2.小波分析的基本理论 2.1 引言 2.2 小波发展的历史 2.3 小波变换发展概述 2.4 小波分析理论的主要内容 3-7-2007

2.1 引言 小波(Wavelets)分析理论是自1986年发展起来的一个新的数学分支，是Fourier分析划时代的发展结果。从人们对Fourier分析进行了推广和研究以后，相继提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时Fourier变换、Gobar变换、时频分析、小波变换、Randon－Wigner变换、分数阶Fourier变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅－调频信号分析等。其中，小波变换理论是注意到传统Fourier变换不能满足某些信号处理的要求而产生的，其最初的理论思想可追溯到1909年haar的工作。从现代小波分析的发展来看，曾在1930年前后出现许多与小波有关的新研究方向， 3-7-2007

其中Levy, Littlewood与Paley, Fanklin及Lusin的工作显得尤为突出；与最近小波分析有关的主要工作是1960年Calderon及1980年Grossman的研究，后人称其为“原子分解”。现在，由于它对理论研究和工程应用方面的价值和实用意义，小波分析理论一直是国际学术交流的热点之一，并成为目前在许多科学和工程技术聚会中的一个非常广泛的话题。有些人认为小波可以作为表示函数的一种新的基底；还有些人认为小波可以作为时间－频率分析的一种技术；而另外有些人则把小波看作是一个新的数学学科。所有这些看法都是有它的道理的，因为“小波”是一种具有非常丰富的数学内容、有着巨大应用潜力的、多方面适用的工具。 3-7-2007

它已经广泛应用于图形图像处理和分析、CT成像、雷达、地震勘探、相位周跳(边缘测定)、误差分析、波形的分解与组合(重构)、数据压缩等领域。由于小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，是一种窗口大小不变但其形状可改变(时间窗和频率窗都可以改变)的时频局部化分析方法。它具有多分辨率分析，而且随着信号不同，频率成分在时域(空域)取样的疏密自动调节的特点。因此，小波分析具有观察函数序列(信号、图像等)的任意细节并加以分析的能力。基于这些特性，它被誉为数学显微镜。 3-7-2007

2.2 小波发展的历史 1. 信号、图象与小波 信号与图象处理总要导致技术或方法的聚集，信号与图象处理可统一看着信号处理。目前，信号处理已经成为当代科学技术发展的重要组成部分，已广泛使用于通信（电话、电视与数据传输），卫星图象的发射与分析，医学成像（B超，CT，核磁共振），等所有这些都涉及复杂的时间序列的分析与说明。信号处理的目标是准确的分析，有效的编码，快速的传递，仔细的重构。其任务就是分析与诊断，编码，量化与压缩，传递或储存，识别，合成或重构。信号可分为稳定信号与非稳定信号。这些任务形成了科研工作者对数学处理方法的继续研究。 3-7-2007

2. 由Fourier到Haar Fourier在1807年曾断言：任何一个周期 函数 都是它的“Fourier级数”的和，一个波形Fourier变换的实质是：把这个波形分解成许多不同频率的正弦波之和，Fourier变换的图形表示就是一张显示每个被确定正弦波的振幅和频率的图。 3-7-2007

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然而，在1873年，P. Du Bois—Reymond构造了一个实变量x的 周期连续函数，它的Fourier级数在给定的点是发散的。最适合于Fourier级数的函数类是Lebesgue建立的，避免Du Bois—Reymond提出困难问题的第二个途径是修改收敛的定义，这方面的进一步研究形成调和分析。第三条路线导致小波的产生，按照Haar当时的情形，他提出这样一个问题：是否存在定义于[0，1]上函数另外的正交族 ，使对于任一[0，1]上连续函数，级数： 3-7-2007

1909年发现了最简单的解，同时，打开了通向小波的道路。Haar从函数 开始，其中 在[0，1]上一致收敛于 ？ 1909年发现了最简单的解，同时，打开了通向小波的道路。Haar从函数 开始，其中 为了构造 的一个基，对于 进行“收缩”与平移，Haar构造只适合于[0，1]上的连续函数，平方可积函数，即只适合于正规指标接近于零的函数，Haar族与 的内接折线逼近的这两思想的缺陷导致Faberhe和 Schauder用原函数想法代替Haar族函数 。并定义了一个“三角形函数”。 3-7-2007

