过渡区的电场E可分解成Er和E， 由图中几何关系和 v=a 和 r=ct 可知

电力线在过渡区连续，就意味着Er分量仍是静电场中的径向分量，即　 E它随r的一次方成反比地减少、比静电场随r的二次方成反比地减少要慢。因此，在离开电荷足够远的地方，当静电场已减少到可以忽略的程度时，加速运动电荷的横向电场还有明显的强度。这横向电场就是能传播到远处的电磁波的组成部分。

二、加速运动电荷的磁场 加速运动电荷的电场在空间传播时是变化的电场，与变化的电场相联系必然有磁场存在。 A E Er E en F vt Q Er  E E c r=ct x ⊙ ⊕ A B F F／ en A／ 磁感应线是在垂直于电荷运动方向的平面内的同心圆,而圆心在电荷运动轨迹上。 在垂直于x轴方向的一个平面内，与时刻t的过渡区前沿球面的交线（是一个圆）作安培环路。此环路和图面相交于A和A/两点，

规定环路的正绕向和x轴正向成右手螺旋关系。环路圆包围的面积为垂直于x轴的圆面积，其正法线方向为en ，圆和图面的交线为AA/直线。所以由安培环路公式，有 由于没有电荷通过此面积， 其中Er的电通量对时间变化率产生的磁场就是匀速运动电荷的磁场，

E的电通量对时间变化率相对应的则是与电荷的加速度有关的磁场，以B表示，应有 vt Q Er  E E c r=ct x ⊙ ⊕ A B F F／ en A／ rsin为安培环路的半径

E只存在于过渡区，只需要计算通过过渡区所截取的圆形条带的的通量。 vt Q Er  E E r=ct x ⊙ ⊕ A B F F／ en A／ c  条带的宽度为 周长为 总面积为 通过条带的E通量为 ds的法线方向为en

由于过渡区向外传播，这些电通量将在时间内完全移出AA/ 圆面积，所以 上式代入 由 得

这就是加速电荷的横向磁场公式，电磁波的组成部分。 B的方向与x轴正向成右螺旋关系 B的方向与E的方向垂直，也和电磁波的传播方向垂直。因此，电磁波是横波， 关系可表示为：

三、电磁波传播 p=qL=qL0cosωt=p0cosωt １、电磁波的产生和传播 当空间某区域内存在一个非线性的变化电场时，在邻近区域内将引起变化的磁场；这变化的磁场又在较远的区域内引起新的变化的电场……，这种变化的电场和变化的磁场交替产生、由近及远，以有限速度在空间传播的过程称为电磁波。 产生电磁波的装置称为波源。电磁波波源的基本单元为振荡电偶极子。即电矩作周期性变化的电偶极子。其振荡电偶极矩为 p=qL=qL0cosωt=p0cosωt 式中p0=qL0是电矩振幅，ω为圆频率。

振荡电偶极子中的正负电荷相对其中心处作简谐振动。由于电磁场是以有限速度传播，因此空间各点电场的变化滞后于电荷位置的变化，即空间某点P处在t时刻的电力线应与t-Δt时刻电荷位置决定的该点处的场强相对应。

如图(b)所示，图中过P点的电力线应与图(a)中电荷位置所决定的P点的场强相对应。因此，在正负电荷靠近的t时刻，空间的电力线形状如图(b)所示。 而当两个电荷相重合时，电力线闭合，如图(c)所示。此后，闭合电力线(它代表涡旋电场)便脱离振子，而正、负电荷向相反方向运动，如图11-2(d)所示。 偶极子不断振荡，形成的涡旋状电力线不断向外传播。同时，由于振荡电偶极子随时间变化的非线性关系，必然激起变化的涡旋电场。后者又会激起新的涡旋电场，彼此互相激发，形成偶极子周围的电磁场。由麦克斯韦方程组推导可得：振荡电偶极子在各向同性介质中辐射的电磁波，在远离偶极子的空间任一点处(r＞＞l)，t 时刻的电场E和磁场H的量值分别为

r P j q 是球面电磁波方程 如图所示，r 是矢径r 的量值，偶极子位于中心，偶极矩P＝ql。θ为r与p之间的夹角。 为电磁波在该介质中的波速。 如图所示，r 是矢径r 的量值，偶极子位于中心，偶极矩P＝ql。θ为r与p之间的夹角。

２、平面电磁波 在更加远离电偶极子的地方，因r很大，在通常研究的范围内θ角的变化很小，E、H可看成振幅恒定的矢量。因此， 即在远离电偶极子的地方，电磁波可看作是平面电磁波。 平面电磁波的性质（略）

