第三章 相对论 special relativity

爱因斯坦: Einstein 现代时空的创始人 二十世纪的哥白尼

相 对 论 如果说我比别人看得远些，那是因为我站在巨人的肩上。 伊萨克.牛顿 阿尔伯特.爱因斯坦 相 对 论 照亮我的道路，并且不断地给我新的勇气去愉快地正视生活的理想，是善、美和真. 阿尔伯特.爱因斯坦

3-1 狭义相对论产生的实验基础和历史条件 伽利略变换 物体的坐标和速度、“同一地点”是相对的 3-1 狭义相对论产生的实验基础和历史条件 伽利略变换 物体的坐标和速度、“同一地点”是相对的 时间、长度、质量“同时性”和力学定律的形式是绝对的

1、伽利略变换的困难 1) 电磁场方程组不服从伽利略变换 2) 光速c 3) 高速运动的粒子 2、迈克耳孙-莫雷实验 测量以太风 零结果

3、解释天文现象的困难 夜空的金牛座上的“蟹状星云”，是900多年前一次超新星爆发中抛出来的气体壳层。 结论：在25年持续看到超新星爆发时发出的强光。 矛盾 史书记载：强光从出现到隐没还不到两年。

3-2 狭义相对论基本原理、洛仑兹变换 一、 狭义相对论的两条基本原理 爱因斯坦的狭义相对论基本原理 1.相对性原理 所有物理规律在一切惯性系中都具有形式相同。（所有惯性系都是平权的，在它们之中所有物理规律都一样） 2.光速不变原理 在一切惯性系中，光在真空中的速率恒为c ，与光源的运动状态无关

一切物理规律 讨论： 1 Einstein 的相对性理论 是 Newton理论的发展 力学规律 2 光速不变与伽利略变换 与伽利略的速度相加原理针锋相对 3 观念上的变革 与参考系无关 时间标度 长度标度 质量的测量 速度与参考系有关 (相对性) 牛顿力学 光速不变 狭义相对论力学 长度 时间 质量与参考系有关(相对性)

二、洛仑兹变换式 时空变换关系 y y’ [s] [S’ ] o o’ x x’ ut x’ x p z Z’ 正变换

逆变换

三、洛仑兹变换的导出 重合 寻找 两个参考系中相应的坐标值之间的关系 有 [s] p z Z’ y y’ [S’ ] o o’ x x’ ut x’ x p z Z’ 三、洛仑兹变换的导出 重合 寻找 两个参考系中相应的坐标值之间的关系 有

和 的变换基于下列两点： （1）时空是均匀的，因此惯性系间的时空变换应该 是线性的。 （2）新变换在低速下应能退化成伽利略变换。 设 的 变换为： 根据Einstein相对性原理: 的 变换为：

由光速不变原理： 原点重合时，从原点发出一个光脉冲，其空间坐标为： 对 系： 对 系： 相乘

对于洛仑兹变换的说明： 1、在狭义相对论中，洛仑兹变换占据中心地位； 2、洛仑兹变换是同一事件在不同惯性系中两组时空坐标之间的变换方程； 3、各个惯性系中的时间、空间量度的基准必须一致； 4、相对论将时间和空间，及它们与物质的运动不可分割地联系起来了。 5、时间和空间的坐标都是实数，变换式中 不应该出现虚数 6、洛仑兹变换与伽利略变换本质不同，但是在低速和宏观世界范围内洛仑兹变换可以还原为伽利略变换。

讨论 1、在洛伦兹变换中时间和空间密切相关，它们不再是相互独立的。 伽利略变换 速度有极限 2. u>c 变换无意义

例1：一短跑选手，在地球上以10s的时间跑完100m，在飞行速率为0 例1：一短跑选手，在地球上以10s的时间跑完100m，在飞行速率为0.98c的飞船中观测者看来，这个选手跑了多长时间和多长距离（设飞船沿跑道的竞跑方向航行）？ 解：设地面为S系，飞船为S'系。

例2：在惯性系S中，相距x=5106m的两个地方发生两个事件，时间间隔t=10-2s；而在相对于S系沿x轴正向匀速运动的S'系中观测到这两事件却 是同时发生的，试求：S'系中发生这两事件的地点间的距离x'。 解：设S'系相对于S系的速度大小为u。

