习题课六

（一）曲线积分与曲面积分 第一类（对弧长的） 曲线积分 第一类（对面积的） 曲面积分 曲线积分 联系 联系 曲面积分 定义 计算 定义 计算 第二类（对坐标) 的曲线积分 第二类（对坐标） 的曲面积分

曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 意义 曲线形构件质量 变力沿曲线做功 联系 (与方向有关) 计算

与路径无关的四个等价命题 格林公式及应用 空间? 在单连通开区域 上 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 条件 等 价 命 题 在单连通开区域 上 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 (1) 在D 内积分 与路径无关 闭曲线 (2) (3) 在D 内存在 (4) 在D 内

曲线积分的计算法 1. 基本方法 第一类 ( 对弧长 ) 曲线积分 定积分 转化 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 (1) 选择积分变量 用直角坐标方程 用极坐标方程 第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终 练习题: P246 题 3 (1), (3), (6)

2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .

型线积分的计算思路: 非闭 闭合 非闭 补充折线用格林公式 或直接计算 闭合

型线积分的计算思路: 非闭 直接计算 闭合 斯托克斯公式 或直接计算

曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一投,二代换(与侧无关) 一投,二代,三定号 (与侧有关)

曲面积分的计算法 1. 基本方法 第一类( 对面积 ) 曲面积分 二重积分 第二类( 对坐标 ) (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 转化 第二类( 对坐标 ) (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面

2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化

型面积分的计算思路: 非闭 直接计算或添加曲面后用高斯公式 合一投影方法，添加曲面的原则 闭合 高斯公式

（二）各种积分之间的联系 定积分 计算 曲线积分 Green公式 Stokes公式 计算 计算 曲面积分 重积分 Guass公式

积分概念的联系 下册所讨论的几种积分（重积分，对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分）构造思想雷同，可以统一的理解为： 函数f (M) 在几何形体Ω 上对量度的积分

计算上的联系 线元素(曲)) 线元素(投影))

理论上的联系 1. 定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2. 二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3. 三重积分与曲面积分的联系 1. 定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2. 二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3. 三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4. 曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式

（三）场论初步 梯度 通量 散度 环流量 旋度

从物理方面理解, 描述向量场的三个基本属性; 向量场的微积分 向量场的微分运算： 数量场的梯度、向量场的散度和旋度 向量场的积分运算： 第二型曲线积分、第二型曲面积分 三个公式: 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式 从物理方面理解, 描述向量场的三个基本属性; 从数学方面理解, 是连接微分与积分的桥梁. 相当于向量场的微积分基本定理.

Green公式, Guass公式, Stokes公式之间的关系 或 Green公式 推广 推广 Stokes公式 Guass公式

例1 计算 的折线。 O x y A(2,-1) B(2,2) C(0,2)

例2 计算 其中 为由点 到点 的曲线 解

例3. 计算 其中 为由点 到点 的 上半圆周 解 在区域上积分简单 考虑使用格林公式

例4 设平面力场 的大小等于作用点到原点的距离， 例4 设平面力场 的大小等于作用点到原点的距离， 方向为作用点的向径方向按逆时针旋转90度, 试求质 点沿曲线 从点 按逆时针 移动到点 时场力所作的功。 解： A(1,2) B(3,4) x y O M(x, y) 设向径

A(1,2) B(3,4) x y O M(x, y)

求力 例5 沿有向闭曲线  所作的功, 其中  为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 提示: 方法1 利用对称性

利用 方法2 斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则 运行时点击 “利用斯托克斯公式”, 或按钮“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回.

例6: 计算 交线 从 z 轴正向看为逆时针方向. x z

P244 题2. 限中的部分, 则有( ). ( 2000 考研 )

设L为圆周 取顺时针方向，则曲线积分 03级期末 设L为正向闭曲线： 计算 04级期末 计算 其中L 是以AB为直径的下半圆周，方向由点A(1,0)到B(7, 0) 06级期末

计算 ，其中 是沿半圆周 从点A(a,0) 到点 O(0,0) 08级期末 的路径，m为常数。 设 曲线 计算 04级期末 其中C 为 与 的交线。 计算 08级期末

已知函数 具有连续的导数，曲线积分 02级期末 与路径无关，且 ，试求 . 已知 曲线积分 与路径无关，且 ，求 ，并计算 03级期末

设函数 具有连续导数， 对平面上任意 一条分段光滑的曲线 L，若曲线积分 与路径无关 (1) 试求 (2) 设 L 是从点O(0,0)到点 的分段光滑曲线， 计算I 04级期末

设函数 具有连续导数， 对平面上任意 一条分段光滑的曲线 L，若曲线积分 05级期末 与路径无关 (1) 试求 (2) 设 L 是从点O(0,0)到点 的分段光滑曲线， 计算I 设函数 具有二阶连续偏导数，且满足 (其中a是常数)，C是平面上的光滑曲线， 则曲线积分 05级期末

计算 其中C 是从 到 沿螺线 的一段。 08级期末 为曲线L 证明： 的弧长， 证明：

计算 其中 C是平面 被三个坐标平面所截得 三角形的边界，若从 轴正向看去为逆时针方向。 08级期末补

例7 设有一物质曲面 是由 及 所围立体的边界曲面，曲面的面密度函数为 求该曲面的质量M . y 1 O x z 1 2 解

例8 计算曲面积分 为连续函数 为平面 在第四卦限部分的上侧 . 解 利用两类曲面积分之间的关系 （或者合一投影法）

例9 计算 其中 为 曲面 的外侧. 解 利用合一投影法

其它方法?

例10 计算 下侧 解：直接计算 x y z O

例10 计算 下侧 解：利用高斯公式，添加曲面 上侧 x y z O

例11 计算 其中 是由曲线 绕y轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒 大于 . 解： 绕y轴 旋转一周所形成的 旋转曲面为

添加曲面 (或用截面法)

例12 求柱面 在球面 内的侧面积. 解 由对称性

计算曲面积分 其中 具有连续的导数， 为由曲面 所围立体表面外侧. 03级期末

计算曲面积分 其中曲面 上侧。 04级期末 计算曲面积分 其中曲面 上侧。 05级期末

计算曲面积分 其中 是锥面 介于平面z = 0，z = 1 之间 部分上侧。 06级期末 求 ，其中 为圆锥面 介于 的部分， 为此曲面法向量的方向余弦，且 08级期末

作 业 P246. 3(2, 4), 4(2), 5, 9 提交时间：2012年5月14日上午8:00