四、振荡电路 赫兹实验 1、振荡电路 麦克斯韦在1864年预言了电磁波的存在。1888年赫兹利用振荡器和谐振器在实验中证实了电磁波的存在。产生电磁振荡的电路叫振荡电路。在理想的电阻为零的无阻尼情况下，LC 振荡电路的周期T0和频率f0由振荡电路本身性质决定。其关系为 其中L、C分别为振荡电路的自感和电容。但是在这种LC振荡电路中，变化的电场局限于电容器中，而变化的磁场基本局限在电感线圈中，不利于辐射电磁波。 为便于辐射，使电容器极板成开放状。

(1) 频率必须足够高 减小电容C：S↓ ， d ↑ 减小电感L：n ↓ （2） 电路必须开放 2、赫兹实验 赫兹振荡器发射的电磁波是间歇性的、减幅高频振荡的电磁波。 赫兹还利用振荡偶极子进行了许多实验。证明了电磁波和光波一样，具有反射、折射、干涉和行射特征，确定了电磁波以光速传播。从此，电磁理论成为波动光学和无线电通讯的基础。

§11-3 电磁场的能量和动量 一、电磁波的能量 坡印廷矢量 §11-3 电磁场的能量和动量 一、电磁波的能量 坡印廷矢量 电磁波是变化电磁场的传播，而电磁场是具有能量的，所以伴随着电磁波的传播必然有电磁场能量的传播。电场和磁场的能量体密度分别为 式中 和分别为物质的介电常数和磁导率，所以电磁场的能量密度为 电磁波所携带的电磁能量称为辐射能。单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能量称为能流密度(或辐射强度)，记作S，又叫坡印廷矢量。

考虑到S、E、H间的量关系，有 由平面电磁波的表示式

及 将其代入 可得振荡电偶极子的能流密度大小为 S在一个周期内的平均值即平均能流密度为 （1） 振荡电偶极子的辐射具有方向性，即顺着偶极子的极轴方向 ＝ 0， 无能流，垂直于极轴方向 ＝ / 2，辐射最强。 （2） S和ω4成正比，只有在频率很高时，才有显著的辐射。

二、电磁场的动量 根据狭义相对论，电磁波就是以光速运动的光子流，所以相对论中光子的动量和能量间的关系在此依然成立，即亦有 　根据狭义相对论，电磁波就是以光速运动的光子流，所以相对论中光子的动量和能量间的关系在此依然成立，即亦有 设真空中电磁波的动量密度为g，则有 写成矢量式，为

　由于电磁波具有动量，所以它们在物体表面被反射或吸收时对物体必定产生压强，称为辐射压。若是光波，则为光压。 可见光的光压一般只有10－5帕。 　星体外层受到其核心部分的万有引力而不塌缩，主要是靠辐射光压来平衡。

三、同步辐射 由上讨论可知，做加速运动的电荷要产生辐射 对于作匀速率圆周运动的电荷，由于存在向心加速度，所以也要发射电磁波。例如，在回旋加速器的磁场中作圆周运动的质子或电子就要产生强烈的辐射，这时由加速器提供给粒子的能量将有一部分转变为辐射能。 当粒子的速度接近光速时，粒子辐射的能流密度S的角分布形成一个指向前方的锥形瓣（如图所示），随着粒子运动，象一个转动的探照灯束，这种辐射称为同步辐射。 B a v S的角分布 +e

同步辐射最早由我国理论物理学家朱洪元于1946年提出。第二年在美国的一台电子同步加速器中发现了这种辐射。 同步辐射的存在阻碍了被加速电子能量的提高，对建造高能加速器是不利的。 但是，20世纪70年代起，人们认识到用同步辐射作光源具有很多优点：同步辐射具有很宽的频率范围（从红外线、可见光、紫外线到X射线的连续谱）和很小的发散角（约10-3mrad），有很好的方向性和很高的亮度，并随着电子的回旋以脉冲形式输出等等。 由于同步辐射在众多的科技领域中得到愈来愈广泛的应用，从而成为继激光之后的另一新型光源，一些同步加速器成为输出同步辐射光的设备。现在，我国大陆地区的北京和合肥建有国家同步辐射实验室。

在自然界也发现有许多星云或类星体发出同步辐射。例如蟹状星云就发射出很强的连续谱辐射，据分析，这是电子和质子因陷入星体磁场作高速回转所致。