四、 洛仑兹速度变换式

由洛仑兹变换知

洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换

一维洛仑兹速度变换式

s 例3：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行， 如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体 相对飞船速度为0.90c 。 问：从地面上看，物体速度多大？ s

解：选飞船参考系为S'系 地面参考系为S系

3-3 狭义相对论的时空观 一、同时的相对性 由洛仑兹变换看同时性的相对性 事件1 事件2 两事件 同时发生 ？

S' Einstein train S 地面参考系 以爱因斯坦火车为例 实验装置 在火车上 分别放置信号接收器 中点 放置光信号发生器 发一光信号

发一光信号 接收到闪光 事件1 接收到闪光 事件2 研究的问题 两事件发生的时间间隔 发出的闪光 光速为 同时接收到光信号 事件1、事件2 同时发生

系中的观察者又如何看呢？ 接收到闪光 事件1 接收到闪光 事件2 处闪光 光速也为 随 运动 迎着光 比 早接收到光 事件1、事件2 不同时发生 事件1先发生

用洛仑兹变换式导出 同时性的相对性 在一个惯性系的不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系是不同时的。

例1：在惯性系S中，观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距是1m，而在S'系中观察这两事件之间的距离是2m。试求：S'系中这两事件的时间间隔。 解：S系中t=0， x=1m 。

S系测得棒的长度值是什么呢？ 二.长度的相对性 长度测量的定义： 对物体两端坐标的同时测量 两端坐标之差就是物体长度 棒相对观察者静止时测得的它的长度（也称静长或固有长度）。 原长 棒静止在S'系中 S系测得棒的长度值是什么呢？ 动长（测量长度）

事件1：测棒的左端 事件2：测棒的右端 由洛仑兹变换 物体的长度沿运动方向收缩

讨论 1、相对效应 在S'中的观察者 在S中的观察者

2 纵向效应 在两参考系内测量的纵向（与运动方向垂直）的长度是一样的。 火车钻洞假象实验。 3 在低速下  伽利略变换

例2、原长为10m的飞船以u＝3×103m/s的速率相对于地面匀速飞行时，从地面上测量，它的长度是多少？ 解： 差别很难测出。

例3：一根直杆在S系中，其静止长度为l，与x轴的夹角为。试求：在S'系中的长度和它与x’轴的夹角。两惯性系相对运动速度为u。 解：

三、时间间隔的相对性 研究的问题是： 在某系中，同一地点先后发生的两个事件的时间间隔(同一只钟测量)，与另一系中，在两个地点的这两个事件的时间间隔(两只钟分别测量)的关系。 一个物理过程用相对于它静止的惯性系上的标准时钟测量到的时间（原时）。用 表示。 固有时间 一个物理过程用相对于它运动的惯性系上的标准时钟测量到的时间（两地时）。用t 表示。 观测时间

. 哥 a f e . 弟 . 花开事件： 花谢事件： （寿命） 在S系中观察者测量花的寿命是多少？

考察 中的一只钟 两事件发生在同一地点 原时 原时最短，动钟变慢 观测时间

. 哥 a f e . 弟 . 在S系中观察者总觉得相对于自己运动的 系 的钟较自己的钟走得慢。

a f e . 弟 . 哥 在 系中观察者总觉得相对于自己 运动的S系的钟较自己的钟走得慢。 结论：对本惯性系做相对运动的钟 （或事物经历的过程）变慢。 双生子效应

四、时序与因果律 时序: 两个事件发生的时间顺序。 在S中：先开枪，后鸟死 在S'中：是否能发生先鸟死，后开枪？ 由因果律联系的两事件的时序是否会颠倒？ 子弹 后 事件2： 鸟死 前 事件1： 开枪 在S中：

在S'系中： 子弹速度 信号传递速度 在S'系中：仍然是开枪在前，鸟死在后。 所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。

例4、一飞船以3×103m/s的速率相对与地面匀速飞行。飞船上的钟走了10s,地面上的钟经过了多少时间？ 解： 飞船的时间膨胀效应实际上很难测出

讨论 1 同时的相对性是光速不变原理的直接结果 2 相对效应 3 当速度远远小于 c 时，两个惯性系结果相同 4 时序 因果关系

狭义相对论时空观 1、相对于观测者运动的惯性系沿运动方向的长度对观测者来说收缩了。 2、相对于观测者运动的惯性系的时钟系统对观测者来说变慢了。 3、长度收缩和时间膨胀效应是时间和空间的基本属性之一，与具体的物质属性或物理过程的机理无关。 4、没有“绝对”的时间、“绝对”的空间。长度收缩和时间的膨胀是相对的。

