2.2.1椭圆的标准方程 (第二课时)

坐标法 复习回顾： ♦ 1求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略， 直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明) （4）化方程 为最简形式； 坐标法 1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

2.两类标准方程的对照表 o o c2=a2-b2 MF1+MF2=2a (2a>2c>0) 定 义 y x y x 图 形 定 义 1 o F y x 2 M 1 2 y o F M x 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间的关系 c2=a2-b2 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.

练习： 1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标. ?

例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 新课讲解： 例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程． 解： 以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准 方程可设为 x y O F1 F2 根据题意有 即 因此，这个椭圆的标准方程为

练习： 1、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. 1、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. (2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且CF1=2,则CF2=___. 5 4 (-3,0)、(3,0) 3 6 8 变题： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）. 若方程 表示焦点在y轴上的椭圆， 求k的取值范围; 探究: 若方程表示椭圆呢?

例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (法一) (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）. 或 解： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为 (法一) x y F1 F2 P ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点 ∴ ……② 联立①②可求得： ∴椭圆的标准方程为

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为 由椭圆的定义知， x y F1 F2 P 所以所求椭圆的标准方程为

已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 . 练习: 已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 . (0,4) 变式：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 . (1,2)

练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 答案： (1)a= ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点； (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3). 答案： 小结：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.

纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？ 例3 ：将圆 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？ y x o 解： 设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 ＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得： 因为　　　　　　＝４ 1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法； 所以 即

练习 1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5， 则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 A 2.椭圆　　　　　的焦点坐标是（ ） A.(±5，0)　　　　　 B.(0，±5)  C.(0，±12) 　　　 　 D.(±12，0) C

3.已知椭圆的方程为 ，焦点在X轴上， 则其焦距为（ ） A 2 B 2 C 2 D 2 A ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程 是 __________. 练习：P26 1、2、3

定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 例4 已知圆A：(x＋3)＋y＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r． ∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10． ∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r， 即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)． ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆． ∴2a＝10， 2c＝｜AB｜＝6， ∴a＝5，c＝3． ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16． 即点P的轨迹方程为 ＝1．