30年代的研究 1．Levy 与Brownian运动 Brownian运动是一个随机信号，为得到Brownian运动的表示，对于常用的Hilbert空间 选取一个特殊的正交基，则就必须挑选Fourier表示。为实现这个想法，给出了[0，1]上的Brownian运动， Levy的结果是：为验证对于几乎所有 ，函数 属于Holder空间，只需证明 。如果对于几乎所有 ，有 ，那么，Brownian运动的轨迹就总是属于空间 。 3-7-2007

. Littlewood与Paley的工作 我们知道，表示能量平均值的积分可直接用Fourier系数的平方和给出，对于能量平均值的积分计算，所需信息在 的Fourier级数中隐藏着，1930年，Littlewood与Paley发现了揭示所需信息的方法，他们由 的Fourier级数定义“二进块” 。 3-7-2007

Franklin族 1927年，Franklin建立了一个正交基，这个正交基是由 Schauder基用Gram-Schmidt正交化过程得到的。得到的正交基是 这个序列称为Franklin族，Franklin族具有Haar基和Schauder基两者的优点它能够分解中 的任意函数，但它不具有一个简单的算法结构。 3-7-2007

Lusin 小波 Lusin的研究目标是Hardy空间 ，其中， 。令P表示 用与y>0定义的开的上半平面。那么，如果函数 在半平面P中是全纯的，并且， 则 属于 。 3-7-2007

原子分解与小波分析 G. Weiss与R. Coifman首先断定，前边Lusin理论是借助于“原子”与“原子分解”。所谓“原子”是一个函数空间最小的元素，理论上的目的是对于常用的函数空间求的（1）原子；（2）使用这些原子对函数空间所有元素重构的“装备法则”最简单的原子分解用Haar组给出，从现代小波理论看，Franklin基也适用，而Franklin基与Littlewood-Paley分析自然连系着。“原子分解”途径之一由Calderon恒等式给出。 3-7-2007

Grossmann与Morlet在Calderon 20年后的1980年重新发现了这个恒等式，他们定义小波为： 在其分析和综合中， 小波起到正交基的作用。 小波的第一个定义属于Grossmann与Morlet：一个小波是 的一个函数 ，它的Fourier变换几乎处处满足条件 3-7-2007

小波的第三个定义归功于Frankilin 和Stomberg：一个小波是 的一个函数 ，使 小波的第二个定义由Littlewood-Paley-Stein理论修改而成：一个小波是 的一个函数 ，它的Fourier变换 几乎处处满足条件： 小波的第三个定义归功于Frankilin 和Stomberg：一个小波是 的一个函数 ，使 是 的一个正交基。 3-7-2007

小波分析 1985年数字图象处理方面的专家S. Mallat有了一个新的出发点，他发现下述三者之间的紧密联系： 1.Croissier, Esteban, Galand对于数字电话发明的正交镜像滤波器； 2.在数值图象处理方面使用的Burt与Adelson的金字塔算法； Stromberg与他的合作者发现的正交小波基。 进而总结出了 多分辨分析 。 3-7-2007

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2.3 小波变换发展概述 1.1807年，傅立叶分析 2.1965年，快速傅立叶变换 3.1946年，提出“窗口傅立叶变换（短时傅立叶变换）， 4.1981年，连续小波变换及逆变换的理论形成。 5.1986年，多分辨率思想的形成 6.1988年，紧支集正交小波基的给出，完成快速小波变换从理论到实践的转化 7.1998年，以实数为特征的正交小波基 3-7-2007

8.1992年，快速小波包变换算法，成功应用于语音和图象的压缩。 9.同年，多分辨率分析中的尺度函数得到了详尽的充实。 10.1994年，提升方案的概念的提出，后来，在提升方案的基础上提出第二代小波的概念。 11.近年，国内学者在非线性小波变换和软件编程方面做了大量的工作。 3-7-2007

2.4 小波分析理论的主要内容 1.Fourier变换和小波分析 区别与联系： 联系是：小波是在Fourier变换的形式下被定义和刻画的，是在Fourier变换的基础上延伸出来的一个分支，并有不同的功能。 两者相比较主要有以下不同： (1)Fourier变换的实质是把能量有限信号 分解到以 为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号 分解到 和 所构成的空间上去。 3-7-2007

