第十四章 分 式 分式及其基本性质 分式的乘除 分式的加减

教材分析 本章是在学习了整式及其运算的基础上，学习的另一类重要的代数式——分式及其运算。主要内容是通过现实情景建立分式的概念，探索分式的基本性质，进行分式的加、减、乘、除运算。 强调“进一步发展学生的符号感”．强调分式基本性质、运算法则的探究及解释，加强了对分式意义理解的要求． 通过学生主动地从事观察、类比、猜想、验证、等活动，发展学生合情推理能力．

教学目标 （1） 经历由实际问题建立分式概念的过程，进一步发展符号感． （2） 经历由观察、类比、归纳等获得猜想，用实例验证猜想，从而获得分式的基本性质及分式的运算（加、减、乘、除）法则的过程，从中体会类比、转化等数学思想方法，发展合情推理能力及数学思考． （3）了解分式的概念，会用分式的基本性质进行约分、通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．

重、难点分析 重点：运用分式的基本性质进行通分、约分，会进行分式的加、减、乘、除运算。 难点：理解运算的意义，掌握算法。

本章内容设计的主要特点： （1）突出建立模型的过程，进一步发展学生的符号感．同时注重用分式的运算解决一些实际问题，增强应用意识． （2 ）对于分式的基本性质、分式的运算法则是引导学生在已有知识和经验的基础上，通过实验观察、归纳、类比等探究活动形成猜想，进而验证猜想等活动过程来获得。 （3）降低对分式运算和变形的复杂性、技巧性的要求． 突出对分式运算法则和运算过程的理解，强调在理解运算意义的基础上选择恰当的算法．

14 .1 分式

教学目标 知识与技能 1、以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念； 2、掌握分式的基本性质,会用分式的基本性质进行约分 过程与方法 1、通过对分式与分数的类比，学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题。 2、学生通过类比方法的学习，提高了对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识。

情感、态度与价值观 1、通过联系实际探究分式的概念，能够体会到数学的应用价值。 2、在合作学习过程中增强与他人的合作意识。 教学重点: 理解并掌握分式的概念，体会其内涵。 教学难点: 分式中字母取值范围的认识。

温故知新： 2 a a+b 3 a 2 3 5 a+b 1、用分数的形式表示下列除式： 3÷4 ， 10÷3 ，12÷11 ， -7÷2 2、判断下列各式哪些是整式？哪些不是？ 2 a a+b 3 a 2 3 5 x y a+b

做一做 ⒈一项工程，如果由某施工队做要a天完成，那么这个施工队平均每天应完成该项工程的＿＿，b（b＜a）天应完成该项工程的＿＿。 ⒉A，B两个城市之间的路程为m km。如果 甲车的速度为v km/h，乙车每小时比甲车多 行10km，那么甲车从A城行使到B城所用的 时间为____h，乙车从A城行使到B城所用的 时间为_____h，

（1）甲每小时做x个零件，则甲做90个零件所用的时间为 小时； （2）乙每小时做（y2+1）零件，则乙做y个零件所用的时间为 小时 ； 列代数式： （1）甲每小时做x个零件，则甲做90个零件所用的时间为 小时； （2）乙每小时做（y2+1）零件，则乙做y个零件所用的时间为 小时 ； （3）n公顷麦田共收小麦m吨，则平均每公顷产量为 吨； （4）轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/时，则轮船顺水航行s千米所需时间为 小时，轮船逆水航行s千米所需时间为 小时。

观察所得代数式 是不是整式？ 观察上述式子有什么共同特点？ 分母中含有字母。

分式的概念： 一般的，用A，B表示两个整式， A÷B 就可以表示成 的形式，如果 B中含有字母，式子 叫做分式， 其中A叫做分式的分子， B叫做分式的分母。

例题点津： a-b 3 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ a+b a+b x+2 1 xy x+y 整式： 答案： 分式： （1） （4） 3 a+b （1） （2） x+2 1 （3） 3y2 - 2 xy x+y （6） （5） 整式： （1） （3） （5） 答案： 分式： （2） （4） （6）

思考讨论： 1 、 等于什么？ 有意义吗？ 有意义吗？ 2 、分式 ，当 时，分式有意义； 当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零。 7 7 1 、 等于什么？ 有意义吗？ 有意义吗？ B A 2 、分式 ，当 时，分式有意义； 当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零。 B≠0 B=0 A=0且B≠0

跟踪训练： 1、下列各式中，x 取何值时，分式才有意义？ x 取何值时， 分式无意义？ 2、下列各式中， x 为何值时，分式的值为0？

计算与思考 一.你认为 这三个分式相等吗？ 二.观察:分式 有怎样的关系? 分子、分母都乘X 分子、分母都除以3

一起探究 当x取任意不为0的值时，对应的代数式 ， ， 的值都相等吗？你给出 x的几个值，验证你的结论。 由以上结论,你是否能得出分式类似分数的基本性质呢?

