第14章：结构稳定计算 结构的稳定是单杆稳定的扩展， 更接近于实际。

目 录 (contents) -------------------------------------------------------------- 14-1 两类稳定问题的概述 14-2 两类稳定问题计算简例 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法 14-4 无限自由度体系的稳定—静力法 14-5 无限自由度体系的稳定—能量法 14-6 组合杆的稳定

在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳定验算。其中强度验算是最基本的和必不可少的,而稳定验算则在某些情况下显得很重要。例如，薄壁结构与厚壁结构相比，高强度材料的结构(如钢结构)与低强度材料的结构(如砖石结构、混凝土结构)相比，主要受压的结构与主要受拉的结构相比，前者比较容易丧失稳定，因而稳定验算显得更为重要。 结构稳定计算与强度计算的最大不同是计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法已属于几何非线性范畴，叠加原理已不再适用、故本章的讨论首先从变形状态开始。计算方法则静力法（大挠度理论或小挠度理论）和能量法（小挠度理论）并重，互为补充。

§ 14-1 两类稳定问题的概述 三种不同的平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。

失 稳 受干扰后仍能恢复原先的平衡位置——稳定平衡； 受干扰后不能恢复原先的平衡位置——不稳定平衡； 受干扰后不能恢复原先的平衡位置，可稳定在移动后的位置——中性平衡（随遇平衡）； 当结构处于不稳定平衡状态，任何轻微的干扰都将使结构偏离原位并迅速发展，导致结构局部或整体丧失承载力而破坏。即—— 失 稳 结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳

14-1-1 分支点失稳 完善体系或理想体系的简支压杆：杆件轴线是理想的直线(没有初曲率，荷载FP是理想的中心受压荷载(没有偏心)。 结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。 临界状态的平衡形式具有二重性。

其他结构也可能出现分支点失稳现象。

14-1-2 极值点失稳 非完善体系的简支压杆：杆件轴线是具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆。 虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。 非完善体系的简支压杆：杆件轴线是具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆。 一般说来，非完善体系的失稳形式是极值失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象， 而 曲线具有极值点。

扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。

§ 14-2 两类稳定问题计算简例 一个体系产生弹性变形时．确定其变形状态所需的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。 P 无限自由度 § 14-2 两类稳定问题计算简例 一个体系产生弹性变形时．确定其变形状态所需的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。 P 1个自由度 2个自由度 无限自由度

14-2-1 单自由度完善体系的分支点失稳 按大挠度理论分析 平衡条件： 又弹簧反力： 即 第一解： 第二解： 可见 按大挠度理论分析的结果

按小挠度理论分析 第二解： 按小挠度理论分析的结果

14-2-2 单自由度非完善体系的极值点失稳 按大挠度理论分析 如图所示单自由度非完善体系杆AB有初倾角ε，其余同前面。 平衡方程： 弹簧反力： 解得：

相应极值荷载：

按小挠度理论分析 上式可简化为： 极值荷载： 按小挠度理论分析的结果

具有弹性支座压杆的稳定 P l P 1 P l P P k P l

小结 结构的失稳存在两种基本形式。一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； 分支点失稳形式的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其优点，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。

§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法 § 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法 确定临界荷载的基本方法有两类： 一类是根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法； 另一类是根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。

l A P B 14-3-1 静力法 以2自由度体系为例 P 1 1.618 ----稳定方程 ---临界荷载 ---失稳形式

14-3-2 能量法 弹簧应变能为： 荷载势能为： FP看作重量 其中λ为B点的竖向位移，则 即 体系的势能为： 应用势能驻值条件 ，得

势能是正定的 稳定平衡状态 势能是负定的 不稳定平衡状态

例 求图示结构的临界荷载. l P P 解: 应变能 荷载势能 体系势能

§ 14-4 无限自由度体系的稳定——静力法 静力法的解题思路： 先对变形状态建立平衡方程； 然后根据平衡形式的二重性建立特征方程； § 14-4 无限自由度体系的稳定——静力法 静力法的解题思路： 先对变形状态建立平衡方程； 然后根据平衡形式的二重性建立特征方程； 由特征方程求出临界荷载。 无限与有限自由度体系的稳定计算的最大区别： 平衡方程是微分方程而不是代数方程。

