第七章 弯曲应力 目录 下节

§7-1 梁的正应力 一. 纯弯曲： 纯弯曲： Fs 横力弯曲： CL8TU1

在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dFs=τdA才能合成剪力Fs CL8TU2 在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dFs=τdA才能合成剪力Fs

三个方面: 静力学关系 变形几何关系 物理关系 二.平面假设 1.实验 CL8TU3

观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb正交,但相对转过一个角度。 2.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 3.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。

梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴 中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 CL8TU3-1

三.几何方程 O1 O2 四. 物理关系 K1 K2 (a) 一点的正应力与它到中性层的距离成正比。 CL8TU3-2

五.静力平衡方程 y z 设中性轴为z 横截面对Z轴的静矩

截面的惯性积（ y为对称轴） 截面对z轴的惯性矩 (b) 中性层的曲率公式 (b)式代入(a)式得

六.正应力公式 1.正应力 2.横截面上的最大正应力 当中性轴是横截面的对称轴时： Wz 称为抗弯截面模量 CL8TU4

1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。 2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。 3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。 3.简单截面的抗弯模量 (1)矩形： CL8TU5

Z y D (2)圆： (3)圆环 y x D d

§7-2 梁的正应力强度条件及其应用 七.正应力公式适用范围 （1）公式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 （2）对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h＞5时该式的精度能满足工程要求。 （3）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状的梁，也都适用。 §7-2 梁的正应力强度条件及其应用 一.梁弯曲正应力强度条件

利用上式可以进行三类问题的强度计算： ①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度； ②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸; ③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷

三.算例 [例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？ 解：

[例7-2]主梁AB，跨度为L，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？ 解： 主梁AB: A B M

P a C D 副梁CD: M 由 得

[例7-3]图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。 解： 作弯矩图 C截面 (kN.m) B截面

注意：强度校核（选截面、荷载） 1） （等截面杆)只须校核︱M︱max 处︱σ︱max 2） （等截面杆） (a)对称截面情况只须校核︱M︱max处 (b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。

[例7-4]图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心） M -PL 解： CL8TU9

[例7-5]受均布载荷的外伸梁材料许用应力 校核该梁的强度。 解：作弯矩图，可知 该梁满足强度条件，安全

[例7-6]简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。

解： C点的应力 C截面的弯矩 由 得

[例7-7]图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 ⊿=10 mm，E=10GPa，

解：

§7-3梁的合理截面形状及变截面梁 控制梁弯曲强度的主要因素是正应力 设计梁的原则应充分发挥材料的潜力，节省材料。 一.梁的合理截面形状 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面 模量Wz较大，即Wz/A越大越好。

相同面积 CL8TU20 CL8TU21

1）对于[t]= [c]的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘σtmax= σcmax 2）对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用中性轴偏于受拉边的截面。 CL8TU9

梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力［σ］时，称为等强度梁。 二、变截面梁、等强度梁的概念 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力［σ］时，称为等强度梁。 P 例如：矩形截面梁，跨中C处受集中力P,截面高h为常数，宽度b可变化，b=b（x）,求b（x） L A B C x 研究半梁AC 由等强度条件： b(x) b(x)min

但等强度梁加工制造比较困难，工程中多采用变截面梁 P 同理：若b为常量，高度h=h(x) L A B C x 半抛物线 但等强度梁加工制造比较困难，工程中多采用变截面梁 变截面梁即横截面沿着轴线变化的梁 鱼腹梁