(2)Fourier变换用到的基本函数具有唯一性；小波分析用到的函数不具有唯一性。 (3)在频域中，Fourier变换具有较好的局部化能力，在时域中，Fourier变换没有局部化能力，而小波变换具有较好的局部化能力。 (4)在小波分析中，尺度 越大相当于Fourier变换中 越小。 (5)在Fourier变换中，变换系数主要依赖于信号在 中的情况。小波变换中，则主要依赖于信号在 中的情况。 3-7-2007

(6)若用信号通过滤波器来解释，对于Fourier变换，带通滤波器的带宽与中心频率无关，小波变换带通滤波器的带宽与中心频率成正比。 （9）运算方法和物理意义上也有区别。 3-7-2007

WT versus STFT 3-7-2007

小波和小波变换的定义 小波 简单地讲，就是一个“小”的波形，正负起伏均匀并具有一定的收敛性，向两端快速衰减趋向于零的一个波。 对于一个基本小波 ，令： 称 是由 生成的依赖参数 的连续小波。 3-7-2007

2)小波变换(Wavelet Transform) 对于小波变换，我们可以这样形象地描述：用镜头观察待分析信号 ， 代表镜头所起的作用(例如：滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动， 的作用相当于镜头向目标推进或远离：当尺度 较大时视野宽而分辨率低，可以作概貌的观察；当尺度 较小时视野窄而分辨率高，可以作细节观察。这种由粗及细对事物的逐级分析被称为“数学显微镜”。 3-7-2007

为 的连续小波变换(CWT)，简称小波变换。 其核函数与窗口傅立叶核函数的相似之处： 均为平移参数， 都是频率参数。 定义：对于 为一连续小波，定义 为 的连续小波变换(CWT)，简称小波变换。 其核函数与窗口傅立叶核函数的相似之处： 均为平移参数， 都是频率参数。 3-7-2007

a 的变化将导致核函数 在频率和窗口宽度的变化，而 的变化只改变核函 数 的频率。这就是小波变换和窗式Fourier变换的最本质的区别。 WT和FT不同之处： a 的变化将导致核函数 在频率和窗口宽度的变化，而 的变化只改变核函 数 的频率。这就是小波变换和窗式Fourier变换的最本质的区别。 小波函数的选取与构造：选择恰当的小波函数族，可以很好地分析信号的特征。相反，若小波函数族的选取不正确，对信号进行小波变换之后，信号在小波函数族上的投影系数很可能淹没信号的特征。 3-7-2007

在进行信号的特征分析之后，根据信号的特征，结合小波函数的类型以及好基选取的基准，我们可以选取或构造出所需要的小波函数。 从实际应用的角度来看，目前系统提供的几种小波函数是远远不够的，因为对于一个具体的待分析信号，一般小波函数都能对其进行小波分析处理，但是其分析的效果会因为所选取的小波函数的不同而有较大的差别。对于一个具体的信号，往往有某个专门的小波函数对于信号的分析具有最佳的效果。 在进行信号的特征分析之后，根据信号的特征，结合小波函数的类型以及好基选取的基准，我们可以选取或构造出所需要的小波函数。 3-7-2007

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伸缩因子 3-7-2007

平移因子 3-7-2007

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常用小波函数 1) Haar小波 2)Daubechies(dbN)小波系 3) Morelet(morl)小波 4)Mexican Hat(Maar)小波 5)Meyer函数 6)Shannon小波 3-7-2007

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连续小波变换和离散小波变换 1.连续小波变换 对于任意的函数 的连续小波变换为： 其重构公式(逆变换)为： 3-7-2007

连续小波变换具有以下重要性质： 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和； 平移不变性：若函数 的连续小波变换为 ，则 的小波变换为： 此时， ； 伸缩共变性：若函数 的小波变换为 ,则 的小波变换为： 3-7-2007

自相似性：对应于不同的尺度参数 和不同的平移参数 的连续小波变换，它们之间是自相似的； 自相似性：对应于不同的尺度参数 和不同的平移参数 的连续小波变换，它们之间是自相似的； 冗余性：连续小波变换中存在信息表达的冗余度。 3-7-2007

连续小波变换五个步骤： 1.用一个小波函数，使其和信号的开头部分比较， 2.计算他们的相关性系数C，越大则相关性越强，当然其取决于所选的小波函数 3.向右平移小波函数，重复1和2，计算C 4.放大C，重复1到3步骤， 5.重复1到4步骤。 3-7-2007