狭义相对论时空观认为： 时间、空间、运动三者是不可分割地联系着；时间、空间的度量是相对的。不同的惯性系没有共同的同时性，没有相同的时间、空间度量。狭义相对论时空观反映在洛仑兹变换之中。

例5、一火车以恒定速度通过隧道，火车和隧道的静长是相等的。从地面上看，当火车的前端b到达隧道的B端的同时，有一道闪电正击中隧道的A端。试问此闪电能否在火车的a端留下痕迹？ u a 火 车 b A 道 B 在地面参照系S中看，火车长度要缩短。

在火车参照系S´中，隧道长度缩短。但隧道的B端与火车b端相遇这一事件与隧道A端发生闪电的事件不是同时的，而是B端先与b端相遇，而后A处发生闪电，当A端发生闪电时，火车的a端已进入隧道内，所以闪电仍不能击中a端。 隧道B端与火车b端相遇这一事件与A端发生闪电事件的时间差t´ 为 隧道B端与火车b端相遇时，火车露在隧道外面的长度为

S系中的观察者有一根米尺固定在x轴上，其两端各装一手枪。在S´系中的x´轴上固定另一根长尺，当后者从前者旁边经过时，S系中的观察者同时扳动两手枪，使子弹在S´系中的尺上打出两个记号。试问在S´系中这两个记号之间的距离是小于、等于、还是大于1 m? S S´

3-4 狭义相对论动力学 高速运动时动力学概念如何？ 基本出发点： 1、力学定律在洛仑兹变换下形式不变； 3-4 狭义相对论动力学 高速运动时动力学概念如何？ 基本出发点： 1、力学定律在洛仑兹变换下形式不变； 2、低速时转化成相应的经典力学形式。

一.质量、动量与速度的关系 1.力与动量 2.质量的表达 猜想形式？ 力持续作用 动量持续增大 但v的上限是 c 要求：m随速率增大而增大

实验证明 相对论动量

m——相对于观察者以速度u运动时的质量。 质速关系式 m0——物体的静止质量。 4 3 m——相对于观察者以速度u运动时的质量。 相对论质量 2 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

相对论动力学方程 恒力作用下，不会有恒定的加速度。

二、 质量和能量的关系 相对论动能 动能定理应该是合理的 设计质点从静止，通过力作功，使动能增加。

动能

讨论 1 合理否？ 2 与经典动能形式完全不同 若电子速度为

讨论 相对论能量 运动时的能量 静止时的能量 除动能以外的能量 爱因斯坦质能关系 物质具有质量，必然同时具有相应的能量；如果质量发生变化，则能量也伴随发生相应的变化，反之，如果物体的能量发生变化，那么它的质量一定会发生相应的变化。 任何宏观静止的物体具有能量 相对论质量是能量的量度

质能守恒定律 在一个孤立系统内，所有粒子的相对论动能与静能之和在相互作用过程中保持不变。 质量守恒定律 在一个孤立系统内，粒子在相互作用过程中相对论质量保持不变。 质量亏损

重要的实际应用 例 太阳由于热核反应而辐射能量 质量亏损

例 两全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复合 求：复合粒子的速度和质量 解：设复合粒子质量为M 速度为 碰撞过程，动量守恒 由能量守恒 损失的能量转换成静能

三、动量与能量的关系 两边平方得 光子 又

质量 动量 基本方程 静能 动能 总能（质能关系） 动量与能量的关系

有一粒子静止质量为m0，现以速度v=0.8c运动，有人在计算它的动能时，用了以下方法： 首先计算粒子质量 再根据动能公式，有 你认为这样的计算正确吗？

用 计算粒子动能是错误的。 相对论动能公式为

*3-5 质量、动量、能量和力的洛仑兹变换 一、质量的变换式

动量、能量和力的相对论变换 比较上两式类似得出

相对论动力学规律

*3-6 广义相对论简介 一、等效原理和局域惯性系 1、惯性质量与引力质量 在大约10-8的相对精度内，两者相等。 *3-6 广义相对论简介 一、等效原理和局域惯性系 1、惯性质量与引力质量 在大约10-8的相对精度内，两者相等。 引力场和加速度的效应等价。