例1 如图所示压力杆,求其临界压力 P Q P l 挠曲线近似微分方程为 Q 或 得 令 稳定方程 通解为 由边界条件

P l Q 得 稳定方程 经试算

§ 14-5 无限自由度体系的稳定——能量法 无限自由度体系的临界荷载FP可根据能量特征来求： § 14-5 无限自由度体系的稳定——能量法 无限自由度体系的临界荷载FP可根据能量特征来求： 对于满足位移边界条件的任一可能位移状态，求出势能EP 由势能的驻值条件δEP=0，可得包含待定参数的齐次方程组； 为了求非零解，齐次方程的系数行列式应为零，由此求出特征荷载值，则临界荷载FPcr是所有特征值中的最小值。

通过一个压杆为例 首先，设压杆有任意可能位移，变形曲线为： 弯曲应变能U为： 又， 亦有

荷载势能为： 体系的势能为： 由势能的驻值条件δEP=0，则 即

令 里兹法 则有矩阵形式 也可简写为 欲使α1、 α2 、 α3、…、αn不全为零， 则 展开即得到关于FP的n次代数方程组，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。

注意事项 1 近似微分方程式 中，M形成的弯曲曲率半径与 y 的正向一致时为正，反之为负。 2 可事先判断可能的失稳形式，如： 2 可事先判断可能的失稳形式，如： 非对称结构受任意轴压力、对称结构受非对称轴压力，会有局部失稳或整体失稳； 对称结构受对称压力，会有对称失稳或反对称失稳。

例题 P387 14-2 P388 14-3 P389 14-4

§ 14-6 组合杆的稳定 14-8-1 缀条式组合杆 组合杆根据构造形式可分成：缀条式和缀板式两种 § 14-6 组合杆的稳定 组合杆根据构造形式可分成：缀条式和缀板式两种 14-8-1 缀条式组合杆 缀条式组合杆可按桁架进行计算，柱肢和缀条间的连结结点均可视为铰结点。

假设组合杆失稳时的变形曲线为半波的正弦曲线： 则 又桁架的应变能为：

一般缀条式组合杆的结间数较多，实际计算时可取： 这样 同时，

式中 为组合截面对形心轴的惯性矩

14-8-2 缀板式组合杆 区别

例题 P395 14-1 P396 14-2 P397 14-3

第15章：结构塑性分析 人尽其才，物尽其用。

目 录 (contents) ---------------------------------------------------------- 15-1 概述 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 15-3 超静定梁的极限荷载 15-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理

§ 15-1 概述 15-1-1 弹性设计 以许应力为依据来确定截面的尺寸或进行强度验算。 1、设计： 2、验算： 是否合理？  q s § 15-1 概述 15-1-1 弹性设计 以许应力为依据来确定截面的尺寸或进行强度验算。 是否合理？ s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限   s e p O A ql2/8 h b q l 1、设计： 2、验算：

15-1-2 塑性设计 是为了消除弹性设计方法的缺点而发展起来的。在塑性设计中，首先要确定结构破坏时所能承担的荷载(即极限荷载），然后将极限荷载乘以荷载系数得出容许荷载，并以此为依据来进行设计。 15-1-3 基本假设 材料是理想的弹塑性材料； 满足平面截面假定； 忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。

例题 受拉杆件的极限问题

§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 15-2-1 极限弯矩和极限状态

弹性阶段 ---应力应变关系 线性关系 ---应变与曲率关系 ---应力与曲率关系 ---弯矩与曲率关系 ---弹性极限弯矩(屈服弯矩)

弹塑性阶段 塑性流动阶段 中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。 极限状态 弹塑性状态 弹性状态 ---弯矩与曲率关系 非线性关系 或 塑性流动阶段 ---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)

15-2-2 塑性铰 1、塑性铰的概念 当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰。 2、塑性铰的特点（与机械铰的区别） B A C Mu A B C 1、塑性铰的概念 当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰。 C 2、塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动； （3）卸载时机械铰不消失；当q＜qu，塑性铰消失。

15-2-3 破坏机构 当结构在荷载作用下形成足够数目的塑性铰时，结构（整体或局部）就变成了几何可变体系。称这一可变体系为破坏机构，简称机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。

注意事项： 1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。 Mu 2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。 3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。 Mu1 Mu2

例15-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载作用，试求极限荷载FPu。 解：由静力条件 即 静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。

§ 15-3 超静定梁的极限荷载 超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。

15-3-1 超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 即 用虚功原理来做 设跨中位移为δ，则 外力所作功为： 内力所作功为：