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离散小波变换 在实际工程应用中，尤其在计算机上实现时，必须将连续小波变换加以离散化，因为工程中采样的信号点是离散的，因此有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化问题。其离散化是针对连续的尺度参数和不同的平移参数而不是针对时间变量。 在离散化过程中，尺度参数 和不同的平移参数 分别取 ，令 ，相对应的离散小波函数为： 3-7-2007

为了保证重构信号的精度，网格点尽可能密 ，时间参数和平移参数尽可能小。 而离散化小波变换系数则可表示为： 其重构公式为： 为了保证重构信号的精度，网格点尽可能密 ，时间参数和平移参数尽可能小。 3-7-2007

二进制和多进制小波变换 上面提到，为了保证重构信号的精度，网格点应尽可能小。在实际中采用的动态的采样网格是二进制的动态采样网格， 由此得到小波： 称为二进小波(Dyadic Wavelet)。 二进小波对信号分析具有“变焦距”作用，可通过 值的变化来了解信号更细或更粗的内容。 3-7-2007

构造多进制小波的尺度函数和小波函数 ，需要一个相应的共轭滤波器 。 多进制小波理论是近二、三年发展起来的一个分支。“如果小波分析是一门新的语言，那么多分辨分析及其相应的快速小波算法就是这门语言的语法”。与二进小波相比，在对称性、光滑性和局部化等方面有它独特的优点。它能解决一些二进制小波不能解决的问题，因而在理论及应用上都具有重要的价值。 构造多进制小波的尺度函数和小波函数 ，需要一个相应的共轭滤波器 。 3-7-2007

二进制小波与多进制小波的区别为： 1）简化的倍数： 原始数据 倍， 倍。 2）变换基准： 基于上一次变换结果，有误差积累 原始数据 倍， 倍。 2）变换基准： 基于上一次变换结果，有误差积累 基于原始数据，结果精度较好。 3）多进制小波变换很好地解决了二进制小波变换在数据压缩方面的应用。 小波包的算法 3-7-2007

正交小波基的性质 光滑性：由一个不等式来控制 局部性：由窗口的宽度来衡量 二维正交小波基 经常会遇到许多多维信号的处理问题，只有一维小波基是不够的。构造多维正交小波基的最简单而有效的方法就是张量积法。 3-7-2007

新型正交小波基族 基于正交小波基的数字滤波器的构造 （见论文） 新型正交小波基族的性质与意义 ： （1）可调的光滑性和衰减性 （2）对称性 3-7-2007

小波变换的特点 1）从数学变换角度讲，小波变换是由一对正交镜像滤波器构成，每给定一组滤波器，都可以唯一确定其相应的一组镜像滤波器。用这组滤波器对信号进行时频分解，分解成为低频分量和高频分量。 2）小波变换的时频分解能够对信号时频窗大小进行自动调整，能够保证时频窗大小符合要求。 3）小波基是矢量空间具有完备性的基，因其有短时变换特点，可以克服Fourier变换的时间无限长的特点 3-7-2007

4）离散小波变换运算主要是卷积运算，因短时变换特性、紧支撑性、正交性，可用Mallat快速算法进行变换和反变换。 5）空间二维小波变换，将一幅二维图象变换成不同大小和频带的子图象，即在水平和垂直两个不同方向上进行小波变换。 6）小波变换的突出优点是在编码时能够利用人眼的视觉属性，从而使视觉失真明显减少。 7）可根据不同速率要求，对不同子图象进行不同编码策略。 3-7-2007

9）小波变换可使非平稳过程平稳化、非线性问题线性化，特别适合表征具有非平稳特性的细节丰富、空间相关性差、冗余度低遥感图象数据。 8）小波变换以其消除像素相关性的效率、能量集中于较少系数、多率/多尺度分析结构、允许对每个频带统计性和人眼视觉属性进行匹配高效编码的显著优点，倍受数据压缩的青睐。 9）小波变换可使非平稳过程平稳化、非线性问题线性化，特别适合表征具有非平稳特性的细节丰富、空间相关性差、冗余度低遥感图象数据。 10）通过小波变换的遥感图象数据的能量集中于较少的一些系数上，大部分系数为0，使得变换后的数据服从高斯分布，适合压缩处理。 3-7-2007