分式的基本性质 　　　分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 　　＝　　　，　＝ （Ｍ是不等于０的整式）

提升高度 m n m3 m2n 下列等式左端的分式是通过怎样的变形而得到 右端的？ x+y 2x （x+y） 10x 5 x3 x2y x （3） = （x+y） 10x 5 m n （1） m3 m2n x3 x2y （2） x y （4） x2- 2xy +y2 x2- y2 x-y

链接中考： 一、填空与选择 a+5 1 m+a x2 y 2 1 x x2 4 Rπ x -1 3 x -1 1、（2007无锡）下列各式中，是分式的有（ ） a+5 1 m+a x2 y 2 1 ab2 x 2 x2 2 _ 4 Rπ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 x -1 3 2、（2008河北）当x=（ ）时，分式 无意义。 x -1 3、（2007天津）其分式 值为零，则x的值等于（ ）

小结与反思 1.分式的概念． 2．分式有意义的条件是__________ 3.分式的基本性质是_____________．

布置作业: 观察下面一列有规律的数，并根据此规律回答问题。 必做题：当X取何值时下列分式有意义。 （1） （2） 探索选做题： （1） （2） 探索选做题： 观察下面一列有规律的数，并根据此规律回答问题。 （1）在横线上填上第五个数。 （2）写出第n个数的表达式。

第2课时 分式的约分

类比一下： 化简下列分式(约分) 把分式分子、分母的 公因式约去，叫分式的约分.

在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.

约分的步骤 （1）约去系数的最大公约数 （2）约去分子分母相同因式的最低次幂 下列约分的方法对不对？

（1）当分子分母是多项式的时候，先进行分解因式，再约分。 注意： （1）当分子分母是多项式的时候，先进行分解因式，再约分。 （2）把下列各式分解因式。 2. 1. 3.

小测 （1） （2） （3） （4）

１４.２分式的乘除 分式的乘除是分式的基本运算之一。学生在学习了分式的基本性质和分式的约分后安排了本节教学内容，是上节的延续，顺应了知识的连贯性也迎合了学生的认知心理。

教学目标 1．能根据分数的乘除法则叙述分式的乘除则，并会用字母表示。 2、能进行分式的乘法、除法运算或简单的乘除混合运算。 3、能进行分式与整式的乘除运算。 教学重点：分式的乘法 教学难点：当分子、分母是多项式时的分式乘法及课本中的例2

创设情景，引入新课 你知道吗？同一物体在月球上受到的重力只 有在地球上的 . 有在地球上的 . 请问：A物体在地球上的重力为 牛顿，那么它在月球上的重力是多少？

你会进行下列计算吗？ 思考： 1、猜想 的结果？ 2、你能再举出这样的例子验证你的猜想.

分式乘分式用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

例1 计算 （1） （2） 你能说出分式的乘法与分数的乘法有什么关系吗？ 与同伴进行交流你的想法。

例2 计算 1、对于式子中的多项式能因式分解的，应先进行因式分解。 2、分式运算的结果通常要化成最简的分式形式或整式。

第2课时 在学生已有知识的基础上，通过类比让学生经历知识迁移的过程，加深学生对法则的理解。

分式乘法 [问题1]:一个长方体容器的容积为V,底的长 为a,宽为b,当容器的水占容积的 时,求高为多少? 分析:长方体容器的高为 ; 分析:长方体容器的高为 ; 水高为 . 分式乘法

分式除法 [问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 分析:大拖拉机的工作效率是 公顷/天, 小拖拉机的工作效率是 公顷/天, 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的 倍. 分式除法

一起探究 1.类比分数的除法,猜想 除以 的结果. 2.小组合作： 给出几组a,b,c,d的数值代入,以验证你的猜想

分式的除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

一定要细心呦！ 1、计算下面的式子 （1）　 （2） （3） （4）

例3 计算 （1） （2） （3）

课堂小结 1、分式乘除运算时，先确定结果的符号； 2、“变除为乘，除式颠倒”写好中间步骤； 3、可先约分再相乘；当分子、分母是多项式时 应先因式分解； 4、运算中遇到整式，可看成分母是1的式子； 5、分式乘除的结果要化为最简的分式或整式。