引力场与加速度系统等效性说明 假设：在一个与外界隔绝的宇宙飞船中的密封舱内 实验：宇航员放开手中小球。 结果：小球以g加速下落。 判断:(1)由于密封舱在太空（无引力作用）以a=g 加速向上所致。 （2）由于密封舱停在地面，小球受引力所致。 等效原理：一个均匀的引力场与一个匀加速运动的 非惯性系等效。

2、等效原理和广义相对性原理 等效原理：在一个相当小的时空范围内，不可能不可能通过实验来区分引力与惯性力，它们是等效的。 弱等效原理：只限于力学实验中引力和惯性力等效，这种等效性较弱。 强等效原理：只不仅限于力学实验，还要求任何物理实验，如电磁实验、光学实验等等都不能区分引力和惯性力，这种等效性很强。

广义相对性原理：物理学定律在所有的参考系中都是等价的，也就是说所有的参考系都是平权的。 3、局域惯性系 在引力场空间任何一个局域的小范围内，总可以把它近似看作是均匀的，而找到一个相对于它作加速运动的参考系，其中引力与惯性力刚好相消。这种局域范围内消去引力场的参考系称为局域惯性参考系。 用严格的数学语言来表述，局域惯性系是一个无限小的区域。实际上这样的空间是相当大的，只要把引力场强g看作常量的区域都成立。

二、空间弯曲 1、弯曲空间的几何与短程线 非惯性系里的时空 S'系，一个非惯性系。 绕转轴以半径r作一圆周。 所有点都静止。 所有点沿切线方向运动。

根据等效原理，在S系看来 在转动的非惯性系中，圆的周长 s' >2r' 非惯性系的空间是弯曲的。

三、广义相对论的实验验证 1、光线的引力偏转 A金星 B地球 C火星 太阳系附近，引力场很大，光线偏转。 三角形内角和大于1800 结论：太阳周围的空间是弯曲的，并且具有正曲率。 光线在引力场中发生了偏转， 或者引力场中的空间是弯曲的。

光线的引力偏转 太阳将使在它表面通过的光线偏转1.75"角度 恒星 恒星虚像 太阳 人眼位置

2、引力红移 广义相对论的时空是一个由三维空间和一维时间组成的黎曼空间(时空弯曲)。 远离引力中心的地方观察引力场中发生在不同地点的同一物理过程，引力场越强的地方，观测时间越慢，空间距离越短，即引力的时缓尺缩效应越显著。 引力场中光速变慢 引力红移 物质光谱周期变长，频率发生变化

3、水星近日点进动 牛顿理论：行星的轨道是严格闭合的椭圆 观测表明：行星的椭圆轨道存在进动现象， 即椭圆的长轴也缓慢转动。 牛顿力学预言水星进动5557.62" 水星进动实际观测值5600.73" 广义相对理论： 太阳附近的时空连续系统的弯曲性质， 必然引起水星轨道产生进动。 广义相对论理论预言水星进动每世纪有43.03"

雷达回波延迟 用雷达向水星和金星发射电磁波 1、雷达波经过太阳附近时测往返时间t1 2、雷达波不经过太阳附近时测往返时间t2 表明：太阳引力场引起时间延缓效应

四、黑洞 对黑洞的预言是广义相对论的杰作 史瓦西半径（引力半径） 发现：在这个奇异的球面上发生一个物理过程， 从很远地方观察，则它的时间趋于无限长， 频率等于零，光速也变为零。 这个奇异球面对远处的观测者完全是黑的。 这种质量完全分布在引力半径内的体系称为黑洞。 Rs称为黑洞的视界

史瓦西半径奇异球面将引力场分成两个部分： 1、球面上只存在物质和信息单向流动。 外部流向内部。 2、内部任何物体从外部看不到。 只有引力仍然作用在史瓦西半径以外。 黑洞：质量全部分布在史瓦西半径以内的物体。 事件的视界：史瓦西半径所规定的界面。 半径压缩到3000m以内 太阳 黑洞 半径压缩到0.01m以内 地球 黑洞