极限荷载的特点 超静定结构极限荷载的计算无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机构； 超静定结构极限荷载的计算，只需考虑静力平衡条件，而无需考虑变形协调条件，因而比弹性计算简单； 超静定结构的极限荷载，不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。

例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC段为Mu 。 解:确定塑性铰的位置 l/3 P 若B、D出现塑性铰，则B、D两截面的弯矩为Mu， 这种情况不会出现。 若A出现塑性铰，再加荷载时，B截面弯矩减少D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D截面。 列虚功方程：

15-3-２ 连续梁的极限荷载 　　设荷载的作用方向彼此相同，并按比例增加。在上述情况下可以证明：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构(如图a、b），而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构（如图c）。对得到的各种情况，取最小值，这样就得到了连续梁的极限荷载

例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。 0.8P P q=P/a a 2a 解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载. （1）AB跨破坏时 0.8P P q=P/a （2）BC跨破坏时 0.8P P q=P/a （3）CD跨破坏时 0.8P P q=P/a 有三种情况

例1：求图示结构的极限荷载，材料极限弯矩为Mu。 可能出现塑性铰的位置：D、B、E中的两个 2a a 对于相同方向荷载作用下，连续梁的破坏机构只能出现在某一跨，而不能出现在相邻跨之间，故连续梁的破坏为局部破坏。 (1)塑性铰出现在 D、E 满足机构条件，但不满足单向铰条件。

例2：求图示结构的极限荷载，材料极限弯矩为Mu。 可能出现塑性铰的位置：D、B、E中的两个 2a a (2)塑性铰出现在 B、E 检验： 不满足屈服条件 (3)塑性铰出现在 B、D 检验： 满足屈服条件

例2：求图示结构的极限荷载， AD极限弯矩为1.5Mu,DF极限弯矩为Mu。 可能出现塑性铰的位置： B、C、D、E F A a B C D

例2：求图示结构的极限荷载， AD极限弯矩为1.5Mu,DF极限弯矩为Mu。 (１)塑性铰出现在 Ｄ、E 检验： 不满足屈服条件 B C D E (１)塑性铰出现在 Ｄ、E 检验： 不满足屈服条件 (2)塑性铰出现在 Ｄ、Ｃ 检验： 不满足屈服条件 (3)塑性铰出现在 B、D 检验： 满足屈服条件

§ 15-４ 比例加载时判定极限荷载的一般定理 15-4-1 两个基本概念 § 15-４ 比例加载时判定极限荷载的一般定理 15-4-1 两个基本概念 可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用FP-表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载，用FP+表示。

15-4-2 确定极限荷载的一般定理 屈服条件 可接受荷载FP-≤ FPu 极限荷载FPu 平衡条件 可破坏荷载FP+ ≥ FPu 机构条件 极大定理（下限定理）：结构的所有可接受荷载中的最大者即为该结构的极限荷载。 极小定理（上限定理） ：结构的所有可破坏荷载中的最小者即为该结构的极限荷载。 唯一性定理：如果作用于结构上的荷载既是可接受荷载，又是可接受荷载，则即为极限荷载。或者说，同时满足屈服条件、机构条件和平衡条件的荷载，必定是极限荷载。

… … 一系列可破坏荷载的最小值 一系列可接受荷载的最大值 极限荷载

15-4-３ 确定极限荷载的方法 静力法。静力法求极限荷载是根据极大定理。 机构法（机动法）。机构法求极限荷载是根据极 小定理。 试算法。试算法求极限荷载是根据唯一性定理。

刚架的极限荷载 利用矩阵位移法进行求解（略） 利用破坏机理（破坏机构）进行求解 1. 侧移机构（柱式机构） 2. 梁式机构 3. 结点机构 4. 组合机构

刚架的极限荷载计算 例：求图示结构的极限荷载 可能出现塑性铰的位置： Ａ、B、Ｃ、Ｄ、E 可能的破坏机构： 组合机构 梁式机构(局部） F a Mu A B C D E 1.5Mu 可能出现塑性铰的位置： Ａ、B、Ｃ、Ｄ、E 可能的破坏机构： F F F 梁式机构(局部） 组合机构 侧移机构

F a Mu A B C D E 1.5Mu (１)侧移机构 塑性铰出现在 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 检验： 不满足屈服条件

F a Mu A B C D E 1.5Mu (2)梁式机构 塑性铰出现在 Ｃ、Ｄ、Ｅ

F a Mu A B C D E 1.5Mu (3)组合机构 塑性铰出现在 Ａ、B、D、Ｅ 检验：