函数与方程、不等式专题

（例1）如图，已知一次函数y＝x＋1与反比例函数 的图象 都经过点(1，m)． (1)求反比例函数的关系式；   O x y 1 －1 解；(1) 把点 (1，m) 代入函数y＝x＋1， 得： m=1+1=2; 再把（1，2）代入反比例函数 得：k=xy=1× 2 =2. 所以： 当x<0时,反比例函数值 y <0。 当x<- 1时，一次函数值y <0

（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值； （2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方， 求a的取值范围．   解（1） y＝0时，ax2+x+1=0 因为、图象与x轴恰有一个交点， 所以，△=1-4a=0 即 a=

（1） 若x= –1是方程的一个根，求k的值和方程的另一个 根. （2）证明：对于任意实数k，方程总有两个不相等的 实数根. 变式： 已知关于x的方程 （k为常数） x2- kx+k – 3=0 （1） 若x= –1是方程的一个根，求k的值和方程的另一个 根. （2）证明：对于任意实数k，方程总有两个不相等的 实数根. 解（1） x＝-1时，方程 : (-1)2- k×(-1)+k – 3=0，解得：k =1， 把k=1 代入原方程得： x2- x- 2=0； 解方程得： x＝-1或 x＝2，所以，方程的另一个根是x＝2. 解： △=b2-4ac=(-k)2 - 4×1×(k –3)=k2 –4k +12 =(k –2)2+8 Δ>0 所以，对于任意实数k，方程总有两个不相等的 实数根.

例3(北京2009).已知关于x的一元二次方程有 实数根，k为正整数. （1）求的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时， 将关于x 的二次函数 的图象向下平移8个单位， 求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴 下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答： 当直线 与此图象有两个公共点时， b的取值范围.

解：（1）由题意得， ． ∴． ∵为正整数， ∴ k=1.2.3． （2）当 k=1 时，方程 有一个根为零； 当k=2时，方程 无整数根； 当k=3时，方程 有两个非零的整数根． 综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意． 当k=3时，二次函数为 ，把它的图象向下平移8个单位 得到的图象的解析式为．

（3）设二次函数 的图象与x轴交于A.B 两点，则，A(-3,0) B(1,0)． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线 经过A 点时，可得； 当直线 经过B点时，可得． 由图象可知，符合题意的 的取值范围为．

巩固练习 1.（2009威海）若关于的一元二次方程的一个根是， 则k= , 另一个根是______． 2. ．（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009年莆田）已知 和 的半径分别是一元二次方程 的两根，且 则 和 的位置关系是 ． x+y=a 4.. 方程组 中，已知x>0, y<0, 则a的取值范围是 。 2x-y=6 5、 （2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 1 - 2 X2 =1 相交 - 6<a<3 12.5

6、（2009年黄石市）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为（ ） 的根，则该三角形的周长为（ ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 7. （2009襄樊市）如图5，在 ABCD中 于E且AE=EB=EC =a;且 a是一元二次方程 的根， 则 ABCD 的周长为（ ） A . B. C . D.   B A A D ． B C E

8、. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象 与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于点A。过点A 分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C。如果四边形OBAC是 正方形，求一次函数的关系式。

复习小结 某一范围内的方程、不等式问题。体现了一般到特殊 的观念，也体现了函数图象与方程、不等式的内在联系。 1.方程、函数、不等式的结合是函数某一变量值一定或 某一范围内的方程、不等式问题。体现了一般到特殊 的观念，也体现了函数图象与方程、不等式的内在联系。 2.     求两个函数交点坐标，一般通过函数解析式组成的 方程组来解决。 3.    求函数解析式，一般通过把图象上点的坐标代入假设 的函数解析式组成的方程或方程组来解决。