14.3分式的加减

教学目标 （一）知识与技能 1．掌握分式加、减法的法则． 2．会运用分式的基本性质进行通分． （二）过程与方法 1．经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力． 2．进一步通过实例发展学生的符号感． （三）情感与价值观 1．在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐． 2．提高学生“用数学”意识．

教学重点 1．掌握分式加减运算． 2．理解通分的意义． 教学难点 1．化异分母分式为同分母分式的过程． 2．符号法则、去括号法则的应用．

复习 在下列括号中填入适当的数或符号

大家谈谈 一、你学过的同分母分数加减法法则是什么? 计算: 二、猜想同分母分式加减法怎样运算?并用具体的数值验证你的猜想:

一起探究 长方形纸片,他们都有一条边的长为a.如 图所示拼在一起时，新长方形的长是多 少？ １．有两张面积分别为S1，S2(S1>S2)的 长方形纸片,他们都有一条边的长为a.如 图所示拼在一起时，新长方形的长是多 少？ Ｓ１ a Ｓ２ a

２．将两张长方形纸片如下图叠合再一起，请你用不同的方法求出不重合部分的长，你有怎样的结论？ Ｓ１ a Ｓ２ a

同分母的分式加减法法则 　　　同分母的两个分式相加(减)，分母不变，把分子相加(减)．

例１计算 例2 计算

第二课时 异分母分式加减

试一试: 计算: 类比上述计算，猜想

把几个异分母分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 通分 把几个异分母分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分 母所有因式的最高次幂的积为各分母的公分母.

异分母的分式加减法法则 异分母的两个分式相加(减),先通分,变为通分母的分式,再加减.

大家谈谈 1.通分时如何选取公分母？ 计算 取公分母为 还是取 请你通过计算比较一下 2.请你试着计算：

比较一下:分母有什么不同? 多项式看成整体 为公分母 取

注意：如果分母有多项式，应先把多项式因式分解，再确定公因式 基础练习 探索规律 把下列各式通分： 注意：如果分母有多项式，应先把多项式因式分解，再确定公因式

例3 计算 例4 计算

练习 分母是1

(2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天? 学以致用 , 方为能者 根据规划设计,某市工程队准备在开发区修建一条长1120m的盲道. 由于采用新的施工方式 , 实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m, 从而缩短了工期. 假设原计划每天修建盲道 x m , 那么 (1) 原计划修建这条盲道需要多少天? (2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?

启迪升华 拓展创新 工 效 问 题 一项工程 , 甲单独做 a h 完成, 乙单独做 b h 完成 . 启迪升华 拓展创新 工 效 问 题 一项工程 , 甲单独做 a h 完成, 乙单独做 b h 完成 . 甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？

课堂小结 1．教师引导学生回忆，小组发言; 2、分式计算需要注意的问题是： 分母是多项式先分解因式； 注意符号； 通分时公分母要找准。

布置作业 巩固深化 1、必做题：书本41页“习题1,2 ” 2 、挑战自我：自编一题涉及用分式表示数量关系的实际问题，并解决。

回顾与反思 教学目标 1 通过复习让学生进一步理解分式的乘除、 加减法则； 2 熟练的运用各运算法则进行分式的运算， 回顾与反思 教学目标 1 通过复习让学生进一步理解分式的乘除、 加减法则； 2 熟练的运用各运算法则进行分式的运算， 提高学生代数式变形能力； 3 在竞赛中培养学生合作交流的情感意识，亲 密无间的团队精神，强烈的上进心和竞争精神； 4 关注学生的学习个性，提高学生的学习 积极性和主动性；

教学重难点 1.重点:熟练的运用各运算法则进行分式的运算。 2.难点:异分母分式的加减运算、分式混合运算。

1、忆一忆 （1）分式运算已学过哪些？ （2）分式乘除法则是什么？用式子如何表示？ （3）分式乘除法关键是什么？ 看谁的记意力好？为小组争得荣誉！ 1、忆一忆 （1）分式运算已学过哪些？ （2）分式乘除法则是什么？用式子如何表示？ （3）分式乘除法关键是什么？ （4）同分母分式相加减呢？？ （5）异分母分式相加减呢？ （6）分式加减运算关键是什么？

你说我写。先回答结果，再谈一谈每一题的运算过程 2、抢答题 你说我写。先回答结果，再谈一谈每一题的运算过程

3、小组接力赛 小组竟赛，组员们加油啊！ 化简或化简求值： 化简之后，请选一个你喜欢的a代入求值。

4、谈一谈通过本节课《分式》复习后，你有何收获？ 5、作业与练习 课本44页2，3题 一张篇子

补充： 1、计算：

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