[例7-8]我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 （使Wz最大）

解： 由此得 CL8TU15

§7-4 矩形截面梁的剪应力 一.切应力公式推导 是建立在正应力公式的基础上

在hb的情况下

结论：

二.矩形截面的剪应力

§7-5 工字形截面及其它截面梁的切应力 一、工字形截面 翼缘 在腹板上： 腹板 CL8TU17

在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。 对于标准工字钢梁： 可直接从型钢表查得

在翼板上： z y dx Nl B dx Nll CL8TU17

二、圆及圆环截面梁的剪应力 1.圆截面 最大剪应力： 2.圆环截面 最大剪应力： CL8TU18

三、T字型截面梁的剪应力 最大剪应力仍发生在截面的中性轴上 CL8TU18

§7-6 梁的切应力强度条件 （第二个强度条件） §7-6 梁的切应力强度条件 （第二个强度条件） [例7-6]圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。 (+) (-) -40kN 40kN Fs M 40kNm CL8TU19

解： 由正应力强度条件： 由剪应力强度条件：

[例7-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图 所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两 个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？ P 解：叠梁承载时，每梁都有自己的中性层 b L 梁的最大正应力： FQ P 其中： -PL M

可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。 P 二、当两梁用螺栓联 为一体时，中性轴只 有一个： b z 由正应力强度条件： 可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。 三、求螺栓最小直径： 螺栓主要是受剪 z τ τ 设梁达到了许用应力[P]

中性轴处： 全梁中性层上的剪力： 由螺栓剪切强度条件： 可得： 讨论：Q与何力平衡？ Q 

§7-7 提高梁强度的主要措施 控制梁弯曲强度的主要因素是正应力 设计梁的原则应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。 §7-7 提高梁强度的主要措施 控制梁弯曲强度的主要因素是正应力 设计梁的原则应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。 一. 选择梁的结构并合理的布置载荷 1.选择不同形式的梁 A C B

2.合理布置载荷 A C B CL8TU23

合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。 W要大同时A要小，W/A最大为好。 二.梁的合理截面 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。 W要大同时A要小，W/A最大为好。 CL8TU20 CL8TU21

1）对于[t]= [c]的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘σtmax= σcmax 2）对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用中性轴偏于受拉边的截面。 CL8TU9

梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力 三、采用变截面梁、等强度梁的概念 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力 ［σ］时，称为等强度梁。 例如：矩形截面梁，跨中C处受集中力P,截面高h为常数，宽度b可变化，b=b（x）,求b（x） P L A B C x 研究半梁AC 由等强度条件： b(x) b(x)min

对于矩形截面： P 同理：若b为常量，高度h=h(x) L A B C x 半抛物线 由剪切强度条件： 鱼腹梁

§7-5 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心 §7-5 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心 一、非对称截面梁平面弯曲的条件 前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy、xOz 形心主惯性平面 y、z轴为形心主惯性轴

对于非对称截面梁，由实验和理论分析得到它发生平面弯曲的条件是: (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时,梁产生平面弯曲。 (2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。 二. 开口薄壁截面的弯曲中心 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。 只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的弯曲中心，用A表示。

 开口薄壁截面弯曲切应力 平衡对象及其受力

 弯曲切应力 平衡对象及其受力 + ( d x)=0 Fx=0 FNx*+d FNx* -FNx*

FNx*+d FNx*= (x+d x)dA  弯曲切应力 平衡方程与切应力表达式 + ( d x)=0 FNx*+d FNx* -FNx* 其中 FNx*＝xdA A * FNx*+d FNx*= (x+d x)dA A * x= Mz y Iz , Sz=  ydA A *

 弯曲切应力 平衡方程与切应力表达式 FQ Sz*  Iz  =  =

 弯曲切应力 切应力公式应用-弯曲中心

 弯曲切应力 切应力公式应用-弯曲中心 切应力流

 弯曲切应力 切应力公式应用-弯曲中心 切应力流

 弯曲切应力 切应力公式应用-弯曲中心 向弯曲中心简化结果 合力 向形心简化结果

A CL8TU25

剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置 以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。 薄壁截面弯曲中心符合下列规则: (1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合 (2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。 (3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。 CL8TU26

试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。

作业：4-40, 42, 43, 47, 53

电阻应变计测量方法简介 一.电阻应变计测量原理 1.电阻与应变

2.应变的测量办法

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